中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題25軌跡、路徑類綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

軌跡、路徑類綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm2．如圖，一個(gè)底面圓周長為24m，高為5m的圓柱體，一只螞蟻沿側(cè)表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為（）A．12m B．15m C．13m D．9.13m3．正方體盒子的棱長為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A．13 B．17 C．5 D．2+4．底面周長為12，高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（）A．10 B．8 C．5 D．45．如圖，BC是⊙O的直徑，BC＝42，M、N是半圓上不與B、C重合的兩點(diǎn)，且∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在MN上從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）A．2π3 B．4π3 C．8π36．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為CC'A．π3?33 B．π3?7．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB上的三等分點(diǎn)，E、F是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，∠EOF＝60°，線段AE、BF相交于點(diǎn)D，M是線段BD的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則M、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長的比是（）A．32 B．2π8 C．38．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長為（）A．3 B．4 C．92 二．填空題9．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點(diǎn)．則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長為．10．如圖，一個(gè)圓柱形水杯深20cm，杯口周長為36cm，在杯子外側(cè)底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到杯子相對(duì)的內(nèi)壁上點(diǎn)B處的蜂蜜，已知點(diǎn)B距離杯子口4cm，不考慮杯子的厚度，螞蟻爬行的最短距離為．11．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為cm．12．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CE的垂線，垂足為F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長為．13．在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如圖C在x軸上，BC＝2，Q從O向C運(yùn)動(dòng)，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點(diǎn)P為EF中點(diǎn)，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為．14．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形△ABC，將繞邊AB的中點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為CC'，則圖中陰影部分的面積為．15．如圖，有一條長度為1的線段EF，其端點(diǎn)E、F分別在邊長為3的正方形ABCD的四邊上滑動(dòng)．當(dāng)EF繞著正方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，EF的中點(diǎn)M形成的路徑所圍成的圖形面積是．16．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為BE，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題17．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時(shí)針方向在1上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到△A″B″C″的位置，若BC＝1，AC=3，則當(dāng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，求點(diǎn)A18．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖所示，現(xiàn)將三角形木塊沿水平線翻滾五次，那么點(diǎn)B從開始至結(jié)束所走過的路徑長是多少？19．如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點(diǎn)M在棱AB上，且AM＝6cm，點(diǎn)N是FG的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程是多少？20．如圖所示，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從A點(diǎn)爬到21．問題探究：（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長為4，則△ABC的外接圓的半徑長為．（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線BD與邊BC的夾角為30°，點(diǎn)E在為邊BC上且BE=14BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PC，求△問題解決：（3）為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個(gè)鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點(diǎn)的連接的線段（BC）看作一個(gè)三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0，3）、（3+1，1）、（1，0），將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)C恰好落在x軸的負(fù)半軸上，得到△AB′C（1）直接寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，C′的坐標(biāo)，點(diǎn)B到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長；（2）求△ABC掃過的面積．23．如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC延長線上的動(dòng)點(diǎn)且BP＝CQ，連接AQ、CP，線段PC的延長線交AQ于點(diǎn)M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，∠QMC大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．24．如圖，拋物線y＝x2?12x?32與直線y＝x﹣2交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)軌跡、路徑類綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長度．【解答】解：展開圖為：則AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，在Rt△ABC中，AB=AC2所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．2．如圖，一個(gè)底面圓周長為24m，高為5m的圓柱體，一只螞蟻沿側(cè)表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為（）A．12m B．15m C．13m D．9.13m【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長方形，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，連接AB．如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24m，則AD＝24×12=又因?yàn)锳C＝5m，所以AB=122即螞蟻沿表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過的最短路線長為13m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解決此類問題，一般方法是先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．通常情況是根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)．本題將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．正方體盒子的棱長為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A．13 B．17 C．5 D．2+【分析】把此正方體的點(diǎn)M所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和點(diǎn)M間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于2長，另一條直角邊長等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：展開正方體的點(diǎn)M所在的面，∵BC的中點(diǎn)為M，所以MC=12在直角三角形中AM=2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．4．底面周長為12，高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長方體，再然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為12cm，則BC＝12×12=又因?yàn)锳C＝8cm，所以AB=62+故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是10cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題趣味性強(qiáng)，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，BC是⊙O的直徑，BC＝42，M、N是半圓上不與B、C重合的兩點(diǎn)，且∠MON＝120°，△ABC的內(nèi)心為E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在MN上從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）A．2π3 B．4π3 C．8π3【分析】如圖，連接BE、CE，由∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，推出∠BEC＝135°，推出點(diǎn)E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（軌跡是GH），求出PG，∠GPH即可解決問題．【解答】解：如圖，連接BE、CE，∵∠BAC＝90°，E是內(nèi)心，∴∠BEC＝135°，∴點(diǎn)E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（軌跡是GH），在⊙P上取一點(diǎn)M′，連接BM′、CM′，則∠M′＝180°﹣135°＝45°，∠BPC＝2∠M′＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∵BC＝42，∴PB＝PC＝4，∵∠HPC＝2∠HBC＝∠NBC=12∠NOC，同理∠GPB=1∴∠HPC+∠GPB=12（∠NOC+∠∴∠GPH＝60°，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長是60π?4180=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝1，把矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為CC'A．π3?33 B．π3?【分析】如圖連接AC′，首先證明A、B′、C共線．根據(jù)S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′′計(jì)算即可．【解答】解：連接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB=3，BC∴tan∠BAC=BC∴∠BAC＝30°，∵旋轉(zhuǎn)角為30°，∴A、B′、C共線．∴AC=AB∵S陰＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S陰=30°×π×4故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分面積．7．如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧AB上的三等分點(diǎn)，E、F是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，∠EOF＝60°，線段AE、BF相交于點(diǎn)D，M是線段BD的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，則M、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長的比是（）A．32 B．2π8 C．3【分析】先求出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再分別求出點(diǎn)E，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長，即可求解．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長為120°×π×r180°∵∠EOF＝60°，∴∠AOF+∠BOE＝120°，∴∠EAB+∠ABF＝60°，∴∠ADB＝120°，如圖，作△ABD的外接圓圓H，連接DH，AH，BH，OH，取BH中點(diǎn)G，連接OG，MG，∵∠ADB＝120°，∴∠AHB＝2×（180°﹣∠ADB）＝2（180°﹣120°）＝120°，∵AH＝BH，AO＝BO，∴OH⊥AB，∠HBO＝30°，∴OH=OB3=33r∵M(jìn)是BD中點(diǎn)，G是BH中點(diǎn)，∴MG=12DH=∴點(diǎn)M在以點(diǎn)G為圓心，MG為半徑的圓上，∵點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∴點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，∴點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，∵∠BOH＝90°，GH＝BG，∴OG＝BG＝GH，∴∠OBH＝∠GOB＝30°，∴∠BGO＝120°，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為120°×π×33r∴M、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長的比=3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，圓的有關(guān)知識(shí)，弧長公式，確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．8．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED＝1：3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長為（）A．3 B．4 C．92 【分析】如圖，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與K重合，此時(shí)點(diǎn)M在H處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F與G重合，點(diǎn)M在N處，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段HN．求出KG的長即可解決問題．【解答】解：如圖，當(dāng)P與A重合時(shí)，點(diǎn)F與K重合，此時(shí)點(diǎn)M在H處，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)F與G重合，點(diǎn)M在N處，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段HN．∵AD＝4，AE：ED＝1：3，∴AE＝1，DE＝3，在Rt△AEB中，AE＝1，AB＝3，∴BE=AE∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，又∵∠A＝∠BEG＝90°，∵△AEB∽△EBG，∴BEBG∴BG=10∵BK＝AE＝1，∴KG＝BG﹣BK＝9，∴HN=12KG∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的長為92故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．二．填空題9．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點(diǎn)．則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長為35【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個(gè)以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC＝90°，連接BP，根據(jù)勾股定理求出BP即可．【解答】解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ＝6π，以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個(gè)以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l＝6π，設(shè)展開后的圓心角是n°，則nπ×6180=6解得：n＝180，即展開后∠BAC=1AP=12AC＝3，則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長就是展開后線段BP的長，由勾股定理得：BP=AB2故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，平面展開﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，弧長公式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．10．如圖，一個(gè)圓柱形水杯深20cm，杯口周長為36cm，在杯子外側(cè)底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到杯子相對(duì)的內(nèi)壁上點(diǎn)B處的蜂蜜，已知點(diǎn)B距離杯子口4cm，不考慮杯子的厚度，螞蟻爬行的最短距離為30cm．【分析】將杯子側(cè)面展開，建立B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B′A的長度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A，則B′A即為最短距離，B'A=AC故答案為：30cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為20cm．【分析】將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，在直角△A′DB中，由勾股定理得A′B=A'D2故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．12．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線CE的垂線，垂足為F，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長為23π【分析】因?yàn)椤螩FB＝90°，推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以BC為直徑的，圓弧BM，求出圓心角∠BOM即可解決問題．【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，AM＝CM，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，點(diǎn)F與AC中點(diǎn)M重合，∵∠CFB＝90°，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以BC為直徑的，圓弧BM，∵點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，AM＝CM，∴BO＝OM＝1，OM∥AB，∴∠BOM＝120°，∴BM的長=120°?π?1180°故答案為23π【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡，菱形的性質(zhì)，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以中考?？碱}型．13．在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0）、B（4，0），如圖C在x軸上，BC＝2，Q從O向C運(yùn)動(dòng)，以AQ、BQ為邊作等邊△AEQ、等邊△FBQ．連接EF，點(diǎn)P為EF中點(diǎn)，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為1．【分析】如圖所示，延長AE，BF交于點(diǎn)H，則△ABH為等邊三角形，再由三角形AEQ與三角形BGF為等邊三角形，得到兩對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EQ與AH平行，EQ與BH平行，進(jìn)而確定出四邊形EQFH為平行四邊形，根據(jù)P為EF的中點(diǎn)，得到P為HQ的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)Q從O點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也由P1運(yùn)動(dòng)到P2，利用中位線定理求出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長即可．【解答】解：如圖所示，延長AE，BF交于點(diǎn)H，則△ABH為等邊三角形，∵△AEQ與△BFQ都為等邊三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四邊形EQFH為平行四邊形，∵P為EF的中點(diǎn)，∴P為HQ中點(diǎn)，∵A（﹣2，0），B（4，0），BC＝2，∴OC＝2，隨著點(diǎn)Q從O點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也由P1運(yùn)動(dòng)到P2，∴P1P2=12即P運(yùn)動(dòng)的路徑為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形△ABC，將繞邊AB的中點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為CC'，則圖中陰影部分的面積為2π?3【分析】如圖，連接OC，OC'，設(shè)AC于OC'交點(diǎn)為D，由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，由三角形內(nèi)角和定理可求∠ADO＝90°，由面積的和差關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，連接OC，OC'，設(shè)AC與OC'交點(diǎn)為D，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO=12AB＝2，OC⊥∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∴OC＝BC?sin60°＝23，∵將△ABC繞邊AB的中點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴OC'＝OC＝23，∠COC'＝60°，∴∠AOC'＝∠AOC﹣∠COC'＝30°，∴∠ADO＝180°﹣∠AOC'﹣∠BAC＝90°，∴AD＝AO?sin30°＝1，∴S陰影＝S△AOC′+S扇形C'OC﹣S△AOC=60°×π×(23)2360°+12×2故答案為：2π?3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，求出AD的長是本題的關(guān)鍵．15．如圖，有一條長度為1的線段EF，其端點(diǎn)E、F分別在邊長為3的正方形ABCD的四邊上滑動(dòng)．當(dāng)EF繞著正方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，EF的中點(diǎn)M形成的路徑所圍成的圖形面積是9?14π【分析】先分析點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上的情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM=12EF【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上時(shí)，連接BM，在Rt△EBF中，∠B＝90°，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴BM=12EF∴點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心、以12圓面的面積=14×π×（12）當(dāng)E、F在同一條邊上時(shí)，點(diǎn)M也在這條邊上，∴EF的中點(diǎn)M形成的路徑所圍成的圖形面積＝32?116π×4＝9?故答案為：9?14【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)的軌跡、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意正確表示出EF的中點(diǎn)M形成的路徑軌跡是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF，其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為BE，則圖中陰影部分的面積為2π﹣3．【分析】連接BM、EN，由題意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC，可求MN為△DEF的中位線，則有S陰影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22【解答】解：連接BM、EN，由題意可知∠BME＝90°，BC＝CM＝2，BM=2BC＝22，DF⊥AC∴MN∥EF，M為DF的中點(diǎn)，∴MN為△DEF的中位線，∴MN=12EF＝1，MF=∴S陰影＝S扇形﹣S△EMN﹣S△BMH=90×π(22)【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；熟練掌握扇形的面積公式和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．三．解答題17．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時(shí)針方向在1上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到△A″B″C″的位置，若BC＝1，AC=3，則當(dāng)點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，求點(diǎn)A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長公式即可求出點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程．【解答】解：∵BC＝1，AC=3∴tan∠ABC=AC∴∠ABC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝2，∴點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為：120×π×2180=4π答：點(diǎn)A兩次轉(zhuǎn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為4π3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．18．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖所示，現(xiàn)將三角形木塊沿水平線翻滾五次，那么點(diǎn)B從開始至結(jié)束所走過的路徑長是多少？【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長公式求出點(diǎn)B繞點(diǎn)C、點(diǎn)A、點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的三段弧長相加即可．【解答】解：∵點(diǎn)B所經(jīng)過的這三段弧所在圓的半徑為1，所對(duì)圓心角均為120度∴點(diǎn)B所經(jīng)過的路線長為3×120180π×1＝2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正三角形的性質(zhì)及弧長公式l=n180π19．如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點(diǎn)M在棱AB上，且AM＝6cm，點(diǎn)N是FG的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【解答】解：如圖1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122如圖2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+10如圖3中，MN=222+6∵20＜2106＜2130∴螞蟻沿長方體表面爬到米粒處的最短距離為20cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵．20．如圖所示，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻總能找到距離食物的最短路徑，求螞蟻從A點(diǎn)爬到【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【解答】解：將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：AB=12底面周長=12×π×16π=8（所以AP=82+故螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解方法．21．問題探究：（1）如圖①，已知等邊△ABC，邊長為4，則△ABC的外接圓的半徑長為433（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線BD與邊BC的夾角為30°，點(diǎn)E在為邊BC上且BE=14BC，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PC，求△問題解決：（3）為了迎接新年的到來，西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個(gè)鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖③，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點(diǎn)的連接的線段（BC）看作一個(gè)三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．【分析】（1）作△ABC外接圓，作直徑AD，連接BD，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠C＝60°，根據(jù)圓周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．（2）△PEC周長的最小實(shí)質(zhì)是PE+PC，轉(zhuǎn)化為將軍飲馬模型求出P點(diǎn)，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，（3）先由定角定高可知BC的最小值為三角形是等腰三角形AB＝AC時(shí)，BC最小，而求AB+AC，可以先將A點(diǎn)沿BC方向平移BC，構(gòu)造平行四邊形將AB轉(zhuǎn)化為長，則AB+AC最小轉(zhuǎn)化為AC+CD最小，作A點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，與BC交點(diǎn)與C重合，此時(shí)BC、AB+AC同時(shí)取最小值，即可知三角形周長有沒有最小值．【解答】解：（1）如圖，作三角形外接圓⊙O，作直徑AD，連接BD，∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，∵sin∠D=AB∴AD=2AB3∴⊙0的半徑是43故答案為：43（2）如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′C交BD于P，連接PE，此時(shí)△PEC周長周長最小．連接BE′，過E′作E′H⊥BC，∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，∴BC＝43，又∵BE=14∴BE=∵點(diǎn)E′是關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠E′BH＝60°，BE′＝BE=3∴BH=32，E′H∴HC=7∴E′C=∵△PEC周長＝PC+PE+EC＝PE′+EC=（3）如圖3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，邊BC取最小值，∴此時(shí)BC＝AC＝203，作?ABCD，作A點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，AB+AC＝CD+A′C，當(dāng)A′，C，D在一條直線上時(shí)，AB+AC最小，此時(shí)，△ABC應(yīng)為等邊三角形，AB+AC＝403∵AB+AC和BC的最小值能夠同時(shí)取到，故△ABC的周長最小值為603．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0，3）、（3+1，1）、（1，0），將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)C恰好落在x軸的負(fù)半軸上，得到△AB′C（1）直接寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)