第10章　第6講　二項分布與超幾何分布

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第六講二項分布與超幾何分布知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究提能訓(xùn)練練案[68]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一二項分布1．n重伯努利試驗只包含________可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗．將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．特征：①同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；②各次試驗的結(jié)果____________.兩個相互獨立npnp(1－p)歸

納

拓

展1．二項分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．(2)本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．2．超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)Y的概率分布．(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．√√××題組二走進教材2．(選擇性必修3P76T1改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，X表示“正面向上”出現(xiàn)的次數(shù)，則P(X＝2)＝_______，E(X)＝______.2C題組三走向高考4．(2018·課標(biāo)Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(

)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3B考點突破·互動探究n重伯努利試驗——自主練透(2024·浙江金華十校模擬)一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現(xiàn)進行四次試驗，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為_________.A二項分布——多維探究A2．已知隨機變量ξ～B(7,0.5)，則k＝__________時P(ξ＝k)最大．3或4

角度2二項分布的實際應(yīng)用(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)某校為了緩解高三學(xué)子復(fù)習(xí)壓力，舉行“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)活動，規(guī)定每人從10道題中隨機抽3道回答，至少答對2題即可闖過第一關(guān)，某班有5位同學(xué)參加闖關(guān)活動，假設(shè)每位同學(xué)都能答對10道題中的6道題，且每位同學(xué)能否闖過第一關(guān)相互獨立．(1)求B同學(xué)闖過第一關(guān)的概率；(2)求這5位同學(xué)闖過第一關(guān)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以應(yīng)用均值與方差的性質(zhì)求解，即利用E(ax＋b)＝aE(x)＋b，D(ax＋b)＝a2D(x)求解．7

超幾何分布——師生共研

在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．[引申1]用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù)，則X的分布列為多少？[引申2]用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差，則X的分布列為多少？名師點撥：1．超幾何分布的特點(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)超幾何分布是不放回抽樣問題；(4)隨機變量為抽取的某類個體的個數(shù)．(5)考查某類個體抽取個數(shù)X的概率分布．3．超幾何分布的應(yīng)用超幾何分布是一個重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于正品與次品，白球與黑球，男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題．(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率．二項分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用(2024·重慶萬州中學(xué)測試)某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分．已知小明同學(xué)能答對10道題中的6道題．(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分X的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大？名師講壇·素養(yǎng)提升離散型隨機變量的分布列與統(tǒng)計綜合(2024·陜西漢中聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計劃對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如表：

一等品二等品合計設(shè)備改造前12080200設(shè)備改造后15050200合計270130400(1)判斷是否有99%的把握，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；(2)按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任選3件，記所選的一等品件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．α0.0500.0100.001χα3.8416.63510.828【變式訓(xùn)練】(2024·黑龍江雙鴨山一中期中)近年來，師范專業(yè)是高考考生填報志愿的熱門專業(yè)．某高中隨機調(diào)查了本校2022年參加高考的90位文科考生首選志愿(第一個院校專業(yè)組的第一個專業(yè))填報情況，經(jīng)統(tǒng)計，首選志愿填報與性別情況如下表：(單位：人)

首選志愿為師范專業(yè)首選志愿為非師范專業(yè)女性2535男性525(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)．能否有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān)？(2)用樣本估計總體，用本次調(diào)研中首選志愿樣本的頻率代替首選志愿的概率，從2022年全國文科考生中隨機抽取3人，設(shè)被抽取的3