2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級下冊第十八章 平行四邊形 專題18.2 特殊的平行四邊形 （學(xué)生版）VIP

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專題18.2特殊的平行四邊形1．了解矩形、菱形、正方形的概念，掌握矩形、菱形、正方形的特殊性質(zhì)（邊、角、對角線）；2．能利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)解決相關(guān)的計算和證問題；3.理解并掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，并能運用其判定解決相關(guān)的證明和計算問題；4.能利用矩形的性質(zhì)證明:直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半。5.探究菱形面積的多種求法。6.了解正方形與矩形、菱形、平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別；知識點01矩形的性質(zhì)與判定【知識點】矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形矩形的性質(zhì)，從邊、角、對角線、對稱性進行討論。如下圖，四邊形ABCD為矩形：1）邊：=1\*GB3①對邊平行；=2\*GB3②對邊相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC2）角：四個角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°3）對角線：=1\*GB3①對角線相等；=2\*GB3②對角線相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO4）對稱性：軸對稱圖形；中心對稱圖形5）重要推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即如上圖，如∠A=90°，點O為斜邊BD的中點，則AO=BD（或AO=OB=OD）矩形是特殊的平行四邊形，常見的判定思路：平行四邊形+矩形的一個特殊性質(zhì)，具體如下：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個角是90°；2）判定方法2（角）：有3個角是直角的四邊形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；3）判定方法3（對角線）：平行四邊形+對角線相等，或?qū)蔷€相等且相互平分?！局R拓展1】矩形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期中）下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（

）A．對角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對角線相等且互相平分C．矩形的對角線互相垂直且平分 D．對角線互相平分的四邊形是矩形【即學(xué)即練】1．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（）A．鄰邊相互垂直B．對角線相互垂直C．是中心對稱圖形D．對邊相等【知識拓展2】利用矩形的性質(zhì)求角度、長度（面積）例2．（2022·吉林松原市·九年級一模）如圖所示，點是矩形的對角線的中點，點為的中點．若，，則的周長為（）A．10 B． C． D．14【即學(xué)即練】1．（2022·重慶市初三期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，過點A作AE⊥BD于點E，已知∠EAD＝3∠BAE，則∠EOA＝______°．2．（2022·河南初三期末）如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足為E,∠BAE=30°,那么△ECD的面積是（）A．2 B． C． D．【知識拓展3】矩形中的翻折、坐標問題例3．（2022·廣東·深圳市二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形中，，，將沿對角線翻折，使點落在處，與軸交于點，則點的坐標為______．【即學(xué)即練】1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（）A． B．2 C． D．4【知識拓展4】斜邊中線等于斜邊的一半例4．（2022·柘城初三模擬）如圖，在四邊形中，，，垂足為點，連接交于點，點為的中點，．若，，則的長為（）A．14 B．21 C．24 D．25【即學(xué)即練】1．（2021·遼寧丹東市·九年級期末）如圖，在和中，，，是的中點，連接，，，若，則的面積為（）A．12 B．12.5 C．15 D．24【知識拓展5】矩形的判定定理的理解例5．（2022春·陜西西安·九年級階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．有一個角是直角的四邊形是矩形B．兩條對角線相等的四邊形是矩形C．兩條對角線互相垂直的四邊形是矩形D．有三個角是直角的四邊形是矩形【即學(xué)即練】1．（2022秋·吉林白山·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四邊形是矩形的是（

）A．有兩個角為直角的四邊形 B．有一個角是直角的平行四邊形C．對角線互相平分的四邊形 D．對角線相等的四邊形2．（2022春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．【知識拓展6】證明四邊形是矩形例6．（2022·河南九年級期中）如圖，將?ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE．（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；（2）若∠AFC=2∠ADC，求證：四邊形ABEC是矩形．【即學(xué)即練】1．（2021·江蘇·中考真題）如圖，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證：四邊形是矩形．【知識拓展7】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定綜合問題例7．（2022·重慶初三期末）如圖，已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（10，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP＝45°時，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP＝30°時，△OAD的面積為15；③當(dāng)P在運動過程中，CD的最小值為2﹣6；④當(dāng)OD⊥AD時，BP＝2．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學(xué)即練】1．（2021·達州市·九年級期末）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分交BC于點E，．連接OE，則下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個知識點02菱形的性質(zhì)與判定【知識點】菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形。菱形的性質(zhì)，從邊、角、對角線、對稱性進行討論。如下圖，四邊形ABCD為菱形：1）邊：=1\*GB3①四條邊都相等；=2\*GB3②對邊平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD2）角：對角相等（與平行四邊形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）對角線：=1\*GB3①對角線相互垂直；=2\*GB3②對角線平分對角；=3\*GB3③對角線相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD4）對稱性：軸對稱圖形；中心對稱圖形5）菱形的面積（對角線相互垂直的四邊形）：對角線乘積的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，菱形是特殊的平行四邊形，常見的判定思路：平行四邊形+菱形的一個特殊性質(zhì)，具體如下：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1組鄰邊相等2）判定方法2（邊）：四條邊相等的四邊形，即AB=BC=CD=DA3）判定方法3（對角線）：平行四邊形+對角線相互垂直，或?qū)蔷€相互垂直且平分4）判定方法4（對角線）：平行四邊形+對角線平分一組頂角【知識拓展1】菱形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022秋·河南南陽·八年級階段練習(xí)）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【即學(xué)即練】1．（2022春·云南·九年級統(tǒng)考期中）下列關(guān)于菱形的說法中正確的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．菱形的對角線互相垂直且平分C．菱形的對角線相等且互相平分 D．對角線互相平分的四邊形是菱形【知識拓展2】利用菱形的性質(zhì)求角度、長度例2．（2022·江蘇常州初三期末）如圖，菱形的對角線相交于點，于點，連接，若，則的度數(shù)是()A．25° B．22.5° C．30° D．15°【即學(xué)即練】1．（2022·黑龍江哈爾濱市·九年級期末）如圖，菱形的邊長為10，對角線的長為16，點，分別是邊，的中點，連接并延長與的延長線相交于點，則的長為________．【知識拓展3】菱形中的翻折、坐標問題題例3．（2022·黑龍江九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD∥x軸，AD=4，∠A=60°．將菱形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)，使點D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點的坐標是_____________．【即學(xué)即練】1．（2022·福建三明·一模）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，若點G恰好為CD邊的中點，則AE的長為（）A．B．C．D．3【知識拓展4】菱形的面積例4．（2022·湖南長沙·九年級期末）如圖，將菱形ABCD的對角線AC向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使AE＝CF．（1）求證：四邊形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的對角線BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面積．【即學(xué)即練】1．（2022·鎮(zhèn)江市初三月考）如圖，菱形ABCD的對角線的長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是__________．【知識拓展5】菱形的判定定理的理解例5．（2022春·遼寧沈陽·九年級校考期末）下列說法正確的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形C．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 D．矩形的對角線互相垂直【即學(xué)即練】1.（2022春·陜西榆林·九年級?？计谀┤鐖D，在中，對角線與相交于點O，如果添加一個條件，可推出是菱形，那么這個條件可以是（

）A． B． C． D．【知識拓展6】證明四邊形是菱形例6．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇揚州·八年級階段練習(xí)）已知：如圖，在中，點E、F分別在AD、BC上，且BE平分，．求證：(1)；(2)四邊形ABFE是菱形．【知識拓展7】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定綜合問題例7．（2022·廣東·八年級期末）如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標是．矩形沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．(1)求證：是等腰三角形；(2)求直線的解析式；(3)若點是平面內(nèi)任意一點，點是線段上的一個動點，過點作軸，垂足為點．在點的運動過程中是否存在以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【即學(xué)即練】1．（2022·廣東連州·九年級階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，交的延長線于F，以為鄰邊作平行四邊形．（1）證明平行四邊形是菱形；（2）若，連結(jié)，①求證：；②求的度數(shù)；（3）若，，，M是的中點，求的長．知識點03正方形的性質(zhì)與判定【知識點】正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形正方形的性質(zhì)，從邊、角、對角線、對稱性進行討論。如下圖，四邊形ABCD為正方形：1）邊：=1\*GB3①四條邊相等；=2\*GB3②對邊平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC2）角：四個角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°3）對角線：=1\*GB3①對角線相互平分；=2\*GB3②對角線相等；=3\*GB3③對角線相互垂直；=4\*GB3④對角線平分對角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO4）對稱性：軸對稱圖形；中線對稱圖形正方形是特殊的平行四邊形、矩形、正方形，常見的判定思路為：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個90°角+1組鄰邊相等，或平行四邊形+對角線垂直且相等；2）判定方法2（從正方形出發(fā)）：正方形+1個90°角，或正方形+對角線相等；3）判定方法3（從矩形出發(fā)）：矩形+1組鄰邊相等，或矩形+對角線垂直；4）判定方法4（從四邊形出發(fā)）：對角線垂直平分且相等?！局R拓展1】正方形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測）正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線相等且互相平分【即學(xué)即練】1．（2022春·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四個角都是直角B．對角線相等C．四條邊相等D．對角線互相平分【知識拓展2】利用正方形的性質(zhì)求角度、長度（面積）例2．（2022·江蘇儀征初三一模）如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E為對角線AC上一點，EF⊥DE交AB于F，若四邊形AFED的面積為4，則四邊形AFED的周長為______．【即學(xué)即練】1．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，將正方形沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【知識拓展3】正方形中的翻折或重疊問題例3．（2022·遼寧新賓初三期中）將五個邊長都為的正方形按如圖所示擺放，點、、、分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為___________．【即學(xué)即練】1．（2022·陜西·九年級期中）如圖，正方形的邊長為，為邊的中點，點在邊上移動，點關(guān)于直線的對稱點記為，連接、、．當(dāng)四邊形為正方形時，的長為________．【知識拓展4】正方形的判定定理的理解例4．（2022春·遼寧沈陽·九年級期中）下列說法不正確的是（

）A．對角線互相垂直的矩形是正方形 B．對角線相等的菱形是正方形C．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 D．鄰邊相等的矩形是正方形【即學(xué)即練】1．（2022春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如果一個平行四邊形要成為正方形，需增加的條件是（

）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直且相等【知識拓展5】特殊平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系例5．（2022春·山西太原·九年級統(tǒng)考期中）在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時，某小組同學(xué)畫出了如下關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫了它們之間轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫錯誤的是（

）A．①，對角相等 B．③，有一組鄰邊相等C．②，對角線互相垂直 D．④，有一個角是直角【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇淮安市·八年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）.（1）四邊形EFGH的形狀是_____________，（證明你的結(jié)論.）（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足__________條件時，四邊形EFGH是矩形(不用證明)【知識拓展6】證明四邊形是正方形例6．（2022·山東高唐初三期末）如圖，已知平行四邊形中，對角線，交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形．【即學(xué)即練】1．（2022·瀘縣·八年級期末）如圖，點D為的邊BC的中點，過點A作，且，連接DE，CE．（1）求證：；（2）若，判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由；（3）若要使四邊形ADCE為正方形，則應(yīng)滿足什么條件？（直接寫出條件即可，不必證明）．【知識拓展7】正方形的性質(zhì)與判定綜合問題例7．（2022·遼寧大洼·八年級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E、F分別在邊BC、AB上，點G在邊BA的延長線上，且CE=BF=AG．（1）求證：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）尺規(guī)作圖：以線段DE、DG為邊作出正方形DEHG（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；（3）連接（2）中的FH，猜想四邊形CEHF的形狀，并證明你的猜想；（4）當(dāng)時，求出的值．【即學(xué)即練】1．（2022·黑龍江·雞西市九年級期末）如圖，在正方形中，是直線上的一點，連接，過點作，交直線于點，連接．（1）當(dāng)點在線段上時，如圖①，求證：；（2）當(dāng)點在直線上移動時，位置如圖②、圖③所示，線段，與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022.綿陽市初二期中）如圖，在平行四邊形中，對角線交于點，并且，點是邊上一動點，延長交于點，當(dāng)點從點向點移動過程中（點與點，不重合），則四邊形的變化是（）A．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形B．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形D．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形2．（2022·四川·成都九年級期中）下列判斷正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．對角線相等的菱形是正方形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3．（2022·遼寧鐵西·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，連接AE，點F是AE的中點，連接DF，若AB＝9，AD，則四邊形CDFE的面積是（）A． B． C． D．544．（2022·福建廈門·九年級期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M在BC邊上，連接MO并延長交AD邊于點N．若BM=1，∠OMC=30°，MN=4，則矩形ABCD的面積為_________．5.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一點，點F，G，H分別是BE，BC，CE的中點，，則GH的長為________．6．（2022·廣東新豐初三期中）如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是AC中點，F(xiàn)是BC中點，請?zhí)羁眨海?）四邊形BDEF是四邊形；（2）若四邊形BDEF是菱形，則△ABC滿足的條件是．（3）若四邊形BDEF是矩形，則△ABC滿足的條件是．（4）若四邊形BDEF是正方形，則△ABC滿足的條件是．并就（2）、（3）、（4）中選取一個進行證明．7.（2022·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，E為對角線BD上一點，且AE⊥AB，連結(jié)CE．（1）求證：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1時，求菱形的邊長．8．（2022·遼寧沈陽市·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線，過點A作AEBC，過點D作DEAB，DE與AC，AE分別交于點O，E，連接EC．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，則菱形ADCE的周長為．題組B能力提升練1．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點D、C分別落在點、的位置，的延長線交于點G，若，則等于（）A． B． C． D．2.（2022?滕州市九年級模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊長為2，點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，∠AOC＝60°，若將菱形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，得到四邊形OA'B'C'，則點B的對應(yīng)點B'的坐標為（）A．（，-） B．（2，﹣2） C．（，-） D．（4，﹣4）3．（2022·重慶梁平初三期末）如圖，在△ABC中，點E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個判斷中，不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 C．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形4．（2021·重慶中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O做ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B． C．2 D．5．（2022·陜西·咸陽九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，，CE交BO于點E，過點B作，垂足為F，交AC于點G．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2022·陜西榆林市·九年級期末）如圖，，矩形的頂點，分別在邊，上，當(dāng)點在邊上移動時，點隨之在邊上移動，，，運動過程中，點到點的最大距離為______．7．（2022·江蘇南通市·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝_____度．8．（2022·遼寧鞍山·八年級期末）如圖①，已知菱形ABCD的邊長為2cm，，點M從點D開始向點C以1cm/s的速度運動，同時點N從點C開始以相同的速度向點B運動，連接AM，AN，MN，設(shè)運動時間為xs；(1)試判斷的形狀，請說明理由；(2)當(dāng)x為多少時，點A到MN的距離h最小？請直接寫出滿足條件的x和h的值；(3)在（2）的條件下，連接對角線AC，BD交于點O，在圖②畫出圖形并判斷以O(shè)，N，M，D為頂點的四邊形的形狀，請說明理由．9．（2022·山西九年級階段練習(xí)）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE=45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在四邊形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠GCE=45°，BE=4，AG=6，求四邊形ABCG的面積．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·廣東湘橋初三期末）在菱形ABCD中，，點E為AB邊的中點，DE是線段AP的垂直平分線，連接DP、BP、CP，下列結(jié)論：①DP=CD；②；③；④，其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2021·浙江溫州市·中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結(jié)，延長交于點．若，則的值為（）A． B． C． D．3．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為CD邊上一點（點E不與端點C，D重