第6章　第1講　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第六章數(shù)列考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，20等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及公差運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2023新課標(biāo)Ⅱ，8等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅱ，18數(shù)列的求和并項(xiàng)求和運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2022新高考Ⅰ，17求通項(xiàng)公式累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅱ，3等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求值運(yùn)算求解創(chuàng)新性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，17等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用運(yùn)算求解邏輯思維創(chuàng)新性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，16,17數(shù)列的求和錯(cuò)位相減法求和，分組求和運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅱ，17等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ，14等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ，Ⅱ，18等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式及分組轉(zhuǎn)化法求和運(yùn)算求解邏輯思維綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2021新高考Ⅱ，12求通項(xiàng)公式新定義邏輯思維創(chuàng)新性邏輯推理【命題規(guī)律與備考策略】重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等求和方法.有時(shí)考查數(shù)列的創(chuàng)新問(wèn)題，實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，與不等式的綜合問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力.第一講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究提能訓(xùn)練練案[35]知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照____________排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的____________數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式________________表達(dá)，這個(gè)公式叫做數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝________________叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和一定順序每一個(gè)數(shù)an＝f(n)a1＋a2＋…＋an知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)______________畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用________表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法(n，an)公式知識(shí)點(diǎn)三an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1Sn－Sn－1知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列的分類歸

納

拓

展1．?dāng)?shù)列與函數(shù)數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.數(shù)列的通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是一群孤立的點(diǎn).2．常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)自然數(shù)列：1,2,3,4，…，an＝n.(2)奇數(shù)列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.(3)偶數(shù)列：2,4,6,8，…，an＝2n.(4)平方數(shù)列：1,4,9,16，…，an＝n2.(5)2的乘方數(shù)列：2,4,8,16，…，an＝2n.(6)乘積數(shù)列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1).(8)重復(fù)數(shù)串列：9,99,999,9999，…，an＝10n－1.(9)符號(hào)數(shù)列：－1,1，－1,1，…，或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都可以用公式表示出來(lái).()(2)依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).()(3)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是同一個(gè)概念.()(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)于任意n∈N*，都有an＝Sn－

Sn－1.()×√××[解析]

(1)因?yàn)閿?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，如我班某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，按考號(hào)從小到大的順序排列，這個(gè)數(shù)列肯定沒(méi)有通項(xiàng)公式，所以錯(cuò)誤.(3)數(shù)列{an}中第n項(xiàng)an，其中n為項(xiàng)數(shù)，an為項(xiàng).(4)由數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可知，當(dāng)n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－

Sn－1，而n＝1時(shí)a1＝S1，所以不正確.題組二走進(jìn)教材C3．(選修2P8T2改編)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，則32是數(shù)列的()A.第4項(xiàng) B．第5項(xiàng)C.第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)[解析]

由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故選C.C4．(選修2P8T3改編)下列數(shù)列是遞減數(shù)列的是()B題組三走向高考A.b1<b5 B．b3<b8C.b6<b2 D．b4<b7D∴所求和為1＋3＋6＝10.10考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式——自主練透

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an.(1)－1,7，－13,19，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)5,55,555,5555，…；[解析]

(1)符號(hào)可通過(guò)(－1)n或(－1)n＋1調(diào)節(jié)，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5).(2)觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)：每一項(xiàng)都比2的n次冪多1，所以an＝2n＋1.名師點(diǎn)撥：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略1．常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等.2．具體策略(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；(5)化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；(6)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.注意：并不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式也不一定唯一.由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式——多維探究角度1已知Sn求an問(wèn)題1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝______________.[解析]

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－10＝－9；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當(dāng)n＝1時(shí)，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.2n－112．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝___________.[解析]

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.角度2由Sn與an的關(guān)系求anA名師點(diǎn)撥：已知Sn求an的一般步驟1．當(dāng)n＝1時(shí)，由a1＝S1，求a1的值.2．當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達(dá)式.3．檢驗(yàn)a1的值是否滿足2中的表達(dá)式，若不滿足，則分段表示an.4．寫出an的完整表達(dá)式.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式.2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式()B2．(角度2)(2023·遼寧部分重點(diǎn)高中高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝2an－1，則{an}的通項(xiàng)公式為()A.an＝2n－1 B．a(chǎn)n＝2n－1C.an＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1[解析]

當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－

Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2).又n＝1時(shí)，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故選B.B用累加法、累乘法求通項(xiàng)公式——多維探究角度1形如an＋1＝an＋f(n)，求an∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1角度2形如an＋1＝anf(n)，求an(n＋1)·2n－1名師點(diǎn)撥：1．累加法求通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的遞推公式滿足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以運(yùn)用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.2．累乘法求通項(xiàng)公式【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，則an＝________________；(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝______.n2－2n＋2[解析]

(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，又當(dāng)n＝1時(shí)，12－2×1＋2＝1，∴n＝1時(shí)符合上式.∴an＝n2－2n＋2.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)——多維探究角度1數(shù)列的周期性A可以看出數(shù)列的周期為4，角度2數(shù)列的單調(diào)性A.(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.(1，＋∞) D．(0，＋∞)D角度3數(shù)列的最大(小)項(xiàng)問(wèn)題C名師點(diǎn)撥：1．解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.2．判斷數(shù)列單調(diào)性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去.【變式訓(xùn)練】D[解析]

∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，可知此數(shù)列有周期性，周期T＝3，2．(角度2)(2024·滕州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()[解析]

∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴對(duì)任意的n∈N*，都有

an＋1>an，∴(n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，即b>－(2n＋1)對(duì)任意的n∈N*恒成立，又n＝1時(shí)，－(2n＋1)取得最大值－3，∴b>－3，即實(shí)數(shù)b的取值范圍為(－3，＋∞).故選B.BA.此數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng)B.此數(shù)列的最大項(xiàng)是a3C.此數(shù)列沒(méi)有最小項(xiàng)D.此數(shù)列的最小項(xiàng)是a2B[解析]

令t＝n－1≥0，則n＝t＋1，所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a3，有最小項(xiàng)a1.故選B.名師講壇·素養(yǎng)提升遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法熱點(diǎn)一an＋1＝Aan＋B(A、B為常數(shù))型(2024·西北師大附中調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，則an＝______________.[解析]

∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.3n－1－3名師點(diǎn)撥：熱點(diǎn)三an＋1＝pan＋f(n)(p為常數(shù))型(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，則an＝______________.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，則an＝_____________.4n－1＋n3n－2n名師點(diǎn)撥：1