第7章　第3講　空間直線、平面平行的判定與性質

第七章立體幾何第三講空間直線、平面平行的判定與性質知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓練練案[42]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一直線與平面平行的判定與性質

判定定理性質定理文字語言如果平面外的一條直線與______________一條直線平行，那么該直線與此平面平行一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與________平行圖形語言此平面內的交線b?αα∩β＝ba∥b知識點二面面平行的判定與性質

判定定理性質定理文字語言如果一個平面內的____________直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線________圖形語言兩條相交平行a?βb?βa∩b＝Pa∥b歸

納

拓

展1．若α∥β，a?α，則a∥β.

2．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．

3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．

4．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．

雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面．()(2)平行于同一條直線的兩個平面平行．()(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()×××(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．()(5)若直線a與平面α內無數(shù)條直線平行，則a∥α.()(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.()√××題組二走進教材2．(必修2P142T2)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()A．α內有無數(shù)條直線都與β平行B．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD[解析]

對于選項A，若α存在無數(shù)條直線與β平行，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則α內有無數(shù)條直線都與β平行，所以選項A是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的是α∥β的一個充分條件．故選D.題組三走向高考3．(2023·全國Ⅰ卷(節(jié)選))如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.證明：B2C2∥A2D2.[證明]

證法一：分別取D1D2、AA1的中點M、N，連接MC2，NB2，由題意知D1M綉C1C2，∴MC2綉C1D1綉A1B1，同理B2N綉A1B1，∴MC2綉NB2，即MNB2C2為平行四邊形，∴C2B2∥MN，又MD2綉A2N，∴D2A2NM為平行四邊形，∴D2A2∥MN，∴B2C2∥D2A2.證法二：以C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，則C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，又B2C2，A2D2不在同一條直線上，∴B2C2∥A2D2.4.(2021·天津卷(節(jié)選))如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．求證：D1F∥平面A1EC1.[證明]

證法一：連接B1D1交A1C1于M，連BD、EF、ME，∵E、F分別為BC、CD的中點，∴四邊形EFD1M為平行四邊形，∴D1F∥ME，又ME?平面A1EC1，D1F?平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1.證法二：取AD的中點H，連接D1H，HE，HF，AC，∴E為BC的中點，∴EH綉CD綉C1D1，∴四邊形C1D1HE為平行四邊形，∴D1H∥C1E，又D1H?平面A1EC1，C1E?平面A1EC1，∴D1H∥平面A1EC1，又F為CD的中點，∴HF∥AC∥A1C1又HF?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1，∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，∴平面HFD1∥平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1.證法三：以A為原點，AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，設平面A1EC1的一個法向量為m＝(x，y，z)，令x＝2，則m＝(2，－2,1)，因為D1F?平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.考點突破·互動探究空間平行關系的基本問題——自主練透

1.(多選題)(2023·福建福州八縣區(qū)期中改編)已知l、m是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若l、m是異面直線，l?α，l∥β，m?β，m∥α，則α∥βB．如果l∥α，m?α，且l，m共面，那么l∥mC．如果α⊥β，l⊥α，那么l∥βD．如果l⊥m，l⊥α，那么m∥αAB[解析]

對于A中，過m作平面γ與平面α交于直線c，如圖，因為l，m是異面直線，所以l，c相交，又m∥α，所以m∥c，由c?β，m?β得c∥β，又l∥β，l，c是α內兩相交直線，所以α∥β，A正確；對于B中，由線面平行的性質定理，可得l∥m，所以B正確；對于C中，如果α⊥β，l⊥α，那么l∥β或l?β，所以C不正確；對于D中，如果l⊥m，l⊥α，那么m∥α或m?α，所以D不正確．故選AB.2.下列三個命題在“(

)”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構成真命題(其中l(wèi)，m為直線，α，β為平面)，則此條件是__________.[解析]

①l∥m，m∥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α；②l?α，m?α，l∥m?l∥α；③l⊥m，m⊥α?l∥α或l?α，由l?α?l∥α.故答案為l?α.l?α【變式訓練】(2024·九省聯(lián)考試題)設α，β是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是()A．若α⊥β，m∥α，l∥β，則m⊥lB．若m?α，l?β，m∥l，則α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，則m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，則α⊥β[解析]

m，l可能平行，相交或異面，故A錯誤；α，β可能相交或平行，故B錯誤；α，β平行，故D錯誤；由線面平行性質得C正確．故選C.C直線與平面平行的判定與性質——多維探究角度1線面平行的判定(2024·四川巴中診斷(節(jié)選))如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為CD，PA的中點．證明：EF∥平面PBC.[證明]

思路一：利用直線、面平行的判定證明證法一：連接AE延長交BC的延長線于N，連接PN，∵AD∥BC，即AD∥CN，又CE＝ED，∴AE＝EN，又AF＝FP，∴EF∥PN，∵PN?平面PBC，EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC.證法二：過E點作MN∥AB且交BC延長線于M，交AD于N，取PB的中點H，連接HM，∵AD∥BC，∴FHME為平行四邊形，∴EF∥MH，又MH?平面PBC，EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC.思路二：利用面、面平行的性質證明證法三：取AB的中點M，連接ME，MF(如右圖)由E，F(xiàn)分別為CD，PA的中點及中位線定理得ME∥BC，MF∥PB，∵BC，PB?平面PBC，F(xiàn)M，EM?平面PBC，∴ME∥平面PBC，MF∥平面PBC，又ME∩MF＝M，ME，MF?平面EFM，故平面EFM∥平面PBC，∵EF?平面EFM，∴EF∥平面PBC.證法四：取PD的中點Q，連接QE，QF(如右圖)由E，F(xiàn)分別為CD，PA的中點及中位線定理得QF∥AD，QE∥PC，∵PC?平面PBC，QE?平面PBC，∴QE∥平面PBC，∵AD∥BC，QF∥AD，∴QF∥BC，∵BC?平面PBC，QF?平面PBC，∴QF∥平面PBC，又QE∩QF＝Q，QE，QF?平面EFQ，∴平面EFQ∥平面PBC，∵EF?平面EFQ，∴EF∥平面PBC.思路三：空間向量方法證法五：∵PA⊥底面ABCD，AB，AD?平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，故AB，AD，AP兩兩垂直，由PA＝AD＝4，AB＝BC＝2知：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，E(1,3,0)，F(xiàn)(0,0,2)，設平面PBC的一個法向量為v＝(x1，y1，z1)，取z1＝1得v＝(2,0,1)，[引申]本例條件下，證明BF∥平面PCD.名師點撥：判斷或證明線面平行的常用方法1．利用線面平行的定義(無公共點)．2．利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．3．利用面面平行的性質定理(α∥β，a?α?a∥β)．4．利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．5．向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．注：線面平行的關鍵是線線平行，證明中常構造三角形中位線或平行四邊形．【變式訓練】[證明]

連接BD、AC交于O，連接OQ，∴OQ∥PD，又OQ?平面ACQ，PD?平面ACQ，∴PD∥平面ACQ.角度2線面平行的性質

如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.[證明]

如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG，∴PA∥GH.名師點撥：空間中證明兩條直線平行的常用方法1．利用線面平行的性質定理，即a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.已知l∥α，一般找或作過l且與α相交的平面探求解題方向．2．利用平行公理：平行于同一直線的兩條直線互相平行．3．利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行．【變式訓練】1.(角度1)(2022·廣東佛山質檢，節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別為AD、PC的中點．求證：EF∥平面PAB.[證明]

證法一：取PB的中點H，連接FH、HA，∵F為PC的中點，又四邊形ABCD為平行四邊形，又E為AD的中點，∴FH綉EA，∴四邊形AEFH為平行四邊形，∴EF∥AH，又EF?平面PAB，HA?平面PAB，∴EF∥平面PAB.證法二：取BC的中點H，連接FH，HE，∵F為PC的中點，∴FH∥BP，又FH?平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E為AD的中點，且四邊形ABCD為平行四邊形，∴HE∥BA，又HE?平面PAB，∴HE∥平面PAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.證法三：連CE并延長交BA的延長線于H，連接PH.∵E為平行四邊形ABCD的邊AD的中點，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F為PC的中點，∴EF∥PH，又EF?平面PAB，PH?平面PAB，∴EF∥平面PAB.兩個平面平行的判定與性質——師生共研

四棱錐P－ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD為正三角形，E，F(xiàn)，G分別在線段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.證明：平面GBD∥平面PEF.[證明]

證法一：∵DF＝2FC，BE＝2EC，故△BCD中EF∥BD.∵EF?平面PEF，BD?平面PEF，∴BD∥平面PEF.連接AF交BD于點H，連接GH，∵PF?平面PEF，GH?平面PEF，∴GH∥平面PEF，∵GH?平面GBD，BD?平面GBD且GH∩BD＝H，∴平面GBD∥平面PEF.證法二：延長FE與AB延長線交于H，連接PH，∵AB∥CD，∴△FEC∽△HEB，又GB?平面PEF，PH?平面PEF，∴GB∥平面PEF，又BD?平面PEF，EF?平面PEF，∴BD∥平面PEF，又GB?平面GBD，BD?平面GBD，且BD∩GB＝B，∴平面GBD∥平面PEF.名師點撥：證明面面平行的方法有1．面面平行的定義．2．面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．3．利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．4．如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．5．利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化．*6.向量法：證明兩平面的法向量平行．注：為便于構造平行線，常對錐體補形．【變式訓練】(2022·南昌模擬節(jié)選)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD.設M，N分別為PD，AD的中點．求證：平面CMN∥平面PAB.[證明]

∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.名師講壇·素養(yǎng)提升平行關系的綜合應用1.(多選題)(2024·廣東深圳中學摸底)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M均是所在棱的中點，則下列說法正確的是()ABCA．B1G∥DMB．B1G∥平面A1EFC．平面BDM∥平面A1EFD．B1G∥A1F[解析]

由MB1綉DG知B1GDM為平行四邊形，∴B1G∥DM，選項A對；由A1M綉EB知MBEA1為平行四邊形，∴BM∥A1E，從而可知A1E∥平面MBD，又EF∥BD知EF∥平面MBD.∴平面A1EF∥平面MBD，選項C對；又B1G∥平面MBD，B1G?平面A1EF，∴B1G∥平面A1EF，選項B對；B1G與A1F異面，選項D錯，故選ABC.2.(2022·安徽皖北聯(lián)考)如圖，在四棱錐C－ABED中，四邊形ABED是正方形，點G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點．(1)求證：GF∥平面ABC；(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．[解析]

(1)證明：∵四邊形A