第7章　第2講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第七章立體幾何第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[41]知識(shí)梳理·雙基自測知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1.__________的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．基本事實(shí)2.如果一條直線上的__________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且__________________的公共直線．不共線兩個(gè)點(diǎn)只有一條過該點(diǎn)推論1.經(jīng)過一條直線和__________________，有且只有一個(gè)平面．推論2.經(jīng)過兩條________直線，有且只有一個(gè)平面．推論3.經(jīng)過兩條________直線，有且只有一個(gè)平面．注：1.基本事實(shí)1、基本事實(shí)2和三個(gè)推論是判斷點(diǎn)、線共面的依據(jù)；2．基本事實(shí)3是判斷兩個(gè)平面相交及三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)的依據(jù)。這條直線外一點(diǎn)相交平行知識(shí)點(diǎn)二空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β特征共面，無公共點(diǎn)無公共點(diǎn)無公共點(diǎn)

直線與直線直線與平面平面與平面相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l特征共面，有唯一公共點(diǎn)有唯一公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)共線公共點(diǎn)

直線與直線直線與平面平面與平面獨(dú)有關(guān)系圖形語言

符號(hào)語言a，b是異面直線a?α

知識(shí)點(diǎn)三異面直線所成角、基本事實(shí)4及等角定理1．異面直線(1)定義：異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．兩直線既不平行也不相交的直線是異面直線．(2)異面直線的畫法畫異面直線時(shí)，為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托．(3)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的______________叫做異面直線a與b所成的角．銳角或直角2．基本事實(shí)4.(平行公理)平行于同一條直線的兩條直線________.3．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角______________.平行相等或互補(bǔ)歸

納

拓

展異面直線的判定定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)可表示為：若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線(如圖)．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．()√××√(5)兩兩相交的三條直線共面．()(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．()××題組二走進(jìn)教材2．(必修2P147例1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[解析]

連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.故選C.3．(必修2P134例1)如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)．共面(2)若E、F、G、H分別為棱AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，①當(dāng)AC，BD滿足條件______________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；②當(dāng)AC，BD滿足條件________________________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD題組三走向高考4．(2019·新課標(biāo)Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B[解析]

連接BD、BE，則BD過點(diǎn)N，∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，M是線段ED的中點(diǎn)，∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，∵BM是△BDE中DE邊上的中線，EN是△BDE中BD邊上的中線，∴直線BM，EN是相交直線，∴BM≠EN，故選B.5．(2021·全國高考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()D[解析]

解法一：如圖，連接BC1，PC1，因?yàn)锳D1∥BC1，所以∠PBC1或其補(bǔ)角為直線PB與AD1所成的角，因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究平面基本性質(zhì)的應(yīng)用——自主練透

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(3)若DC1∩D1C＝P，AB1∩EF＝Q，DB1交平面ECD1F于R，則P，Q，R三點(diǎn)共線．[證明]

(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋F∥CD1，EF<CD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(3)由DC1∩D1C＝P，AB1∩EF＝Q知平面ECD1F∩平面AB1C1D＝PQ，∵R∈DB1，DB1?平面AB1C1D，∴R∈平面AB1C1D，又R∈ECD1F，∴R∈PQ，即P，Q，R共線．名師點(diǎn)撥：1．證明空間點(diǎn)共線問題的方法(1)基本事實(shí)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．2．點(diǎn)、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】(多選題)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)共面的是()ABC[解析]

在A圖中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；如圖所示，在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點(diǎn)共面；D圖中PS與QR為異面直線，∴四點(diǎn)不共面，故選ABC.空間兩條直線的位置關(guān)系——師生共研1.(多選題)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是()BD[解析]

圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?HG，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN因此GH與MN異面，故選BD.2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為__________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)．③④[解析]

因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯(cuò)；取DD1中點(diǎn)E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯(cuò)；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④正確，故填③④.名師點(diǎn)撥：1．異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．(2)判定定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．2．判定平行直線的常用方法(1)三角形中位線的性質(zhì)．(2)平行四邊形的對邊平行．(3)平行線分線段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，則a∥c.【變式訓(xùn)練】(多選題)如圖為正方體表面的一種展開圖，則在原正方體中，下列說法正確的是()ACDA．AB與CD是異面直線B．GH與BD相交C．EF∥CDD．EF與GH是異面直線[解析]

畫出該正方體的直觀圖如圖所示，其中異面直線有AB與CD、GH與BD、EF與GH，顯然EF∥CD，故選ACD.異面直線所成的角——師生共研D2.(2024·湖北部分學(xué)校聯(lián)考、黑龍江大慶質(zhì)檢)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為()D3．若兩條異面直線a、b所成角為60°，則過空間一點(diǎn)O與兩異面直線a、b所成角都為60°的直線有______條．[解析]

如圖，過O分別作a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成角為60°，如圖易知過O與a′、b′所成角都為60°的直線有3條，即與a，b所成角都為60°的直線有3條．3[引申]本例3中與異面直線a、b所成角都為75°的直線有______條．注：與異面直線所成角都為θ，則4名師點(diǎn)撥：求異面直線所成角的方法1．定義法定義法求異面直線所成角的步驟(1)找或作：在圖中找或平移異面直線中的一條或兩條構(gòu)造異面直線所成的角．(2)證：說明所作的角是異面直線所成的角．(3)算：尋找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．2．向量法【變式訓(xùn)練】1.(2022·重慶育才中學(xué)診斷)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，AC與BD所成角為60°，且AC＝BD＝2，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則EF＝()C∴∠EHF為AC，BD所成的角或其補(bǔ)角．∴∠EHF＝60°或120°.2．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P－ABC中，AB為底面圓的直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線PA與BC所成角的大小為()A.30° B．45°C．60° D．90°C解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為O.由題意可知OC、OB、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，名師講壇·素養(yǎng)提升空間幾何體的截面問題1.若E、F、H分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CC1、A1D1的中點(diǎn)，則過E、F、H三點(diǎn)的截面圖形是____________.正六邊形[解析]

取A1B1的中點(diǎn)M，連接EM、MC1、EF并延長交于Q，作直線HQ交C1D1于N，交B1A1的延長線于S，作直線SE交A1A于P，交B1B的延長線于R，連FR交BC于G，連EG、FN、HP得過E、F、H三點(diǎn)的截面EGFNHP，易證EGFNHP為正六邊形．名師點(diǎn)撥：1．作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③