機(jī)械工程測試技術(shù)（第3版）課件：非周期信號及其連續(xù)頻譜

掌握非周期信號的描述方法非周期信號及其連續(xù)頻譜傅立葉變換的主要性質(zhì)及應(yīng)用

非周期信號及其連續(xù)頻譜學(xué)習(xí)重點(diǎn)周期信號與非周期信號之間沒有絕

對的差別

，

當(dāng)周期信號fT(t)的周期T無限增大時(shí)

，

就轉(zhuǎn)化為非周期信號

f(t)

。

即:lim

fT

(t)=f(t)T

w一、傅立葉變換非周期信號一般為時(shí)域有限信號，具有

收斂可積條件，其能量為有限值。這種信

號的頻域分析手段是傅立葉變換?！?|x

(t

)

=

j

X

(

f

)e

j

2

ft

df

|

X(f)=j-

x(t)e

-

j

2

ft

dt

-

1

傅立葉變換的性質(zhì)a.奇偶虛實(shí)性?x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)x(t)為偶函數(shù)[即x(t)=x(-t)]，則X(ω)為ω的實(shí)、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)[即x(t)=-x(-t)]，則X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；?x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)b.線性疊加性若

x1(t)

←→

X1(f)

，x2(t)

←→

X2

(f)

則：a

x1(t)

+

b

x2(t)

←→

a

X1

(f)

+b

X2(f)c.對稱性若

x(t)

←→

X(f)

，則

X(-t)

←→

x(-f)d.

時(shí)間尺度改變特性若

x(t)

←→

X(f)

，則對于實(shí)常數(shù)k

，有x(k

t)←→1/k[X(f/k)]?若信號x

(t)在時(shí)間軸上被壓縮至原信號的1/k

，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬k倍，而其幅值相應(yīng)地

減至原信號幅值的1/k?信號的持續(xù)時(shí)間與信號占

有的頻帶寬度成反比。?k

<1

時(shí)(圖a)：時(shí)間尺度擴(kuò)展，快錄慢放，頻譜變窄(f,聲音變低沉)，幅值個(gè)。對后續(xù)設(shè)備(放大器、濾波器等)的通頻帶要求可以降低，但信號處理效率不高。?k>1時(shí)(圖c)：時(shí)間尺度壓縮，慢錄快放，頻譜變寬(f

個(gè),聲音變尖)，幅值。信號處理效率個(gè)，但頻譜變寬后，如果后續(xù)設(shè)備的通頻帶不夠?qū)挘赡軐?dǎo)致失真。窗函數(shù)的尺度變換(k=3)e.

時(shí)移性如果有x(t)

←

→

X(f)

，則

x(t±t0)

←→

e

±j2πft0

X(f)例8求圖2.30所示矩形脈

沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為可視為一個(gè)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈沖時(shí)移至t0

點(diǎn)位置所形成。則幅頻譜和相頻譜分別為圖2.30具有時(shí)移t0

的矩形脈沖f.

頻移性

(亦稱調(diào)制性)若x(t)

←→

X(f)

，則x(t)

e

±j2πf0t

←→

X(f

±f0)f0——常數(shù)。0t的頻

譜x(t)cosωG

(O)=j

g

(t)e一jOt

dt

=j

一T

2

A

.e一jOt

dt=

A「ej

一

e一

j

]=

2

A

sin

OT=AT=ATSinc()sin

xxT/T//2一ww2.幾種典型信號的傅立葉變換2.1矩形窗函數(shù)(矩形脈沖函數(shù))。矩形脈沖g(t)及其對應(yīng)的頻域函數(shù)G(ω)分別如下：g

(t

)

=

A

一

T

/

2

共

t

共

T/

20

其它?當(dāng)ω=0時(shí)，

G(ω)=AT

；?ω=2kπ/T時(shí)，

G(ω)=0sin

c(x)=,稱為抽樣函數(shù)L」O

22.26函數(shù):一個(gè)理想函數(shù)，物理不可實(shí)現(xiàn)。幅值無限，持續(xù)時(shí)間為零的脈沖。l0,

t

豐

06(t)

=〈(w,

t

=

06

(t

)

=

lic

S

c

(t

))0mj_w6(t)dt=1S(t)S(t)S(t)1/ctttc單位脈沖函數(shù)的頻譜---6(t)的傅立葉變換：即6(t)及其傅立葉變換6(t)函數(shù)的性質(zhì)1)采樣特性j

x(t)

.6(t)dt

=

j

x(0)

.6(t)dt

=

x(0)

.

j

6(t)dt

=

x(0)

j

x(t)

.6(t

t0

)dt

=

j

x(t0

)

.6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

.

j

6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

00

t0

t

-

1t

-

1x(t)+

1

x(t)+

1x(t)+

1

x(t)+

1

0

t0

t0

t6(t)6(t)××＝＝-

1-

10t0tx(t)*6(t)=j

x(T)6(t

T)dT

=

x(t)

結(jié)果：x(t)與6(t)的卷積等于x(t)2)

6(t)與其它信號的卷積6函數(shù)具有等強(qiáng)度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱

為“均勻譜”。

(f)10

(jf)=j

6(t)e

j2

ftdt

=

e0

=

1

6(t)=j

1.ej

2

ftdf

3)

6(t)函數(shù)的頻譜6(t)

?11?6(f)t

0

f直流分量的頻譜δ函數(shù)的頻譜逆變換：即：

6(t)余弦函數(shù)的頻譜：

正弦函數(shù)的頻譜：正弦函數(shù)的頻譜2.3正、余弦信號的頻譜歐拉公式：2.4周期單位脈沖序列的頻譜相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函數(shù)g(t)=6(t

-nTs

)n=-“式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。頻率fs=1/Ts用傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：g(t)=C

n

e

j

2

"nf

s

tn

=-“““Cn

=

j-2Ts

g(t)e-j

2"nfs

t

dt

=

j-2Ts

6(t)e-j

2"nfs

t

dt2TsTs2TsTs1=

Ts時(shí)域中，序列的周期為Ts

，頻域中，序列的周期為1/Ts時(shí)域中，幅值為1,頻域中，幅值為1/Tsg(t)=ej

2

nfs

ts

n

=-“進(jìn)行傅立葉變換：“G(jf)=(f

-nfs

)=(f

-)s

n=-“s

n=-“s““ej2π?0t?δ(?-?0)?s=1/Ts由周期信號到非周期信號的頻譜分析傅立葉級

數(shù)的復(fù)指

數(shù)函數(shù)展傅立葉級數(shù)

的三角函數(shù)

展開式從傅立葉級數(shù)到傅立葉積分傅立葉積分非周期信號連續(xù)頻譜周期信號傅立葉級數(shù)傅立葉