第五講 套利定價(jià)模型(APT)

講套利定價(jià)模型（APT）

2021/6/271本講的主要內(nèi)容：

1、CAPM模型的缺陷

2、因素模型

3、套利組合

4、APT模型

5、CAPM與APT的比較2021/6/272一、CAPM的局限性（一）相關(guān)假設(shè)條件的局限性

1.市場無摩擦假設(shè)和賣空無限制假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符；

2.投資者同質(zhì)預(yù)期與信息對(duì)稱的假設(shè)意味著信息是無成本的，與現(xiàn)實(shí)不符；3.投資者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)過于嚴(yán)格。2021/6/273（二）CAPM的實(shí)證檢驗(yàn)問題

1.市場組合的識(shí)別和計(jì)算問題

CAPM刻畫了資本市場達(dá)到均衡時(shí)資產(chǎn)收益的決定方法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特點(diǎn)是，均衡資產(chǎn)的收益率取決于市場資產(chǎn)組合的期望收益率。理論上，市場資產(chǎn)組合定義為所有資產(chǎn)的加權(quán)組合，每一種資產(chǎn)的權(quán)數(shù)等于該資產(chǎn)總市場價(jià)值占所有資產(chǎn)總價(jià)值的比重。但實(shí)際上，市場資產(chǎn)涵蓋的范圍非常廣泛，因此，在CAPM的實(shí)際運(yùn)用中要識(shí)別一個(gè)真正的市場組合幾乎是不可能的。一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家采用一個(gè)容量較大的平均數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾工業(yè)指數(shù)）作為市場資產(chǎn)組合的替代，對(duì)CAPM進(jìn)行了檢驗(yàn)，得出的結(jié)果卻與現(xiàn)實(shí)相悖。2021/6/2742.單因素模型無法全面解釋對(duì)現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益率決定的影響因素

RosenbergandMarshe（1977）的研究發(fā)現(xiàn)，如果將紅利、交易量和企業(yè)規(guī)模加入計(jì)量模型，則β系數(shù)會(huì)更有說服力。Basu(1977)發(fā)現(xiàn)，低市盈率股票的期望收益率高于資本資產(chǎn)定價(jià)模型的估計(jì)；Banz(1981)的實(shí)證研究表明，股票收益率存在“規(guī)模效應(yīng)”，即小公司股票有較高的超常收益率；Kleim（1983）發(fā)現(xiàn)股票收益呈季節(jié)性變動(dòng)，即存在季節(jié)效應(yīng)。上述兩方面的局限性都削弱了CAPM對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的解釋能力。2021/6/275（三）關(guān)于CAPM檢驗(yàn)的羅爾批評(píng)（Roll’sCritique）

Roll（1977）對(duì)CAPM提出了如下批評(píng)意見：

1.對(duì)于CAPM唯一合適的檢驗(yàn)形式應(yīng)當(dāng)是：檢驗(yàn)包括所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在內(nèi)的市場資產(chǎn)組合是否具有均值-方差效率。

2.如果檢驗(yàn)是基于某種作為市場資產(chǎn)組合代表的股票指數(shù)，那么如果該指數(shù)具有均值-方差效率，則任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都會(huì)落在證券市場線上，而這是由于恒等變形引起的，沒有實(shí)際意義；2021/6/2763.如果檢驗(yàn)是基于某種無效率的指數(shù)，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的任何情形都有可能出現(xiàn)，它取決于無效指數(shù)的選擇。該結(jié)論斷言，即便市場組合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能夠證明單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均衡收益同β風(fēng)險(xiǎn)、市場組合之間存在某種有意義的關(guān)系。因此，羅爾認(rèn)為，由于技術(shù)上的原因和原理上的模糊，CAPM是無法檢驗(yàn)的。2021/6/277二、套利定價(jià)理論簡介羅斯（Ross，1976）給出了一個(gè)以無套利定價(jià)為基礎(chǔ)的多因素資產(chǎn)定價(jià)模型，也稱套利定價(jià)理論模型（ArbitragePricingTheory，APT）。該模型由一個(gè)多因素收益生成函數(shù)推導(dǎo)而出，其理論基礎(chǔ)為一價(jià)定律（TheLawofOnePrice），即兩種風(fēng)險(xiǎn)－收益性質(zhì)相同的資產(chǎn)不能按不同價(jià)格出售。該模型推導(dǎo)出的資產(chǎn)收益率決定于一系列影響資產(chǎn)收益的因素，而不完全依賴于市場資產(chǎn)組合，而套利活動(dòng)則保證了市場均衡的實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，APT對(duì)CAPM中的投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假設(shè)條件作了放松，從而較CAPM具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)解釋能力。2021/6/278三、因素模型

套利定價(jià)理論認(rèn)為，證券收益是跟某些因素相關(guān)的。為此，在介紹套利定價(jià)理論之前，我們先得了解因素模型（FactorModels）。因素模型認(rèn)為各種證券的收益率均受某個(gè)或某幾個(gè)共同因素影響。各種證券收益率之所以相關(guān)主要是因?yàn)樗麄兌紩?huì)對(duì)這些共同的因素起反應(yīng)。因素模型的主要目的就是找出這些因素并確定證券收益率對(duì)這些因素變動(dòng)的敏感度。2021/6/279（一）單因素模型單因素模型認(rèn)為，證券的收益率只受一種因素的影響。對(duì)于任意的證券i，其在t時(shí)刻的單因素模型表達(dá)式為：（5-1）其中表示證券i在t時(shí)期的收益率，F(xiàn)t表示該因素在t時(shí)期的預(yù)測(cè)值，bi表示證券i對(duì)該因素的敏感度。為證券i在t時(shí)期的隨機(jī)變量，其均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為，i為常數(shù)，它表示要素值為0時(shí)證券i的預(yù)期收益率。因素模型認(rèn)為，隨機(jī)變量ε與因素是不相關(guān)的，且兩種證券的隨機(jī)變量之間也是不相關(guān)的。2021/6/2710根據(jù)式（5-1），證券i的預(yù)期收益率為：（5-2）其中表示該要素的期望值。根據(jù)式（5-1），證券i收益率的方差為：（5-3）其中表示F因素的方差，表示隨機(jī)變量的方差，式（5-3）表明，某種證券的風(fēng)險(xiǎn)等于因素風(fēng)險(xiǎn)加上非因素風(fēng)險(xiǎn)。在單因素模型下，證券i和j收益率的協(xié)方差為：（5-4）單因素模型可以大大簡化馬科維茨模型中確定切點(diǎn)處投資組合的麻煩。2021/6/2711在單因素模型中，證券組合的方差等于：（5-4）其中，2021/6/2712（二）兩因素模型兩因素模型認(rèn)為，證券收益率取決于兩個(gè)因素，其表達(dá)式為：其中,F1t和F2t分別表示影響證券收益率的兩個(gè)因素在t時(shí)期的預(yù)測(cè)值,bi1和bi2分別表示證券i對(duì)這兩個(gè)因素的敏感度.證券i的預(yù)期收益率為：證券i收益率的方差為：

其中COV(F1,F2)表示兩個(gè)因素F1和F2之間的協(xié)方差。證券i和證券j的協(xié)方差為：2021/6/2713（三）多因素模型多因素模型認(rèn)為，證券i的收益率取決于K個(gè)因素，其表達(dá)式為：

應(yīng)該注意的是，與資本資產(chǎn)定價(jià)模型不同，因素模型不是資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型。在實(shí)際運(yùn)用中，人們通常通過理論分析確定影響證券收益率的各種因素，然后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用時(shí)間序列法、跨部門法、因素分析法等實(shí)證方法估計(jì)出因素模型。2021/6/2714四、套利組合根據(jù)套利定價(jià)理論，在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下，投資者將利用組建套利組合的機(jī)會(huì)來增加其現(xiàn)有投資組合的預(yù)期收益率。那么，什么是套利組合呢？根據(jù)套利的定義，套利組合要滿足三個(gè)條件：條件1：套利組合要求投資者不追加資金,即套利組合屬于自融資組合.如果我們用xi表示投資者持有證券i金額比例的變化(從而也代表證券i在套利組合中的權(quán)重,注意xi可正可負(fù))，則該條件可以表示為：2021/6/2715條件2：套利組合對(duì)任何因素的敏感度為零，即套利組合沒有因素風(fēng)險(xiǎn)。證券組合對(duì)某個(gè)因素的敏感度等于該組合中各種證券對(duì)該因素敏感度的加權(quán)平均數(shù)，因此在單因素模型下該條件可表達(dá)為：

在雙因素模型下，條件2表達(dá)式為：在多因素模型下，條件2表達(dá)式為：

……2021/6/2716條件3：套利組合的預(yù)期收益率應(yīng)大于零，即：例題：某投資者擁有一個(gè)3種股票組成的投資組合，3種股票的市值均為500萬，投資組合的總價(jià)值為1500萬元。假定這三種股票均符合單因素模型，其預(yù)期收益率分別為16%、20%和13%，其對(duì)該因素的敏感度(bi)分別為0.9、3.1和1.9。請(qǐng)問該投資者能否修改其投資組合，以便在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下提高預(yù)期收益率。2021/6/2717解：令三種股票市值比重變化量分別為x1、x2和x3。根據(jù)(條件1)和(條件2)我們有：上述方程組有多種解.作為其中的一個(gè)解，我們令x1=0.1，則可解出x2=0.083,x3=－0.183。為了檢驗(yàn)這個(gè)解能否提高預(yù)期收益率，我們把這個(gè)解用(條件3)檢驗(yàn)。則有：0.1

0.16+0.083

0.2－0.183

0.13=0.881%由于0.881%為正數(shù)，因此我們可以通過賣出274.5萬元的第三種股票(等于－0.183

1500萬元)同時(shí)買入150萬元第一種股票(等于0.1

1500萬元)和124.5萬元第二種股票(等于0.083

1500萬元)就能使投資組合的預(yù)期收益率提高0.881%。2021/6/2718五、套利定價(jià)模型投資者的套利活動(dòng)是通過買入收益率偏高的證券同時(shí)賣出收益率偏低的證券來實(shí)現(xiàn)的，其結(jié)果是使收益率偏高的證券價(jià)格上升，其收益率將相應(yīng)回落；同時(shí)使收益率偏低的證券價(jià)格下降，其收益率相應(yīng)回升。這一過程將一直持續(xù)到各種證券的收益率跟各種證券對(duì)各因素的敏感度保持適當(dāng)?shù)年P(guān)系為止。下面我們就來推導(dǎo)這種關(guān)系：2021/6/2719（一）單因素模型的定價(jià)公式投資者套利活動(dòng)的目標(biāo)是使其套利組合預(yù)期收益率最大化(因?yàn)楦鶕?jù)套利組合的定義,他無需投資,也沒有風(fēng)險(xiǎn))。而套利組合的預(yù)期收益率為：但套利活動(dòng)要受到式(條件1)和(條件2)兩個(gè)條件的約束。根據(jù)拉格朗日定理，我們可建立如下函數(shù)：L取最大值的一價(jià)條件是上式對(duì)xi和的偏導(dǎo)等于零，即：2021/6/2720

……

2021/6/2721由此我們可以得到在均衡狀態(tài)下和的關(guān)系：（5-5）這就是在單因素模型APT定價(jià)公式,其中是常數(shù)。從式(5-5)可以看出和必須保持線性關(guān)系，否則的活，投資者就可以通過套利活動(dòng)來提高投資組合的預(yù)期收益率。式（5-5）可以用下圖來表示：

APT資產(chǎn)定價(jià)線BSbibB=bS2021/6/2722式（5-5）中的代表什么意思呢？我們知道，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，即：。由于式（5-5）適用于所有證券包括無風(fēng)險(xiǎn)證券，而無風(fēng)險(xiǎn)證券的因素敏感度，因此根據(jù)式（5-5）我們有：。由此可見，式（5-5）中的一定等于，因此式（5-5）可重新表示為：（5-6）為了理解的含義，我們考慮一個(gè)純因素組合其因素敏感度等于1，即代入（5-6），我們有：2021/6/2723由此可見，代表因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，即擁有單位因素敏感度的組合超過無風(fēng)險(xiǎn)利率部分的預(yù)期收益率。為表達(dá)方便，我們令，即表示單位因素敏感度組合的預(yù)期收益率，我們有：（5-7）2021/6/2724（二）兩因素模型的定價(jià)公式用同樣的方法我們可以求出兩因素模型中的APT資產(chǎn)定價(jià)公式：（5-8）同理，考慮無風(fēng)險(xiǎn)證券和兩個(gè)充分多樣化的組合，一個(gè)組合對(duì)第一種因素的敏感度等于1，對(duì)第二種因素的敏感度等于0，其預(yù)期收益率為；另一個(gè)組合對(duì)第一種因素的敏感度等于0，對(duì)第二種因素的敏感度等于1，其預(yù)期收益率為。則有：

(5-9)2021/6/2725（三）多因素模型的定價(jià)公式同樣道理，在多因素模型下，APT資產(chǎn)定價(jià)公式為：

(5-10)如果我們用表示對(duì)第j種因素的敏感度為1，而對(duì)其它因素的敏感度為0的證券組合的預(yù)期收益率，我們可以得到：

(5-11)式(5-11)說明，一種證券的預(yù)期收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率加上k個(gè)因素風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。2021/6/2726APT與CAPM的比較

APT是比CAPM更為一般的資產(chǎn)定價(jià)模型

1.APT是一個(gè)多因素模型，它假設(shè)均衡中的資產(chǎn)收益取決于多個(gè)不同的外生因素，而CAPM中的資產(chǎn)收益只取決于一個(gè)單一的市場組合因素。從這個(gè)意義上看，CAPM只是APT的一個(gè)特例。

2.CAPM成立的條件是投資者具有均值方差偏好、資產(chǎn)的收益分布呈正態(tài)分布，而APT則不作這類限制，但它與CAPM一樣，要求所有投資者對(duì)資產(chǎn)的期望收益和方差、協(xié)方差的估計(jì)一致。2021/6/2727APT比CAPM顯得更為完整穩(wěn)鍵1.APT沒有關(guān)于資產(chǎn)回報(bào)率分布的假設(shè),而CAPM要求資產(chǎn)回報(bào)率服從多元正態(tài)分布；2.APT沒有關(guān)于個(gè)人效用函數(shù)的嚴(yán)格假設(shè)，而CAPM要求效用函數(shù)僅是E（RP）和

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的函數(shù)；3.APT允許均衡回報(bào)率依賴于多個(gè)因素，而CAPM假設(shè)資產(chǎn)回報(bào)率僅依賴于市場證券組合的回報(bào)率；4.APT可以對(duì)任意資產(chǎn)子集進(jìn)行定價(jià)；人們不必為檢驗(yàn)理論而去對(duì)無窮盡的資產(chǎn)進(jìn)行計(jì)量；5.在APT中，市場證券組合沒有特殊的作用，而CAPM必須要求市場證券組合是有效的；6.APT容易擴(kuò)展到多期模型中。2021/6/2728例1.考慮一個(gè)單因素APT模型，股票A和股票B的期望收益率分別為15%和18%，無風(fēng)險(xiǎn)利率是6%，股票B的為1.0。如果不存在套利機(jī)會(huì)，股票A的應(yīng)