第13講二次函數(shù)(二)課件2025年中考數(shù)學人教版（內(nèi)蒙古）一輪復(fù)習

第13講二次函數(shù)(二)教材整合夯實基礎(chǔ)考向?qū)б键c突破知識點1二次函數(shù)的最值的確定方法1.配方法:將y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,當自變量x=

時,y有最大(小)值

.

hk知識點2二次函數(shù)的實際應(yīng)用應(yīng)用二次函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)根據(jù)題意確定二次函數(shù)的表達式;(2)根據(jù)已知條件確定自變量的取值范圍;(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍確定最大(小)值,注意二次函數(shù)的最大值不一定是實際問題的最大值,要結(jié)合自變量取值范圍確定最值.考點突破考點1二次函數(shù)在生產(chǎn)銷售問題中的實際應(yīng)用例1某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,現(xiàn)要求銷售單價不得低于成本且不再升高.規(guī)范解答:(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)表達式.規(guī)范解答:解:(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500.∵a=-5<0,∴拋物線開口向下.∵50≤x≤100,對稱軸是直線x=80,∴當x=80時,y最大=4500.即當銷售單價為80元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤為4500元.(2)銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大最大利潤是多少規(guī)范解答:(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元,且每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)②二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標不一定符合自變量的取值范圍.注意:①求出表達式后需要化為一般形式;解:(1)180考向訓(xùn)練1-1某景區(qū)商店銷售一種紀念品,每件的進貨價為40元.經(jīng)市場調(diào)查,當該紀念品每件的銷售價為50元時(不降低),每天可銷售200件;當每件的銷售價每增加1元,每天的銷售數(shù)量將減少10件.(1)當每件的銷售價為52元時,該紀念品每天的銷售數(shù)量為

件.

解:(2)由題意,得y=(x-40)[200-10(x-50)]=-10x2+1100x-28000=-10(x-55)2+2250.∴當每件的銷售價x為55元時,銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大,最大利潤為2250元.(2)當每件的銷售價x為多少時,銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大并求出最大利潤.考向訓(xùn)練1-2(2023無錫)某景區(qū)旅游商店以20元/千克的價格采購一款旅游食品加工后出售,銷售價格不低于22元/千克,不高于45元/千克,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.解:(2)設(shè)商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤為w元,則①當22≤x≤30時,w=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1400=-(x-45)2+625.∵在22≤x≤30范圍內(nèi),w隨著x的增大而增大,∴當x=30時,w取得最大值為400.(2)當銷售價格定為多少時,該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大最大銷售利潤是多少[銷售利潤=(銷售價格-采購價格)×銷售量]②當30<x≤45時,w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450.∴當x=35時,w取得最大值為450.∵450>400,∴當銷售價格為35元/千克時,利潤最大,最大為450元.考向訓(xùn)練1-3(2024南充)2024年“五一”假期期間,某特產(chǎn)店銷售A,B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進價為50元/件,B類特產(chǎn)進價為60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元解:(1)設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為(132-x)元.∴3x+5(132-x)=540.∴x=60.∴每件B類特產(chǎn)的售價為132-60=72(元).答:A類特產(chǎn)的售價為60元/件,B類特產(chǎn)的售價為72元/件.(2)A類特產(chǎn)供貨充足,按原價銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映,若每降價1元,每天可多售出10件(每件售價不低于進價).設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元,每天的銷售量為y件,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.解:(2)由題意,得∵每件A類特產(chǎn)降價x元,且每降價1元,每天可多售出10件,∴y=60+10x=10x+60(0≤x≤10).(3)在(2)的條件下,由于B類特產(chǎn)供貨緊張,每天只能購進100件且能按原價售完.設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大,最大利潤是多少元(利潤=售價-進價)解:(3)由題意,得∵w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840.∵-10<0,∴當x=2時,w有最大值1840.∴A類特產(chǎn)每件售價降價2元時,每天銷售利潤最大,最大利潤為1840元.(2)當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少(3)當銷售量是多少噸時,可獲得最大利潤最大利潤是多少(注:利潤=銷售額-成本)考點2二次函數(shù)在面積問題中的應(yīng)用例2(包頭樣題)如圖所示,有長為36m的籬笆,一面利用墻(墻的最大長度為20m),圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃.設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm2.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.(2)若要圍成面積為96m2的花圃,則AB的長是多少解:(2)∵S=96,∴-3x2+36x=96,解得x1=4(舍去),x2=8.∴若要圍成面積為96m2的花圃,AB的長是8m.(3)能圍成面積比96m2更大的花圃嗎為什么考向訓(xùn)練2-1如圖所示,在Rt△EBF的內(nèi)部作一個矩形ABCD,其中AB和BC分別在兩直角邊上,設(shè)AB=xm,矩形的面積為ym2,要使矩形的面積最大,則x應(yīng)為()A.2 B.3 C.1.5 D.2.5D考向訓(xùn)練2-2某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊用長為30m的籬笆圍成,已知墻長為18m(如圖所示),設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為xm.(1)若苗圃園的面積為72m2,求x的值.解:(1)根據(jù)題意,得(30-2x)x=72,解得x1=3,x2=12.∵30-2x≤18,∴x≥6.∴x=12.(2)若平行于墻的一邊長不小于8m,這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎如果有,求出最大值和最小值;如果沒有,請說明理由.(3)當這個苗圃園的面積不小于100m2時,求出x的取值范圍.解:(3)由題意,得-2x2+30x≥100,解得5≤x≤10.∵6≤x≤11,∴6≤x≤10.考點3應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線型實際問題例3(2024蘭州)在校園科技節(jié)期間,科普員為同學們進行了水火箭的發(fā)射表演,水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關(guān)性能,同學們進一步展開研究.如圖所示建立直角坐標系.水火箭發(fā)射后落在水平地面A處.科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時,從發(fā)射到著陸過程中,水火箭距離地面OA的豎直高度y(m)與離發(fā)射點O的水平距離x(m)的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下:水平距離x/m0341015202227豎直高度y/m03.244.168987.043.24(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請確定拋物線的表達式;(2)請計算當水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為5m時,水火箭距離地面的豎直高度.B考向訓(xùn)練3-2豎直上拋物體離地面的高度h(m)與運動時間t(s)之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物體拋出時離地面的高度,v0(m/s)是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出,小球達到的離地面的最大高度為()A.23.5m B.22.5mC.21.5m D.20.5mC10(1)①m=

,n=

;

②小球的落點是A,則點A的坐標為

.

(2)小球飛行高度y(m)與飛行時間t(s)滿足關(guān)系:y=-5t2+vt.①小球飛行的最大高度為

m;

②求v的值.(2)求拋物線最高點的坐標;(3)斜坡上點B處有一棵樹,點B是OA的三等分點,小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.(2)若以生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤1800元的速度進行生產(chǎn),則1天(按8小時計算)可生產(chǎn)該產(chǎn)品多少千克(3)要使生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度并求此最大利潤.2.(2022鄂爾多斯)某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件,第一批花了6600元,第二批花了8000元,第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多購進50個.(1)求第二批每個掛件的進價.(2)兩批掛件售完后,該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),當售價為每個60元時,每周能賣出40個,若每降價1元,每周多賣10個,由于貨源緊缺,每周最多能賣90個,求每個掛件售價定為多少元時,每周可獲得最大利潤,最大利潤是多少解:(2)設(shè)每個售價定為y元,每周所獲利潤為w元,根據(jù)題意可知,w=(y-40)[40+10(60-y)]=-10(y-52)2+1440,∵-10<0,∴當y≥52時,w隨y的增大而減小.∵40+10(60-y)≤90,∴y≥55.∴當y=55時,w取最大值,此時w=-10(55-52)2+1440=1350.∴當每個掛件售價定為55元時,每周可獲得最大利潤,最大利潤是1350元.3.(2023包頭)隨著科技的發(fā)展,掃地機器人已廣泛應(yīng)用于生活中.某公司推出一款新型掃地機器人,經(jīng)統(tǒng)計該產(chǎn)品2023年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn),每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品2023年第x(x為整數(shù))個月每臺的銷售價格為y(單位:元),y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示(圖中ABC為一折線).(1)當1≤x≤10時,求每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.4.(2024赤峰)某公園有一種水上滑道娛樂項目.數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學問題進行了深入研究.下面是該小組繪制的水滑道截面圖,如圖(1)所示,人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池.以地面所在的水平線為x軸,過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸,O為坐標原點,建立平面直角坐標系.他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分.根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息,設(shè)計了以下三個問題,請你解決.(2)騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE=12m,人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離DE不少于3m.若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點B成中心對稱.①請寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的表達式.②此人騰空飛出后