第5章　第4講　平面向量的綜合應(yīng)用

第五章平面向量與復(fù)數(shù)第四講平面向量的綜合應(yīng)用知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[33]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一向量在平面幾何中的應(yīng)用1．用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：?jiǎn)栴}類(lèi)型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題共線向量定理a∥b?____________?______________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0a＝λb

x1y2－x2y1＝0問(wèn)題類(lèi)型所用知識(shí)公式表示垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?__________?________________，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cosθ＝______(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長(zhǎng)度問(wèn)題數(shù)量積的定義|a|＝______＝________，其中a＝(x，y)，a為非零向量a·b＝0x1x2＋y1y2＝02.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟：知識(shí)點(diǎn)二向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．知識(shí)點(diǎn)三向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過(guò)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問(wèn)題．歸

納

拓

展2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)√×√√題組二走進(jìn)教材2．(必修2P60T10改編)設(shè)向量a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，若a⊥b，則sin2θ＝_______.[解析]

∵a＝(cosθ，2)，b＝(－1，sinθ)，且a⊥b.A．矩形 B．正方形

C．菱形 D．梯形C4．(必修2P60T8改編)一質(zhì)點(diǎn)在平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用下處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2N和4N，則F3的大小為()B題組三走向高考6考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究向量與平面幾何——師生共研B故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，名師點(diǎn)撥：平面幾何問(wèn)題的向量解法1．坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．2．基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫(xiě)出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練】A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形C向量在解析幾何中的應(yīng)用——師生共研A．圓 B．橢圓

C．拋物線 D．直線A∴點(diǎn)C的軌跡為圓．故選A.[解析]

解法一：由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，6因?yàn)椋?≤x0≤2，名師點(diǎn)撥：向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用：①載體作用，向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題；②工具作用，利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題常常是比較優(yōu)越的方法．【變式訓(xùn)練】2向量與其他知識(shí)的交匯——師生共研(2023·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第四次月考)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大??；[解析]

(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C,0<C<π，所以sin(A＋B)＝sinC，(2)由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝4c2－3×36，所以c＝6.名師點(diǎn)撥：平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路1．題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．2．給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值．【變式訓(xùn)練】(1)求∠C的大?。籟解析]

(1)因?yàn)閙＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，兩邊平方得又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②名師講壇·素養(yǎng)提升三角形的四“心”及三角形形狀的判定一、三角形的“四心”3．外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)．類(lèi)型一平面向量與三角形的“重心”問(wèn)題A．△ABC的內(nèi)心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB邊的中點(diǎn)C∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心．類(lèi)型二平面向量與三角形的“外心”問(wèn)題A．外心 B．內(nèi)心

C．重心 D．垂心A所以P為AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)，所以P是△ABC的外心．故選A.類(lèi)型三平面向量與三角形的“垂心”問(wèn)題A．重心 B．垂心

C．外心 D．內(nèi)心B類(lèi)型四平面向量與三角形的“內(nèi)心”問(wèn)題A．重心 B．外心

C．垂心 D．內(nèi)心D∴AD平分∠BAC，∴直線AD通過(guò)△ABC的內(nèi)心．二、三角形形狀的判斷A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[分析]