2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第六章 數(shù)列

第六章

數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念

［學(xué)習(xí)要求］1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表法、圖象法、公式法）.2.T

解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).3.能夠利用即與邑的關(guān)系求通項公式四.4.掌

握利用遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式?！钡姆椒?

■必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點一數(shù)列的有關(guān)概念

1.

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項

如果數(shù)列｛四｝的第n項④與它的序號〃之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來

通項公式

表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

數(shù)列｛四｝從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列｛斯｝的前n項和，記作

前n項和

Sn，BPSn=,,?+〃］

2.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數(shù)列有限多項

項數(shù)

無窮數(shù)列無限多項

遞增數(shù)列%+1———4〃

項與項間的大小

其中〃￡N

關(guān)系

遞減數(shù)列4+1———0n

常數(shù)列4+1=0"

從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于

擺動數(shù)列

它的前一項的數(shù)列

知識點二數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示〃與為的對應(yīng)關(guān)系

圖象法把點（幾,為）畫在平面直角坐標系中

通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法

公式法

使用初始值和狐+1=/（Q"）或。2和（詼，1）等表

遞推公式

示數(shù)列的方法

［小題診斷］

1.已知數(shù)列1,2,。，國,2…,貝在這個數(shù)列中的項數(shù)是（）

A.16B.24

C.26D.28

答案：C

2.已知數(shù)列｛0“｝的前"項和為S”且用=層+",則°2的值是（）

A.2B.4

C.5D.6

答案：B

解析：由題意，$2=22+2=6,Si=l+1=2,所以02=$2—51=6—2=4.

3.（多選）已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為為=9+12",則在下列各數(shù)中，是｛陽｝的項的是

（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：ABD

解析:由數(shù)列的通項公式得，避=21,<72—33,<212=153.

、，1、

4.在數(shù)列｛aj中，°i=3,斯+1=?！?拓7m，則故=，通項公式。”=.

學(xué)生用書1第128頁

考點一用觀察法求通項公式

［例1］寫出下列各數(shù)列的一個通項公式.

1x2,2x3'3x4*4x5

(2)弓，2,5，8,

（3）5,55,555,5555,

［解］（1）這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為

n

負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是隔=（-1）xn（?i+1）.

（2）數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一變形為分數(shù)再觀察.

2

1491625n

即5，2,2?~2,分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為a?=y.

（3）將原數(shù)列改寫為靚9,1X99,衣999,…，易知數(shù)列9,99,999,…的通項為10"

.5

—1,故所求的數(shù)列的一個通項公式為a”=?（10"-1）.

I方法總結(jié)I

由前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見

的數(shù)列）等方法.

1.常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化

2.具體策略：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相鄰項的變化特征；（3）拆項后的特

征；（4）各項的符號特征和絕對值特征；（5）化異為同，對于分式還可以考慮對分子、

分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；（6）對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用（

-1）及或（-1）k+1,keN*處理.

H跟蹤訓(xùn)練

1.根據(jù)下列數(shù)列的前5項，寫出數(shù)列的一個通項公式:

解：(1)數(shù)列可變形為”,小…，

1

u'an~2n-r

(2)數(shù)列可變形為［,JIJl，JI，A，…，即A，專，彌‘盍,…，

1

?■冊=

考點二由即與s“的關(guān)系求通項公式

［例2］(1)已知數(shù)列｛.“｝的前〃項和為S”且滿足S"=2"+2—3,則a“=.

(2)(2024?廣東湛江模擬)已知S”為數(shù)列｛詼｝的前〃項和,且S〃+2%=2(neN*),則

C1n—.

［答案］⑴｛HL⑵?"

［解析］(1)根據(jù)題意，數(shù)列｛?！埃凉M足￡=2"+2—3,

當〃》2時，有％=S"—S"T=(2"+2—3)-(2?+1-3)=2"+1,

(5,n=1,

當〃=1時，有。i=Si=8—3=5,不符合?！?2〃+i,故=L九+1n>2

u

(2)：Sn+2an=2(?eN*),

2

??。1=5，S〃—I+2Q〃-i=2(〃22),

:?Sn—S“—I+2Q〃-2an-［=0(〃22),

=

??3ctn2,un—\(M22),

a222

=3(〃22),.?.數(shù)列缶"｝是以§為首項，5為公比的等比數(shù)列，

..斯一3乂⑺一⑺.

學(xué)生用書1第129頁

I方法總結(jié)I

1.已知S"求％的3個步驟

（1）先利用。1=&求出為；

（2）用〃一1替換S,中的〃得到一個新的關(guān)系，利用a“=S“一S（“T）（心2）便可求出當“

22時a?的表達式；

（3）注意檢驗?=1時的表達式是否可以與?>2時的表達式合并.

2.S“與為關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用a“=S〃-S（〃T）（42）轉(zhuǎn)化為只含S“，S（“T）的關(guān)系式，再求解；

fS—Si=a,

（2）利用5二_12=?，3）轉(zhuǎn)化為只含?！?，砌）的關(guān)系式，再求解.

門跟蹤訓(xùn)練

2

2.已知數(shù)列｛“〃｝的前n項和Sn=2n—3nf則數(shù)列｛四｝的通項公式an=.

答案：4〃一5

解析：〃i=Si=2—3=—1,

22_

當〃22時，an—Sn—Sn-\=（2H—3/7）—[2（〃-1）—3Cn-1）]=4n5.

Vtzi=-1也適合上式，.,?森=4幾一5.

3.已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和S〃滿足S〃+Q〃=—2,則數(shù)列｛Q〃｝的通項公式.

解析：當〃=1時，51+（71=2^1=_2,解得的=-1;

-

由S〃+恁=—2,可知當〃22時，Sn-\-\~an-\=2,兩式相減，得2冊一即_1=0,即恁=,

1小九一1

an_\（九22）,所以數(shù)列｛斯｝是首項為-1,公比為2的等比數(shù)列，所以斯=一（2）.

考點三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

[例3]（1）若數(shù)列應(yīng)｝滿足幻=1,且對于任意的"GN嘟有斯+1=斯+”+1,則即

cn

A.n2B.y

(n+1)n(n+1)

C.-2D.-2

Yt—1

(2)在數(shù)列｛a”｝中,田=1,a?=—^-a?-\("三2,〃GN*),則數(shù)列｛a〃｝的通項公式

為.

O1

［答案］(1)D(2)a?=n

［解析］(1)由。〃+1—知

。2—=2,

的一。2=3,

。4-。3=4,

un-cin—\—n9

以上等式累加知an—勾=2+3+…+〃，

.n(n+1)

??an2?

..九一1

(2)Van=~^~an-i(加22),

.an_n—1

??二一丁’

.an-ln—2an-2n—3a21

??布丁R'立「力，…，工—0

以上(n-1)個式子相乘得，

an12n-11

J

a123nn

._ai_l

?"<a?=V=n-

當"=1時，<7i=l,符合上式，

I方法總結(jié)I

由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法

1.已知旬，且品一41T=/（幾）（九＞2）,可用“累加法”求％

an

2.已知4(旬H0),且--=/(n)(n>2),可用“累乘法”求時.

an-i

用跟蹤訓(xùn)練

4.在數(shù)列｛〃〃｝中，句=2,4〃+1=恁+山(1+：),貝II恁=()

A.2+lnnB.2+(〃-1)Inn

C.2+?lnnD.l+n+lnn

答案：A

解析：因為恁+1—?！?111七一=111(n+1)—Inn,

所以a?—Qi=ln2—In1,

的一〃2=ln3—In2,

44-〃3=ln4—In3,

an—an~i=\nw—In（九一1）（九22）.

把以上各式累加得an—〃i=lnn—In1,

則恁=2+ln〃（麓22）.因為q=2滿足此式，

所以an=2+\nn.

5.（2024?山東濰坊模擬）設(shè)數(shù)列｛四｝的前〃項和為用,勾=1,｛&+〃魅｝為常數(shù)列，則詼=

（）

12

3+1)

15-2n

C，（n+l）（n+2）

答案：B

解析：法一（累乘法）：因為數(shù)列｛隔｝的前〃項和為S〃且的=1,

所以SI+1XQI=1+1=2.

因為｛&+〃斯｝為常數(shù)列，所以由題意知,

S〃+加z〃=2.

a2a3a4an12n—1

當〃22時，（〃+1）a=（H—1）a-\,從而UT7TTT,

nnVC]""2"3"九_1"*，cI工

2

所以Q〃=而B（*），當〃=1時（*）式成立，

、2

a=

所以nn（^n+1y

法二（特值驗證法）：由供=1,{S“+mz〃}為常數(shù)列，可得Si+lX〃i=l+l=2,

故Sn+nctn~~2.

當〃=1時，6Zi=l,排除C;當及=2時，82+2X02=2,

1

即可+。2+242=2,即3a2=1,〃2=H，A,B,D都滿足；

1

當〃=3時，&+3的=2,即1+§+4%=2,

1

解得的=%,排除A,D.

數(shù)列的函數(shù)特性

⑥角度（一）數(shù)列的單調(diào)性

［例1］已知a｝是遞增數(shù)列，且對于任意的"GN*都有隔=”2+助恒成立，則實數(shù)力的取

值范圍是.

［答案］（13,+°°）

［解析］由題意可知，—即=（幾+1）2+A（〃+1）—n2—筋=2〃+1+九

,.?｛斯｝是遞增數(shù)列,.,?斯+1—%>0,且當〃=1時，a〃+i一不最小,

6z?+i一四三父一。1=3+丸>0,「.丸》一3,即實數(shù)2的取值范圍是（-3,+00）.

I方法總結(jié)I

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

根據(jù)—14〃的斗號引斷數(shù)列Mg：

作差比較法

是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)血土l（a〃>0或a”V0）與1的大

作商比較法

小關(guān)系進行判斷

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

學(xué)生用書1第130頁

您角度（二）數(shù)列的周期性

1+4

［例2］若數(shù)列｛“滿足的=2,恁+1=石］N*,則。2024的值為（）

11

A.2B.13C.12D.g

［答案］D

11

1+21-311~211+3

［角牛籽由?^思決口，d12,。2］_23,。31+3290413，。512,

1+21-3

1+21

=］—2=—3,…，因此數(shù)列｛斯｝是周期為4的周期數(shù)列，所以。2024=4506X4=44=）.

I方法總結(jié)I

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求值.

%跟蹤訓(xùn)練

=

1.（2024?甘肅白銀模擬）在數(shù)列｛%J中，若。1=2,cinl—~（H>2）,則。2024=

（）

1

A.l1B，2

C.2D.1

答案：B

—=9

解析：由題意得的=2,a2=11~22°3=1一％=1-2=—1,

1

44=1-7=1+1=2,....

故｛%｝為周期數(shù)列，一周期為3,故的024=4674X3+2=。2=手

2.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為a“=五二五，〃GN*,則數(shù)列｛0“｝前20項中的最大項與最小項

分別為.

答案：3,-1

加7.U_2n—19_2n—21+2_|22

角牛析：an=2n-21=2n-21=(2n-2V當幾211時五二五＞0,且單調(diào)遞減；當

2

時，五二五＜0,且單調(diào)遞減.因此數(shù)列｛?！埃?0項中的最大項與最小項分別為第

11項，弟10項,則。［1=3,可0=—1.

學(xué)生用書1第348頁

■課時作業(yè)鞏固捷年

［A組基礎(chǔ)保分練］

24816

1.(2024?山東青島模擬)寫出數(shù)列1,g,力不，…的一個通項公式詼=()

2"2"-1

A-2n-1B.2nT

2n2"T

^c?-2-九---+-1uD?2--n-+--l--

答案：B

.L.,24816

斛析：數(shù)列1,g,7,y,,,,

2^—1

則其分子為2"T,分母為2"—1,則其通項公式為五三

2.（2024?甘肅酒泉模擬）已知數(shù)列｛aj的一個通項公式為恁=（―1）"-2"+a,且的=一

5,則實數(shù)。等于（）

A.lB.3

C.-lD.-3

答案：B

解析：因為(—1)n'2n-\-a,的=—5,

所以一23+〃=—5,解得4=3.

3.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃=/+〃+l,則的=()

A.5B.6

C.7D.8

答案二B

解析：因為&=/+〃+1,所以03=83—52—6.

4.在各項均為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝中，對任意的加，〃￡N*,都有即+"=砧斯.若恁=64,則砌

=()

A.256B.510

C.512D.1024

答案：C

解析：由題意可得。6=的，。3=64.<4〃>0,/.的=8,

??、9=46'〃3=64X8=512.

[—2

5,數(shù)列｛%｝滿足由=。，斯+產(chǎn)中("GN*).若數(shù)列｛%｝是常數(shù)列,則。=()

A.-2B.-1

C.OD.(-1)"

答案：A

“2—222

解析：因為數(shù)列｛恁｝是常數(shù)列，所以即q(q+l)=6Z2—2,得q=一

2.

fa+3,ri為奇數(shù)，

6.已知數(shù)列｛a〃｝滿足的=1,^+i=|2a+1,幾為偶數(shù)，則恁=()

A.16B.25

C.28D.33

答案：C

解析：由題意得，當〃=1時，42=1+3=4;當〃=2時，43=2X4+1=9;當〃=3時，a4

=9+3=12;當〃=4時，45=2X12+1=25;當〃=5時，^=25+3=28.

an+l~^

7.數(shù)列兩足=—3,an=%其刖〃項積為〃，則72024=()

f+1丁工

1

A，2B.1

3

C，2D.—3

答案：B

1+a

"九十廠1pn.1

解析：由Z7,得斯斯+i+a〃=""+i—1,即即+i=.又為=-3,a2=一,,。3

=§,。4=2,〃5=—3,???數(shù)列｛。篦｝是周期數(shù)列,周期為4,且〃1。2。3。4=1,**,^2024~74X506

=1.

7

9n—9n+2

8.（多選）已知數(shù)列｛四｝的通項公式為斯=―2——（〃GN*）,則下列結(jié)論正確的是

9n—1

（）

27

A.這個數(shù)列的第10項為五

97

B.礪是該數(shù)列中的項

C.數(shù)列中的各項都在區(qū)間猿1）內(nèi)

D.數(shù)列｛斯｝是單調(diào)遞減數(shù)列

答案：BC

9n2-9n+2(3n-l)(3n-2)

解析:

9n2-1(3n—l)(3n+1)

_3九一2

~3n+lf

28

令〃=10得Qio=五，故A錯誤;

A3n-297』

令E=痂得"=33"*,

97

故痂是數(shù)列中的項，故B正確；

mL3九—23n+1—3[3

因為““=371+1=3九+1=]~3n+lf

又〃￡N*.

所以數(shù)列｛詼｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以;Wa〃vi,故C正確，D不正確.

2

9.設(shè)數(shù)列｛恁｝的前〃項和為S〃，Sn=n+n（〃￡N*）,則恁=.

答案:2n

解析：當〃=1時，ai=g=2,當〃22時，S”=（H—1）2+（?—1）=n2—n所以

n—if

=S—S^=2n,的=2也符合上式，所以恁=2〃.

n"-1

10.（2024?上海模擬）數(shù)列｛4｝對任意正整數(shù)力滿足為助…恁=層，則數(shù)列｛4｝的通項公式

解析：當n=l時，〃i=l;

2

當〃22時，由…/可得…0一1=（九一1），

1,n=l,

2

兩式作商可得a〃=U又的=12不符合上式，所以四n

；^2.n>2.

t（n—1）

11.已知數(shù)列｛四｝滿足的=1,且恁=〃（斯+1—4〃）（〃金N*）,則的=，an

答案：3n

._,/、an+1n+1,,、,anan-lan-2a2

斛析：由恁=〃（魅+1-恁）,可付=—==~,則當〃22時，an=~.......丁'。1=

un"un-lun-2un-3U1

nn—1n—22.

==

/…X,X1=〃，.\a3=3.ai=lann,ann.

neN

12.已知數(shù)列｛aj滿足：a?+i=L+2a<a^）?若。3=3,則為=.

答案：】

解析：由題意，當恁時，an+i—an=2,數(shù)列｛冊｝為公差d=2的等差數(shù)列，則的=的+

2X2=3,ai=—1,此時不滿足為〈的，故不符合題意；當源2al時，數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)

列，此時公比夕=今出=2,則的=〃1，22=3,解得。i=j,滿足恁所以。1=1.

學(xué)生用書1第349頁

[B組能力提升練]

/6\n

13.（多選）已知數(shù)列｛〃“｝的通項公式為a“=（〃+2）?「）,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛a?｝的最小項是a\

B.數(shù)列｛a“｝的最大項是04

C.數(shù)列｛斯｝的最大項是的

D.當",5時，數(shù)列｛斯｝遞減

答案：BCD

(a>a

解析：假設(shè)第"項為｛四｝的最大項，則〃

｛un-Un+V

f6\n/gxH—1

(n+2)-k]>(n+，

即?/6\n/6\n+1

(n+2)?目>(n+3),

仇VS

所以［nG4,又〃￡N*,所以〃=4或〃=5,故在數(shù)列｛“〃｝中，。4與。5均為最大項，且〃4=

65

的=不，當〃25時，數(shù)列｛恁｝遞減.

14.已知數(shù)列｛4｝滿足的=33,=工=2,則2的最小值為（）

A.10.5B.10

C.9D.8

答案：A

a九+1一

解析：由-=2得恁+i—an=2nf???〃〃=（%—4）+（%—。2）+（。4-%）+…+

=2

（＜1rl一a九_1）+〃1=2+4+6+…+2（n—1）+的=F33H-〃+33,

―:+33=1+?一］（九QN）.當（0,A/33）時，T單調(diào)遞減；當（祁司+

8）時，T單調(diào)遞增?又〃￡N*,經(jīng)驗證，及=6時，最小值為105

15.在數(shù)列｛恁｝中，右對任意的〃￡N*均有+〃場+2為定值，且〃［=2,。9=3,〃98=

4,則數(shù)列｛a〃｝的前100項的和Sioo=（）

A.132B.299

C.68D.99

答案：B

解析：因為對任意的均有4"+4"+1+恁+2為定值，所以恁+?！?1+即+2=。〃+1+?！?2

+a〃+3,所以a”+3=a〃，所以數(shù)列｛a“｝是周期數(shù)列，且周期為3,故。2=。98=4,色=的=

3,〃100=。1=2,所以Sioo=33（可+奧+的）+aioo=299.

16.在數(shù)列｛〃〃｝中，的=1,a=(小恁)，b=(an+1,〃+1),且〃_L〃，則Roo等于

()

100100

A.99B.一99

C.100D.-100

答案：D

QQI

解析：因為=(n,an'),b=(an+1,〃+l)且。_16,所以〃〃++(〃+l)an=0,

..an+ln+1a22a3_3100,,0100

z—,1麗以上各式左右分別相乘，得飛-

所以=---n?所以aT，石=一1

ani

=—100,因為供=1,所以對00=一1。0.

17.（多選）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩

項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列1,2

進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；第〃（九eN*）次

得到數(shù)列1,xi，M，m，…，Xk，2.記a“=l+xi+x2H1■弘+2,數(shù)列｛%J的前〃項和為

Sn，則（）

A.左+1=2”

B.a〃+i=3a“一3

D.5?=|(3n+1+2n-3)

答案：ABD

解析：由仍有3項，念有5項，的有9項，的有17項，…，故時有2〃+1項，所以％+2

=2"+1,即4+1=2",故A正確；由的=3+3,即=3+3+9,/=3+3+9+27,雨=3

n+1

3(1—3與3+3

123,,,w=

+3+9+27+81,…，tzM=3+3+3+3++33+一匚三一=~,故C錯誤；由

3n+1+33n+2+31

=2，可付。及+1=2=3見-3,故B正確；由5〃=。1+。2+…+?！?2

(3+3+3+…+3)+彳=5*^^-+彳=%(3++271—3),故D正確.

n

18.(2024?廣東惠州調(diào)研)已知數(shù)列｛斯｝滿足的=1,an+i~2an=2(?eN*),則數(shù)列｛%｝

的通項公式為=.

答案：n-2n-l

an+lan1ai1fal1

解析：2魅=2〃兩邊同時除以2〃+i,可得齊互一?又5=5，?,?數(shù)歹小招nj是以5為首

1a11n

項，2為公差的等差數(shù)列，n=2+—1）X2=2，

n

：.an=n-2~\

19.已知數(shù)列｛4｝滿足41="|,且四+i=v；i，則數(shù)列a尸.

套案.一--

日木?3n-l

解析：由恁+1=/^兩邊取倒數(shù)可得;=，+3,即F——，=3,所以數(shù)列出是等差數(shù)

oun十"*■un+lunun+lunlunJ

11

列，且首項為2,公差為3,所以7=3"—1,所以。,,=藐0.

unnN1

20.已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2,[—1.7]=—2.在數(shù)列缶“｝中，a?=[lg

77],記S”為數(shù)列｛a“｝的刖〃項和，則。2024=；$2024=.

答案：34965

解析：..?斯=[坨"],

二當1W〃W9時，an—[1gri\=0;

當10W〃W99時,a?=[lg?]=1;

當100夠〃W999時,a?=[lg?]=2;

當1000W〃W9999時，a?=[lgn]=3,

Z.a2024=[lg2024]=3,5*2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.

學(xué)生用書I第130頁

第二節(jié)等差數(shù)列

[學(xué)習(xí)要求]1.能夠利用公式求等差數(shù)列中的指定項、前〃項和.2.會利用等差數(shù)列的定

義、等差中項證明數(shù)列是等差數(shù)列.3.掌握利用等差數(shù)列的性質(zhì)求等差數(shù)列指定項（或其

項數(shù)）、公差；利用等差數(shù)列的單調(diào)性求前"項和的最值.

團必備知識

[知識梳理]

知識點一等差數(shù)列的有關(guān)概念

1.定義

如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這

個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母4表示.

2.等差中項

由三個數(shù)a,A,6組成的等差數(shù)列，這時/叫做。與6的等差中項,根據(jù)等差數(shù)列的

定義可知，.

知識點二等差數(shù)列的有關(guān)公式

1.通項公式

an—a\+（n—1）d=nd+（m一d）n當dWO時，a”是關(guān)于"的一次函數(shù).

2.前n項和公式

S"=2------------"S,=〃ai+喂當=2層+（4—當時，S“是關(guān)于n的

二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項.

知識點三等差數(shù)列的常用性質(zhì)

1.通項公式的推廣：〃"=〃加+（〃一加）d（〃，加￡N*）.

2.若｛四｝為等差數(shù)列，且左+/=加+〃（k,I,m,〃￡N*）,則。g+q=。堀+&.

3.若｛a〃｝是等差數(shù)列，公差為d,則少，恁+加，恁+2加，…（左，冽6N*）是公差為md的

等差數(shù)列.

4.數(shù)列治，S2—Sw,83^—82加，…也是等差數(shù)列.

5.S2〃-1=（2〃—1）Cln.

6.等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為S",用為等差數(shù)列.

學(xué)生用書1第131頁

［小題診斷］

1.在等差數(shù)列｛?！埃?，已知。5=11，。8=5,則。10等于（）

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

11=%+4d,=19,

解析：設(shè)等差數(shù)列｛魅｝的公差為d,由題意得，解得

5=%+7d,d=-2,

an=—2H+21,

???對0=—2X10+21=1.

2.在等差數(shù)列｛為｝中，已知的+%+。7=15,則該數(shù)列前9項和&=()

A.18B.27

C.36D.45

答案：D

旬+。92a§

解析：在等差數(shù)列｛斯｝中，的+。5+。7=3。5=15,所以05=5,所以$9=-2—X9=-^-X9

=9(75=9X5=45.

3.(2021?上海卷)已知等差數(shù)列｛許｝的首項為3,公差為2,貝|田0=.

答案：21

解析：設(shè)公差為d,則aw—ax+9d—1\.

4.等差數(shù)列｛斯｝的前"項和為%若生=2,$3=12,則他=.

答案:12

解析：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,則S3=3ai+3d,所以12=3X2+34,解得4=2,所以

。6=。1+5<7=2+5*2=12.

值關(guān)鍵能力重點探究

考點一等差數(shù)列基本量的計算

［例1］(2020?全國II卷)記&為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若可=-2,a2+a6=2,則與o

［答案］25

［解析］法一■:設(shè)等差數(shù)列｛恁｝的公差為d,則由。2+。6=2,得々i+d+ai+5d=2,即一4

入10x9

+6d=2,解得d=l,所以Sio=lOX(-2)+——Xl=25.

-a

a4i

法二：設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,因為。2+。6=2。4=2,所以〃4=1,所以d=4T=

1-(-2)10X9

-^―=1,所以Sio=lOX(-2)H■—Xl=25.

I方法總結(jié)I

解答等差數(shù)列運算問題的通法

1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項%和公差d,然后由通項公式或前n項和公式

轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

2.等差數(shù)列的通項公式及前幾項和公式，共涉及的,an,d,n,五個量，知其中三個就

能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想.

□.跟蹤訓(xùn)練

1.數(shù)歹M三l｝是等差數(shù)列，且。1=1，。3=—］，那么。2024=.

,一1oil

答案：一T5記

2）122

（門小的公差為d,因為。1=1,%=—土所以％TT=1，01=3，所以

222

3=1+24,解得d=1,所以a+］=1+〃—1=〃，所以—19所以024=2024—1=一

20221011

2024—-1012,

考點二等差數(shù)列的判定與證明

［例2］（2021?全國甲卷）已知數(shù)列缶〃｝的各項均為正數(shù)，記邑為｛陽｝的前〃項和，從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛。"｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛百｝是等差數(shù)列；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

［解］選①②作為條件，證明③.

設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,因為｛和｝是等差數(shù)列，所以20=5+0,即2j24+d

3al+3d,兩邊平方，得4（2oi+d）=〃i+3ai+3d+2jai（3ai+3d）,整理得

4田+2=2，。1（3%+3d）,兩邊平方，得16，+8〃0+建=4（3a；+3〃id）,化簡得4aj—

1d~~0f即（2。1d）2=0,所以2=2。1,則42^。1+"=3。1.

選①③作為條件，證明②.

設(shè)等差數(shù)列｛四｝的公差為d.

因為。2=3。1,即/+d=3ci\,所以d=2a].

2

所以等差數(shù)列｛?！保那皀項和Sn=nai~\----%一d=na\~\----3-----2ai=nai.

又可>0,所以再=〃網(wǎng)

則JS九+1—平^=(〃+1)所以數(shù)列｛/J是公差為的等差數(shù)列.

選②③作為條件，證明①.

設(shè)等差數(shù)列｛、尸；｝的公差為d,因為小?=[%，^7=/1+%=/1+3a1=2^/^1,所以d

a22

—nyji,所以5"="2。］,當“22時，an—S?~Sn-i—nai—(〃-1)a\—(2?—1)a\,且

當”=1時，上式也成立，所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為a“=(2?—1)ax,則a“+i—a〃=

(2〃+l)a\~(2〃一1)a\—2a\,所以數(shù)列｛a“｝是公差為2al的等差數(shù)列.

|方法總結(jié)|

等差數(shù)列的判定與證明的方法

方法解讀適合題型

對于數(shù)列｛%｝,6〃一斯1(”>2.

定義法〃GN')為同一拿於=右是等

解答題

差數(shù)列

中的證

對于數(shù)列｛a“｝,2a〃—1=?！?

等差明問題

一2(〃=3,〃￡N*)成立㈡(a〃｝

中項法

是等差數(shù)列

a=pn+q(.pq為常數(shù))對任意

通項n9

的正整數(shù)〃都成立㈡｛斯｝是等

公式法選擇題、

差數(shù)列填空題

前n驗證S“=A〃2+BMA.B為常中的判

項和數(shù))對任意的正整數(shù)〃都成立㈡定問題

公式有｛%｝是等差數(shù)列

學(xué)生用書1第132頁

出跟蹤訓(xùn)練

21

2.(2021?全國乙卷)記S"為數(shù)列國”｝的前〃項和,2為數(shù)列｛&｝的前〃項積,已知底+了=

Dnun

2.

(1)證明：數(shù)列出,｝是等差數(shù)列；

(2)求｛&｝的通項公式.

(1)證明：由bn=S