2024學(xué)年成都市蓉城高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月期末考試卷附答案解析

學(xué)年成都市蓉城高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月期末考試卷考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．若直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．3．成都市某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽(yáng)光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)在某天校園跑的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A．56 B．59 C．62 D．64.54．設(shè)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．5．不透明的口袋里有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，這6個(gè)球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個(gè)球，則抽出的2個(gè)球均為白球的概率為（）A． B． C． D．6．已知圓，直線，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或7．如圖，在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A． B．點(diǎn)到直線的距離為C． D．直線與平面所成角的正弦值為10．已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A．若事件與事件互斥，則B．若事件與事件相互獨(dú)立，則C．若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，則D．若，則事件與事件相互獨(dú)立11．已知橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11，則的平均數(shù)為______．13．過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14．已知橢圓的上頂點(diǎn)為分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，且，則的周長(zhǎng)為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個(gè)“世界讀書日”．自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會(huì)舉辦讀書知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)來鼓勵(lì)該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽取100人，將他們的競(jìng)賽成績(jī)分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計(jì)算）；（2）已知成績(jī)落在的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?2，方差為9，落在的學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績(jī)的總體平均數(shù)和總體方差．16．（15分）已知圓是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為．（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求切線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四邊形面積的最小值．17．（15分）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對(duì)方投籃一次．已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，第一次投籃者為甲．（1）求第3次投籃者為乙的概率；（2）求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率．18．（17分）在平行四邊形中（如圖1），為的中點(diǎn)，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）點(diǎn)在線段上，若點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值．19．（17分）一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切．（1）設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；（2）①若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線分別交于兩點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．?dāng)?shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CABBCADB1．解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選C．2．解：直線的方向向量為直線的斜率，整理得：，故選A．3．解：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有10個(gè)，且為從小到大排列，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)據(jù)56和第8個(gè)數(shù)據(jù)62的平均數(shù)59，故選B．4．解：，雙曲線的方程為，故選B．5．解：從4個(gè)白球，2個(gè)紅球中不放回抽取2個(gè)球，共有15種情況，其中抽出2球均為白球有6種情況，，故選C．6．解：根據(jù)題意知，圓心到直線的距離，故選A．7．解：設(shè)，又，故選D．8．解：設(shè)，兩式相減，得，直線的方程為：，代入雙曲線中，得，，故選B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011BCABDACD9．解：A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：取，點(diǎn)到直線的距離，故B正確；C選項(xiàng)：，故C正確；D選項(xiàng)：易求平面的法向量，故D錯(cuò)誤；故選BC．10．解：A選項(xiàng)：事件與事件互斥，，故A正確；B選項(xiàng)：事件與事件相互獨(dú)立，，，故B正確；C選項(xiàng)：若事件發(fā)生時(shí)事件一定發(fā)生，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：事件與事件相互獨(dú)立，事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選ABD．11．解：A選項(xiàng)：為焦點(diǎn)三角形，，故A正確；B選項(xiàng)：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，故C正確；D選項(xiàng)：，故取，，故D正確；故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．90解：的平均數(shù)的平均數(shù)．13．解：設(shè)圓的方程為，代入三點(diǎn)，有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．26解：離心率為等邊三角形，設(shè)，直線的方程為，代入中，得，，周長(zhǎng)．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）解：（1）眾數(shù)：75，第1至第6組的頻率分別為，平均數(shù)：；（2）根據(jù)題意可知，成績(jī)落在的學(xué)生人數(shù)為20人，成績(jī)落在的學(xué)生人數(shù)為30人，總體平均數(shù)：，總體方差：．16．（15分）解：（1）點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，滿足題意，此時(shí)，切線的方程為；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，此時(shí)切線方程為，即：，設(shè)圓心到切線的距離為，根據(jù)題意可得：，，此時(shí)，切線方程為，化簡(jiǎn)，得，切線方程為或；（2）為公共邊，，，又當(dāng)最小時(shí)，最小，由題意可知，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，，，四邊形面積的最小值為．17．（15分）解：（1）設(shè)事件"甲第次投籃投進(jìn)"，事件"乙第次投籃投進(jìn)"，事件"第三次投籃者為乙"，根據(jù)題意可知，與互斥，；（2）設(shè)事件"前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次"，根據(jù)題意可知：，事件互斥，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，．18．（17分）解：（1）證明：連接，在中，，，在中，，同理可得：，平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，設(shè)直線與平面所成角為，（其他解法酌情給分）（3）設(shè)，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，易求平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，．取，設(shè)平面與平面所成的角為，．19．（17分）解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，動(dòng)圓與圓外切，