2023學(xué)年上海市虹口區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

學(xué)年上海市虹口區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷一、填空題（本大題共10小題）1．等差數(shù)列中，，則.2．已知隨機(jī)變量，且，其中，則.3．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的值為.4．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的19人的成績(jī)：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，82，98，83，90，91，則這19人成績(jī)的第80百分位數(shù)是．5．已知與是獨(dú)立事件，，給出下列式子：①；②；③；④；其中正確的式子是____________.（填序號(hào)）6．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：245682040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為.7．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)計(jì)劃于2022年2月4日在北京開(kāi)幕，北京冬奧會(huì)的順利舉辦將成為人類擺脫和超越疫情的標(biāo)志性事件，展現(xiàn)人類向更美好的未來(lái)進(jìn)發(fā)的期望和理想.組織方擬將4名志愿者全部分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作（每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有種.8．隨機(jī)變量的分布為，若，則.9．我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則數(shù)列所有項(xiàng)的和為.10．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別是線段（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是.二、單選題（本大題共5小題）11．某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種12．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.4513．下列說(shuō)法正確的是（）①必然事件的概率等于1；②互斥事件一定是對(duì)立事件；③球的體積與半徑的關(guān)系是正相關(guān)；④汽車的重量和百公里耗油量成正相關(guān).A．①② B．①③ C．①④ D．③④14．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：指數(shù)值0~5051~100101~150151~200201~300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在工廠附近某處測(cè)得10月1日—20日的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下：下列敘述正確的是（

）A．這20天中的中位數(shù)略大于150B．10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好C．這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%D．10月上旬的極差大于中旬的極差15．某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)高三年級(jí)在校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)B．該地高三年級(jí)學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率估計(jì)為C．估計(jì)該地高三年級(jí)學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)小時(shí)D．估計(jì)該地高三年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間三、解答題（本大題共4小題）16．已知四棱錐的底面為正方形，且平面，為中點(diǎn)(1)求證：面面(2)求異面直線與所成角的大小17．從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．18．2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房突破了50億元，影片的感人情節(jié)引起同學(xué)們廣泛熱議．開(kāi)學(xué)后，某中學(xué)團(tuán)委在高二年級(jí)（其中男生200名，女生150名）中，對(duì)是否觀看該影片進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計(jì)記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計(jì)記為B組，得到莖葉圖如下．觀看沒(méi)觀看合計(jì)男生200女生150合計(jì)350(1)根據(jù)莖葉圖補(bǔ)全2×2列聯(lián)表；(2)判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)．參考臨界值表：0.100.050.0102.7063.8416.635.19．已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱為的“序數(shù)列”.例如，數(shù)列??滿足，則其“序數(shù)列”為1?3?2，若兩個(gè)不同數(shù)列的“序數(shù)列”相同，則稱這兩個(gè)數(shù)列互為“保序數(shù)列”.(1)若數(shù)列??的“序數(shù)列”為2?3?1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若項(xiàng)數(shù)均為2021的數(shù)列?互為“保序數(shù)列”，其通項(xiàng)公式分別為，（t為常數(shù)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(3)設(shè)，其中p?q是實(shí)常數(shù)，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若當(dāng)正整數(shù)時(shí)，數(shù)列的前k項(xiàng)與數(shù)列的前k項(xiàng)（都按原來(lái)的順序）總是互為“保序數(shù)列”，求p?q滿足的條件.

參考答案1．【答案】37【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以.故答案為：372．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：，.故答案為：.3．【答案】70【分析】根據(jù)二項(xiàng)式開(kāi)展式的通項(xiàng)公式計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意知，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：704．【答案】【分析】根據(jù)求百分位數(shù)的解題步驟，可得答案.【詳解】由小到大排列，則66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，由，則第位的數(shù)字就是所求百分位數(shù)，即.故答案為：.5．【答案】①②④【分析】由事件間關(guān)系的概率公式計(jì)算即可判斷.【詳解】因?yàn)榕c是獨(dú)立事件，則與也是獨(dú)立事件.又，所以，，故①正確；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；，故④正確.故答案為：①②④6．【答案】211.5【分析】線性回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)()，求出，即可得回歸直線方程，當(dāng)時(shí)，求解即可．【詳解】樣本平均數(shù)，，回歸直線方程為，則回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，．故答案為：211.5．7．【答案】36【分析】把4名志愿者分為3組，選出2人作為一組，然后將3組全排列即可.【詳解】首先把4名志愿者分為3組，則有一個(gè)組有2人，共有種分法，再把分好的3組分到不同的3個(gè)場(chǎng)館，則有種分法，所以共有種分法.故答案為：36.8．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可求得，并結(jié)合概率和為構(gòu)造方程組求得，利用方差計(jì)算公式可求得結(jié)果.【詳解】，，即，又，，，.故答案為：.9．【答案】384【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，進(jìn)而求出數(shù)列的各項(xiàng)；結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求出，全部相加即可求解.【詳解】由題意知，在數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，又，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得，所以，由，得，所以數(shù)列所有項(xiàng)之和為.故答案為：38410．【答案】【分析】由線面平行的性質(zhì)定理知，∽，，設(shè)，則，到平面的距離為，則,所以，所以四面體的體積為，當(dāng)時(shí)，四面體的體積取得最大值：．所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、柱、錐、臺(tái)體體積；2、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．【思路點(diǎn)睛】本題考查正方形中幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．由線面平行的性質(zhì)定理知，∽，設(shè)出，則，到平面的距離為，表示出四面體的體積，通過(guò)二次函數(shù)的最值，求出四面體的體積的最大值．11．【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.12．【答案】A【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．13．【答案】C【分析】根據(jù)事件間的關(guān)系及相關(guān)關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】互斥事件不一定是對(duì)立事件，②錯(cuò)；③中球的體積與半徑是函數(shù)關(guān)系，不是正相關(guān)關(guān)系，③錯(cuò)；①④正確，故選：C.14．【答案】C【分析】利用折線圖中數(shù)據(jù)信息以及變換趨勢(shì)，對(duì)選項(xiàng)一一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由折線圖知100以上有10個(gè)，100以下有10個(gè)，中位數(shù)是100兩邊最近的兩個(gè)數(shù)的均值，觀察這兩個(gè)數(shù)，比100大的數(shù)離100遠(yuǎn)點(diǎn)，因此兩者均值大于100但小于150，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由折線圖知10月4日到10月11日，越來(lái)越大，則空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由折線圖知小于50的有5天，則20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%，故C正確；對(duì)于D，由折線圖知10月上旬的最小值與中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，則10月上旬的極差小于中旬的極差，故D錯(cuò)誤；故選：C.15．【答案】D【分析】對(duì)A，利用直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率判斷A;對(duì)B，計(jì)算超過(guò)3小時(shí)的頻率可判斷B;對(duì)C，根據(jù)直方圖中平均數(shù)的公式計(jì)算，可判斷C;對(duì)D，計(jì)算做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率，可判斷D.【詳解】對(duì)A，直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率為，故所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)，故A正確；對(duì)B，由直方圖得超過(guò)3小時(shí)的頻率為,所以B正確；對(duì)C，直方圖可計(jì)算學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)為：，所以C正確；對(duì)D，做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率為，所以D錯(cuò)誤.故選:D．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定，結(jié)合題目條件，證明面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式來(lái)解決.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)正方形性質(zhì)，對(duì)角線，又面，平面，故，由，面，故面，而面，根據(jù)面面垂直的判定，面面.（2）由平面，平面，故，，由，故下以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，正方形邊長(zhǎng)為：，則，，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，故，，故，異面直線與所成角的范圍是，故所成角的大小為.17．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）.【詳解】試題分析：表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),的所有可能取值為0,1,2,3.分別求出相應(yīng)的概率值，列出隨機(jī)變量的分布列并計(jì)算數(shù)學(xué)期望，表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈就是包括第一輛遇到1次紅燈且第2輛沒(méi)遇上和第一輛沒(méi)遇上紅燈且第2輛遇上1次紅燈兩個(gè)事件的概率的和.試題解析：（Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為.【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可取值有那些？當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率有是多少，計(jì)算出概率值后，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問(wèn)題.18．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)有95%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān).【分析】（1）根據(jù)條件可得列聯(lián)表；（2）計(jì)算，進(jìn)而即得.【詳解】（1）根據(jù)莖葉圖可得男生觀看人數(shù)為，女生觀看人數(shù)為，所以可得列聯(lián)表：觀看沒(méi)觀看合計(jì)男生14060200女生12030150合計(jì)26090350（2）由題可得，所以有95%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)．19．【答案】(1)(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得出不等式即可求出；（2）作差判斷增減，得出序數(shù)列即可求解；（3）討論或，，，，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合題意可得.【詳解】（1）由題意得，即，解得；（2），