2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案1

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案考試時(shí)間120分鐘滿分150分第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列幾何體中，左視圖是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用左視圖是從物體左面看，所得到的圖形，進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：A．長方體的左視圖是長方形，不符合題意；B．該圓柱體的左視圖是長方形，不符合題意；C．圓錐的左視圖是三角形，符合題意；D．該三棱柱的左視圖為矩形，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．2.下列四個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可知，四個(gè)選項(xiàng)中，橫、縱坐標(biāo)乘積為6的即為正確答案．【詳解】解：A，，不在的圖象上，不合題意；B，，不在的圖象上，不合題意；C，，在的圖象上，符合題意；D，，不在的圖象上，不合題意；故選C．3.已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，由此即可得出答案．【詳解】解：的半徑為5，點(diǎn)在內(nèi)，，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A符合，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（圓內(nèi)、圓上、圓外）是解題關(guān)鍵．4.如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是（）A.25° B.30° C.35° D.40°【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．由圓周角定理即可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵,∴，∵，∴．故選D．5.如圖，利用標(biāo)桿測量樓高，點(diǎn)C，A，B在同一直線上，，，垂足分別為A，B.若測得影長米，米，影長米，則樓高為（）A.10米 B.12米 C.15米 D.20米【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，根據(jù)同一時(shí)刻物體與影長成比例得到對(duì)應(yīng)線段成比例解題即可．【詳解】解：∵同一時(shí)刻物體與影長成比例，∴，即：，解得：；故選B．6.如圖，與相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件，不能判斷的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可解得．【詳解】解：在和中，，A、∵，∴，故A不符合題意；B、，∴，故B不符合題意；C、∵∴，故C不符合題意；D、，不能判定，故D符合題意．故選：D．7.關(guān)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.圖象位于第二、四象限 B.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小C.當(dāng)時(shí)， D.圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷對(duì)錯(cuò)，即得．本題主要考查了反比例函數(shù)．熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，∴故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴故B選項(xiàng)正確；∵當(dāng)時(shí)，，，∴故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．8.已知二次函數(shù)，其中，則它的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可知、異號(hào)，分情況討論，當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向下，對(duì)稱軸軸右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向上，對(duì)稱軸軸左側(cè)，本題考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】，、異號(hào)，當(dāng)時(shí)，，與軸交點(diǎn)在正半軸，拋物線開口向下，對(duì)稱軸，在軸右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，拋物線開口向上，對(duì)稱軸，在軸左側(cè)，綜上所述，只有選項(xiàng)符合題意，故選：．9.濟(jì)南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量超然樓的高度，測量方案如圖2：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面的P點(diǎn)，測得超然樓頂端A的俯角為37°，再將無人機(jī)面向超然樓沿水平方向飛行到達(dá)Q點(diǎn)，測得超然樓頂端A的俯角為45°，則超然樓的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題目主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，證明為等腰直角三角形，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)，求出，得出，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，如圖所示：則，由題意得，，，∵在中，，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，在中，，解得：，∴，∴．故選：C．10.已知二次函數(shù)，其中．若當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由，可知函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，最大值為1，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則，解得即可．【詳解】，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y有最小值為，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為1，，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，這6個(gè)整數(shù)值為：1、0、、、、，解得：故選：D第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）11.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】（1，5）【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點(diǎn)式直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，5），

故答案為（1，5）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．12.二維碼在日常生活中被廣泛應(yīng)用，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)其開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．如圖，在邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行隨機(jī)擲點(diǎn)模擬實(shí)驗(yàn)．經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.7左右，據(jù)此可以估計(jì)這個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)黑色部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率．用正方形的面積乘以點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，估計(jì)這個(gè)區(qū)域內(nèi)黑色部分的總面積約為，故答案為：．13.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是______°．【答案】140【解析】【分析】由圓周角定理可得，是的一半，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求出的度數(shù)，本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握?qǐng)A周角定理，和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【詳解】，，，，故答案為：．14.如圖，點(diǎn)A是雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作軸，軸，垂足分別為B，C兩點(diǎn).，與雙曲線分別交于D，E兩點(diǎn)，若四邊形的面積為6，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k幾何意義，掌握反比例函數(shù)上的點(diǎn)向軸和軸引垂線形成的矩形的面積等于反比例函數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．由反比例函數(shù)的幾何意義得，，，再根據(jù)即可求出k的值．【詳解】解：∵D，E在反比例函數(shù)的圖像上且圖像在第二象限，∴，，∵點(diǎn)A是雙曲線上一點(diǎn)，且圖像在第二象限，∴，∵，∴，解得：．故答案為：．15.如圖，在網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，D，E均在格點(diǎn)上，且E在上．交于點(diǎn)C，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查弧長公式，勾股定理，理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．如圖，設(shè)圓心為O，連接．證明，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為O，連接．∵，∴，∴，∴的長為．故答案為：．16.如圖，在菱形中，.上有一點(diǎn)E，連接，將沿翻折使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接，.若，則______．【答案】【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由菱形性質(zhì)得，，，則，再證明，即可得出答案，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，由翻折得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴,∵,，∴，∵，∴∴，∴，解得，，∵，∴∴，解得，，故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分.請(qǐng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.計(jì)算：．【答案】0【解析】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算和冪的運(yùn)算，熟練掌握常用特殊銳角三角函數(shù)的值，以及冪的運(yùn)算法則，即可解題．【詳解】解：，．18.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：）是氣體體積V（單位：）的反比例函數(shù)，如圖所示．

（1）寫出這一函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈?為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少?【答案】（1）（2）氣球的體積至少為．【解析】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，反比函數(shù)的圖像和性質(zhì)是握掌解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，將點(diǎn)代入，求得k即可解答；（2）當(dāng)時(shí)，代入解析式即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)，將點(diǎn)代入可得；，解得：，∴這個(gè)函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，解得：，所以為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不少于．19.如圖，在中，D，E分別是，上的點(diǎn)，，，，，求的長．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證得是解題的關(guān)鍵．先線段的和差可得，再證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵,∴，解得：．20.某校舉行了第二屆信息技術(shù)應(yīng)用大賽，將該校九年級(jí)參加競賽的學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)后，繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．競賽成績不完整統(tǒng)計(jì)表組別成績分人數(shù)A10BmC17D3競賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)觀察上面的圖表，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)表中______；統(tǒng)計(jì)圖中______，B組的圓心角是______度．（2）D組的3名學(xué)生中，有2名男生和1名女生，從D組隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加5G體驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求“至少1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)”的概率．【答案】（1）20，34，144；（2）【解析】【分析】本題是統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖的綜合，考查了頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)的內(nèi)容，用樹狀圖或列表法求概率．（1）由A組成績的人數(shù)及占比可求得總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)減去其它組別的人數(shù)即可求得B組成績的人數(shù)m，從而可求得n及B組的圓心角的度數(shù)；（2）將2名男生分別記作“男1，男2”，列出表格，可求得總的結(jié)果數(shù)及至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng)的結(jié)果數(shù)，由概率計(jì)算公式即可求得．【小問1詳解】解：參加競賽的總?cè)藬?shù)為：（名），則B組成績的人數(shù)（名），，則，B組的圓心角為；故答案為：20，34，144；【小問2詳解】解：將2名男生分別記作“男1，男2”，列表如下：男1男2女男1（男1，男2）（男1，女）男2（男2，男1）（男2，女）女（女，男1）（女，男2）總共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中“至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng)”的有4種，∴P(至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng))．21.小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖2，小麗坐在秋千的最低點(diǎn)F處，O，F(xiàn)，A共線.媽媽先將小麗拉到B處，然后用力一推，爸爸在C處接住她.若秋千的長度為3米，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求B處到的距離的長度；（2）若秋千最低點(diǎn)F到地面的距離為0.3米，則C處距地面的高度為多少?【答案】（1）1.26m（2）1.59m【解析】【分析】（1）在中，利用余弦函數(shù)的定義即可求解；（2）過C作，垂足為M，在中，先求出，從而得的長，過C作于點(diǎn)N，得四邊形為矩形，進(jìn)而即可求解【小問1詳解】解：在中，∴，答：的長度是是1.26m【小問2詳解】由題，過C作，垂足為M在中，∴.∴∵過C作于點(diǎn)N∵平行線間的距離處處相等或四邊形為矩形∴C到地面的高度=答：C到地面的高度為1.59m22.如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，與相切于點(diǎn)C．連接，．（1）求證：；（2）若，，求長．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定等知識(shí)．（1）連接，由是直徑，與相切于C，得，，從而得出，即，即可證明結(jié)論；（2）由題意易證，得，得到，根據(jù)，從而求出的長．【小問1詳解】證明：連接，∵與相切于C，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，．23.噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．如圖2，將噴灌架置于坡度為的坡地底部點(diǎn)O處（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴水頭的水平距離為20米時(shí)，達(dá)到最大高度（與噴灌架底部所在水平面的距離）9米．（1）求圖2中拋物線表達(dá)式；（2）當(dāng)噴射出的水流達(dá)到最大高度時(shí)，求水流與坡面之間鉛直高度的長；（3）若噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米，求水流與噴水頭的水平距離．【答案】（1）或（2）高度的長為5米（3）5米或25米【解析】【分析】本題考查了拋物線的生活應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，坡度比的應(yīng)用．（1）根據(jù)定義，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入已知點(diǎn)，確定a值即可．（2）設(shè)鉛直高度與水平面的交點(diǎn)為M，根據(jù)坡比為，得，，求，繼而計(jì)算即可．（3）設(shè)噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米,且與水平面的交點(diǎn)為G，設(shè)，則，根據(jù)坡比為，得，求，繼而得到，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，列式計(jì)算即可．【小問1詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得，故拋物線的解析式為或．【小問2詳解】設(shè)鉛直高度與水平面的交點(diǎn)為N，根據(jù)坡比為，得，，解得，(米)．答：鉛直高度為5米．【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米且與水平面的交點(diǎn)為G，設(shè)，則，∵坡比為，∴，解得，∴，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴，整理，得，解得，答：水流與噴水頭的水平距離為5米或25米．24.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為，反比例函數(shù)與交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E，．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖2，連接，，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)P在x軸上，連接，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，若點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)及，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入中，即可求得結(jié)果；（2）先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則可計(jì)算出，，再由，即可得，利用對(duì)應(yīng)角相等即可證明平行；（3）過P作于M，過作于N，易得，則有且；設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，由此點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上即可求得點(diǎn)坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，將代入，得，解得，∴；【小問2詳解】證明：將代入，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴；過P作于M，過作于N，如圖，則，∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，，∴，在與中，，∴，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴將代入，得，∴【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)與幾何的綜合，考查了求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．25.（1）已知為等邊三角形，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接．①如圖，，，連接，延長交于點(diǎn)E.則和的數(shù)量關(guān)系是______，和所夾的鈍角______；②如圖，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，作，，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求的值和的度數(shù)；（2）如圖，已知為等腰直角三角形，，，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，作，，連接，，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的長．

【答案】（）；；（），；（）．【解析】【分析】（）由為等邊三角形，得，，證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可；由等邊三角形的性質(zhì)可以得出，，，從而證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可；（）當(dāng)時(shí)，最小，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明和，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可．【詳解】（）∵為等邊三角形，，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案為:，；（）∵為等邊三角形，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（），由（）得，點(diǎn)在過點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小，設(shè)與的交點(diǎn)為，此時(shí)，∴，又∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握正以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26.拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．（1）若拋物線過點(diǎn)，求拋物線頂點(diǎn)D和點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）如圖，在（1）的條件下，連接，點(diǎn)N為線段下方拋物線上一點(diǎn)，求面積的最大值；（3）已知點(diǎn)，，若線段與拋物線恰有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）頂點(diǎn)，（2）（3）或【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、二次函數(shù)與不等式的綜合等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）將代入求得，進(jìn)而求得拋物線解析式；然后求得拋物線的對(duì)稱軸即可求的頂點(diǎn)坐標(biāo)；再將代入得解析式可得，即可確定A的坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法求得直線的解析式，進(jìn)而可得；設(shè)==t，M（,），N（,）,則，然后求得的最值即可；（3）由則拋物線恒過且；再說明恒在二次函數(shù)上方，在直線上；進(jìn)而說明P在E點(diǎn)和C點(diǎn)的左側(cè)，或在C點(diǎn)和E點(diǎn)的右側(cè)（可以和E點(diǎn)或C點(diǎn)重合），則有或,最后解不等式組即可解答．【小問1詳解】解：∵將代入，得，解得；∴，∴，代入得：，∴頂點(diǎn)，∵將代入得：，∴．【小問2詳解】解：設(shè)直線為，將，代入可得：，解得：，∴直線為，∵過點(diǎn)N為軸，交直線于M，∴，∵設(shè)==t，M（,），N（,）,∴=，∵，開口向下，有最大值，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴此時(shí)有最大值，．【小問3詳解】解：∵，∴拋物線恒過且，∴恒在二次函數(shù)上方，在直線上，∵點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，又∵線段與拋物線恰有一個(gè)交點(diǎn),∴P在E點(diǎn)和C點(diǎn)的左側(cè)，或在C點(diǎn)和E點(diǎn)的右側(cè)（可以和E點(diǎn)或C點(diǎn)重合）,∴或,∴或．四、附加題（本大題共2個(gè)小題，每小題20分，共40分）27.當(dāng)整數(shù)k為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根均為整數(shù)．【答案】或【解析】【分析】此題考查了根的判別式，解二元一次方程組，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的兩根均為整數(shù)，得到根的判別式為完全平方式，設(shè)（m為整數(shù)），利用平方差公式分解因式得出關(guān)于k，m的方程組求解．【詳解】解：，方程有兩個(gè)整數(shù)根，為完全平方數(shù)，不妨設(shè)（m為整數(shù)），，，∴，∴與同奇偶，或，或，方程的兩個(gè)根均為整數(shù)．28.已知，，求．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．設(shè)，，等量代換后可得、，則為的根，可解得，然后再對(duì)變形后將代入計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，，，，為根，，∴．2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案考試時(shí)間120分鐘滿分150分第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列幾何體中，左視圖是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用左視圖是從物體左面看，所得到的圖形，進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：A．長方體的左視圖是長方形，不符合題意；B．該圓柱體的左視圖是長方形，不符合題意；C．圓錐的左視圖是三角形，符合題意；D．該三棱柱的左視圖為矩形，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．2.下列四個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可知，四個(gè)選項(xiàng)中，橫、縱坐標(biāo)乘積為6的即為正確答案．【詳解】解：A，，不在的圖象上，不合題意；B，，不在的圖象上，不合題意；C，，在的圖象上，符合題意；D，，不在的圖象上，不合題意；故選C．3.已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可以是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，由此即可得出答案．【詳解】解：的半徑為5，點(diǎn)在內(nèi)，，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A符合，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（圓內(nèi)、圓上、圓外）是解題關(guān)鍵．4.如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是（）A.25° B.30° C.35° D.40°【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．由圓周角定理即可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵,∴，∵，∴．故選D．5.如圖，利用標(biāo)桿測量樓高，點(diǎn)C，A，B在同一直線上，，，垂足分別為A，B.若測得影長米，米，影長米，則樓高為（）A.10米 B.12米 C.15米 D.20米【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，根據(jù)同一時(shí)刻物體與影長成比例得到對(duì)應(yīng)線段成比例解題即可．【詳解】解：∵同一時(shí)刻物體與影長成比例，∴，即：，解得：；故選B．6.如圖，與相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件，不能判斷的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可解得．【詳解】解：在和中，，A、∵，∴，故A不符合題意；B、，∴，故B不符合題意；C、∵∴，故C不符合題意；D、，不能判定，故D符合題意．故選：D．7.關(guān)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.圖象位于第二、四象限 B.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小C.當(dāng)時(shí)， D.圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷對(duì)錯(cuò)，即得．本題主要考查了反比例函數(shù)．熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，∴故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∴故B選項(xiàng)正確；∵當(dāng)時(shí)，，，∴故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．8.已知二次函數(shù)，其中，則它的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可知、異號(hào)，分情況討論，當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向下，對(duì)稱軸軸右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向上，對(duì)稱軸軸左側(cè)，本題考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】，、異號(hào)，當(dāng)時(shí)，，與軸交點(diǎn)在正半軸，拋物線開口向下，對(duì)稱軸，在軸右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，拋物線開口向上，對(duì)稱軸，在軸左側(cè)，綜上所述，只有選項(xiàng)符合題意，故選：．9.濟(jì)南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量超然樓的高度，測量方案如圖2：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面的P點(diǎn)，測得超然樓頂端A的俯角為37°，再將無人機(jī)面向超然樓沿水平方向飛行到達(dá)Q點(diǎn)，測得超然樓頂端A的俯角為45°，則超然樓的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題目主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，證明為等腰直角三角形，得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)，求出，得出，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，如圖所示：則，由題意得，，，∵在中，，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，在中，，解得：，∴，∴．故選：C．10.已知二次函數(shù)，其中．若當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由，可知函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，最大值為1，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，則，解得即可．【詳解】，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，y有最小值為，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為1，，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有6個(gè)，這6個(gè)整數(shù)值為：1、0、、、、，解得：故選：D第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）11.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________．【答案】（1，5）【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點(diǎn)式直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，5），

故答案為（1，5）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．12.二維碼在日常生活中被廣泛應(yīng)用，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)其開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)．如圖，在邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行隨機(jī)擲點(diǎn)模擬實(shí)驗(yàn)．經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.7左右，據(jù)此可以估計(jì)這個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)黑色部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率．用正方形的面積乘以點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，估計(jì)這個(gè)區(qū)域內(nèi)黑色部分的總面積約為，故答案為：．13.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是______°．【答案】140【解析】【分析】由圓周角定理可得，是的一半，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求出的度數(shù)，本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握?qǐng)A周角定理，和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【詳解】，，，，故答案為：．14.如圖，點(diǎn)A是雙曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A分別作軸，軸，垂足分別為B，C兩點(diǎn).，與雙曲線分別交于D，E兩點(diǎn)，若四邊形的面積為6，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)k幾何意義，掌握反比例函數(shù)上的點(diǎn)向軸和軸引垂線形成的矩形的面積等于反比例函數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．由反比例函數(shù)的幾何意義得，，，再根據(jù)即可求出k的值．【詳解】解：∵D，E在反比例函數(shù)的圖像上且圖像在第二象限，∴，，∵點(diǎn)A是雙曲線上一點(diǎn)，且圖像在第二象限，∴，∵，∴，解得：．故答案為：．15.如圖，在網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，D，E均在格點(diǎn)上，且E在上．交于點(diǎn)C，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查弧長公式，勾股定理，理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．如圖，設(shè)圓心為O，連接．證明，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為O，連接．∵，∴，∴，∴的長為．故答案為：．16.如圖，在菱形中，.上有一點(diǎn)E，連接，將沿翻折使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接，.若，則______．【答案】【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由菱形性質(zhì)得，，，則，再證明，即可得出答案，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：延長、交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，由翻折得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴,∵,，∴，∵，∴∴，∴，解得，，∵，∴∴，解得，，故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分.請(qǐng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.計(jì)算：．【答案】0【解析】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算和冪的運(yùn)算，熟練掌握常用特殊銳角三角函數(shù)的值，以及冪的運(yùn)算法則，即可解題．【詳解】解：，．18.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（單位：）是氣體體積V（單位：）的反比例函數(shù)，如圖所示．

（1）寫出這一函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒈?為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少?【答案】（1）（2）氣球的體積至少為．【解析】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，反比函數(shù)的圖像和性質(zhì)是握掌解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，將點(diǎn)代入，求得k即可解答；（2）當(dāng)時(shí)，代入解析式即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)，將點(diǎn)代入可得；，解得：，∴這個(gè)函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，解得：，所以為了安全起見，氣體的體積應(yīng)不少于．19.如圖，在中，D，E分別是，上的點(diǎn)，，，，，求的長．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證得是解題的關(guān)鍵．先線段的和差可得，再證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵,∴，解得：．20.某校舉行了第二屆信息技術(shù)應(yīng)用大賽，將該校九年級(jí)參加競賽的學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)后，繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．競賽成績不完整統(tǒng)計(jì)表組別成績分人數(shù)A10BmC17D3競賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)觀察上面的圖表，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)表中______；統(tǒng)計(jì)圖中______，B組的圓心角是______度．（2）D組的3名學(xué)生中，有2名男生和1名女生，從D組隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加5G體驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求“至少1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)”的概率．【答案】（1）20，34，144；（2）【解析】【分析】本題是統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖的綜合，考查了頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)的內(nèi)容，用樹狀圖或列表法求概率．（1）由A組成績的人數(shù)及占比可求得總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)減去其它組別的人數(shù)即可求得B組成績的人數(shù)m，從而可求得n及B組的圓心角的度數(shù)；（2）將2名男生分別記作“男1，男2”，列出表格，可求得總的結(jié)果數(shù)及至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng)的結(jié)果數(shù)，由概率計(jì)算公式即可求得．【小問1詳解】解：參加競賽的總?cè)藬?shù)為：（名），則B組成績的人數(shù)（名），，則，B組的圓心角為；故答案為：20，34，144；【小問2詳解】解：將2名男生分別記作“男1，男2”，列表如下：男1男2女男1（男1，男2）（男1，女）男2（男2，男1）（男2，女）女（女，男1）（女，男2）總共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中“至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng)”的有4種，∴P(至少一名女生被抽中參加體驗(yàn)活動(dòng))．21.小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖2，小麗坐在秋千的最低點(diǎn)F處，O，F(xiàn)，A共線.媽媽先將小麗拉到B處，然后用力一推，爸爸在C處接住她.若秋千的長度為3米，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求B處到的距離的長度；（2）若秋千最低點(diǎn)F到地面的距離為0.3米，則C處距地面的高度為多少?【答案】（1）1.26m（2）1.59m【解析】【分析】（1）在中，利用余弦函數(shù)的定義即可求解；（2）過C作，垂足為M，在中，先求出，從而得的長，過C作于點(diǎn)N，得四邊形為矩形，進(jìn)而即可求解【小問1詳解】解：在中，∴，答：的長度是是1.26m【小問2詳解】由題，過C作，垂足為M在中，∴.∴∵過C作于點(diǎn)N∵平行線間的距離處處相等或四邊形為矩形∴C到地面的高度=答：C到地面的高度為1.59m22.如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，與相切于點(diǎn)C．連接，．（1）求證：；（2）若，，求長．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定等知識(shí)．（1）連接，由是直徑，與相切于C，得，，從而得出，即，即可證明結(jié)論；（2）由題意易證，得，得到，根據(jù)，從而求出的長．【小問1詳解】證明：連接，∵與相切于C，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，．23.噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．如圖2，將噴灌架置于坡度為的坡地底部點(diǎn)O處（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度），噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴水頭的水平距離為20米時(shí)，達(dá)到最大高度（與噴灌架底部所在水平面的距離）9米．（1）求圖2中拋物線表達(dá)式；（2）當(dāng)噴射出的水流達(dá)到最大高度時(shí)，求水流與坡面之間鉛直高度的長；（3）若噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米，求水流與噴水頭的水平距離．【答案】（1）或（2）高度的長為5米（3）5米或25米【解析】【分析】本題考查了拋物線的生活應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，坡度比的應(yīng)用．（1）根據(jù)定義，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入已知點(diǎn)，確定a值即可．（2）設(shè)鉛直高度與水平面的交點(diǎn)為M，根據(jù)坡比為，得，，求，繼而計(jì)算即可．（3）設(shè)噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米,且與水平面的交點(diǎn)為G，設(shè)，則，根據(jù)坡比為，得，求，繼而得到，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，列式計(jì)算即可．【小問1詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得，故拋物線的解析式為或．【小問2詳解】設(shè)鉛直高度與水平面的交點(diǎn)為N，根據(jù)坡比為，得，，解得，(米)．答：鉛直高度為5米．【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且噴射出的水流與坡面之間的鉛直高度為米且與水平面的交點(diǎn)為G，設(shè)，則，∵坡比為，∴，解得，∴，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴，整理，得，解得，答：水流與噴水頭的水平距離為5米或25米．24.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為，反比例函數(shù)與交于點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E，．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖2，連接，，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)P在x軸上，連接，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，若點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)及，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入中，即可求得結(jié)果；（2）先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則可計(jì)算出，，再由，即可得，利用對(duì)應(yīng)角相等即可證明平行；（3）過P作于M，過作于N，易得，則有且；設(shè)，則可表示出的坐標(biāo)，由此點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上即可求得點(diǎn)坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，將代入，得，解得，∴；【小問2詳解】證明：將代入，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴；過P作于M，過作于N，如圖，則，∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，，∴，在與中，，∴，∴，，設(shè)，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴將代入，得，∴【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)與幾何的綜合，考查了求函