高數(shù)A1知識(shí)點(diǎn)回顧

一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.Note:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理2.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.二、極限的四則運(yùn)算法則則有定理3.若推論:若且則定理4.若則有Hint:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.Note:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))定理5.若且B≠0,則有一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)定理7.

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有極限存在準(zhǔn)則有定理1.有定義且有Note:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使不存在.二、導(dǎo)數(shù)(derivative)的定義切線方程:法線方程:注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).定理1.在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)定理3.

函數(shù)例.函數(shù)y=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。注意:？一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),積、在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(ChainRule)定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).思考題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的基本公式隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)(Hospital’srule)(洛必達(dá)法則)

常用函數(shù)的麥克勞林公式定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)Conclusions1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放\暫停定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)1.水平(HorizontalAsymptotes)與鉛直漸近線(VerticalAsymptotes)若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.2.斜漸近線(Slantasymptotes)斜漸近線若(P75題13)二、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.Domain:確定函數(shù)的定義域,及周期性

;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱性則弧長微分公式為或若曲線由參數(shù)方程表示:弧長微分故曲率計(jì)算公式為Remark:

直線上任意點(diǎn)處的曲率為0!可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;一元函數(shù)積分學(xué)

存在原函數(shù)

.簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).三、不定積分的性質(zhì)二、基本積分表(P186)利用逆向思維(k

為常數(shù))或或換元積分法第二類換元法第一類換元法分部積分法分部積分公式解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”的順序,前者為后者為反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如6.

若在[a,b]上則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2.推論1.

若在[a,b]上則7.

設(shè)則8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使則變上限函數(shù)定理1.

若積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)說明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.函數(shù),則三、定積分的換元法

說明:1)當(dāng)

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限例3.(1)若(2)若偶倍奇零二、定積分的分部積分法定理2.

則

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),反常積分發(fā)散.1、字體安裝與設(shè)置如果您對(duì)PPT模板中的字體風(fēng)格不滿意，可進(jìn)行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項(xiàng)卡中，點(diǎn)擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換