北京西城8中2024屆高三第六次模擬考試數學試卷含解析

北京西城8中2024屆高三第六次模擬考試數學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在直角坐標系中，己知A（1,0）,B（4,0）,若直線X+陽-1=0上存在點P,使得%|二2甲見則正實數6的最

小值是（）

A.-B.3C.—D.73

33

2.將一塊邊長為〃cm的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成

一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為72J5cm%則。

的值為（）

3.函數=二+sinx的圖象的大致形狀是（）

37r

4.已知復數Z=?,則，的虛部是()

1-z

A.iB.-iC.-1D.1

5.已知直線產A(x+l)(A>0)與拋物線C:)，2=4x相交于A,B兩點,F為C的焦點，若|E4|=2|五見則|以|二()

A.1B.2C.3D.4

6.已知角a的終邊經過點P(sin47°,cos47°),則sin(a_13°)=

1J31

A.-B.—C.——

222

7.已知A=WW<1},3={$2'<1},則AJ8=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.㈠收)D.(YO,1)

8.關于函數/(x)=sin|x|+|cosx|有下述四個結論：()

①/(x)是偶函數；②”X)在區(qū)間(-30)上是單調遞增函數；

③在R上的最大值為2；④f(x)在區(qū)間［-2/2可上有4個零點.

其中所有正確結論的編號是()

A.???B.①@C.①④D.②④

9.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

:□I—*

B.3

10.四人并排坐在連號的四個座位上，其中A與3不相鄰的所有不同的坐法種數是()

A.12B.16C.20D.8

11.據國家統(tǒng)計局發(fā)布的數據，2019年11月全國C/V(居民消費價格指數)，同比上漲4.5%,C77上漲的主要因素是

豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響。7上漲3?27個百分點.下圖是2019年11月。7一籃子商品權重，根據該

圖，下列結論錯誤的是()

A.CP/一籃子商品中所占權重最大的是居住

B.C尸/一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%

C.豬肉在C/7一籃子商品中所占權重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權重約為0.18%

12.已知函數f（x）=log”（|x—2|—4）（a>0,且awl）,貝代/0）在（3,+8）上是單調函數”是"0<a<l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設雙曲線?-g=lS〉0）的一條漸近線方程為*工,則該雙曲線的離心率為.

14.已知三棱錐尸—ABC的四個頂點都在球O的球面上，PA=PB=PC,AB=2,BC=右，AC=3,E,F

3

分別為乂。，依的中點，EF=-則球。的體積為_____.

2t

15.從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數字能被第

一次抽得的卡片上數字整除的概率為.

16.已知sina-cosa=0,貝!]cos（2a+：）=_______.

2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在開展學習強國的活動中，某校高三數學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組，其中黨員學習組有4名

男教師、1名女教師，非黨員學習組有2名男教師、2名女教師，高三數學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參

加學校的挑戰(zhàn)答題比賽.

（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數；

（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數，求X的概率分布和數學期望.

18.（12分）已知函數/（》）=同+2卜+1|-|工一3|的定義域為R.

（1）求實數，的取值范圍；

（2）設實數R為/的最小值，若實數b,C滿足/+〃+/="2,求+的最小值.

a~+\+2c+3

19.（12分）在AA8C中，角A,B,C所對的邊分別是b,c,且2a-c=9cosC'.

⑴求sin]△昔+”的值；

(2)若力=JJ,求。一〃的取值范圍.

20.(12分)在AA/C中，角A8,C的對邊分別為a/,c,且2cc、o§8=2。+8.

(1)求角。的大??；

(2)若函數/(x)=2sin2x+J+〃2cos2x(“￡/?)圖象的一條對稱軸方程為x=一且/三=:，求cos(2a+C)

I6J25

的值.

21.(12分)如圖所示，在四棱錐。一ABCD中，AB//CD,AD=AB=-CD.ZDAB=60。，點E/分別為CD.AP

2

的中點.

(1)證明：PC〃面BEF；

(2)若PA工PD,且PA=PD,面PA。_L面ABC。，求二面角尸一的一A的余弦值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P-4BC。中，B4_L底面ABC。，ADYAB,AB//DC,AD=DC=AP=2f

A8=l,點E為棱PC的中點.

(1)證明：BEA.DC：

(2)求直線8E與平面A8D所成角的正弦值；

(3)若F為棱PC上一點，滿足8尸_LAC,求二面角尸—A3—P的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

設點P（1T世,），），由刊二2|叫，得關于y的方程.由題意，該方程有解，則ANO,求出正實數機的取值范圍，

即求正實數m的最小值.

【詳解】

由題意，設點夕（1一〃少,），）.

-.'\PA\=2\PB\y.\\P^=4\PB\'f

即（1_z?zy-l）2+y2=4^（14）~+,

整理得（，/+1）），2+8加），+12=0,

則AEX""—川"+1卜］220,解得"此6或"三一6.

m>0,/.m>mm.n=百.

故選：D.

【點睛】

本題考查直線與方程，考查平面內兩點間距離公式，屬于中檔題.

2、I）

【解析】

推導出PM+PN=。，且PM=PN,MN=^a,。歷=；，設MN中點為。，則PO_L平面ABCO,由此能表

22

示出該容器的體積，從而求出參數的值.

【詳解】

解：如圖（4）,△尸MV為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，PM+PN=a,且PM=PN」,由APMN為等

2

腰直角三角形可知，

MN=—a,設MV中點為O,則PO1平面A3CQ,.??PO=1MN=E。，

224

???%T8s=gx亨〃x亭卷/=720解得a=12.

【點睛】

本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用，屬于中檔題.

3、B

【解析】

根據函數奇偶性，可排除D；求得/(工)及/”(%),由導函數符號可判斷“X)在尺上單調遞增，即可排除AC選項.

【詳解】

X3

函數/(工)=+sinx

3萬

易知/(力為奇函數，故排除D.

r?7T

又r(X)=J+COSX，易知當X00,7時，/'(x)>()；

1L2.

，乃、21"

又當XE-,+8時，fn(x}=----sinx>l-sinx>0,

<2)4

故/'(x)在(g+8)上單調遞增,所以f\x)>/(^)=?,

綜上，x?0,xo)時，/'(x)>0,即/")單調遞增一

又/(x)為奇函數，所以/(x)在R上單調遞增，故排除A,C.

故選：B

【點睛】

本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，導函數性質與函數圖象關系，屬于中檔題.

4、C

【解析】

化簡復數，分子分母同時乘以1+i,進而求得復數z,再求出)，由此得到虛部.

【詳解】

=--；=i,z=—if所以z的虛部為—1?

故選：C

【點睛】

本小題主要考查復數的乘法、除法運算，考查共匏復數的虛部，屬于基礎題.

5、C

【解析】

方法一：設2-1,0),利用拋物線的定義判斷出3是AP的中點，結合等腰三角形的性質求得8點的橫坐標，根據拋

物線的定義求得1所|,進而求得|笈|.

方法二：設出A3兩點的橫坐標加，由拋物線的定義，結合|￡4|=2|稗|求得巧的關系式，聯立直線

),二刈1+1)的方程和拋物線方程，寫出韋達定理，由此求得乙,進而求得|必|?

【詳解】

方法一:由題意得拋物線=4x的準線方程為/:x=T,直線y=依尤+D恒過定點P(T,O),過A3分別作AM±I

于M,BN_L/于N,連接。8,由|心|=2|依|,貝力AM|二2|BN|,所以點3為AP的中點，又點。是P廠的

中點，

則|。8|=1|4/|,所以|。6|二|8/|,又|。尸|二1

2

所以由等腰三角形三線合一得點B的橫坐標為?，

所以|所|=1+!=］，所以1融1=2|所|=3.

22

方法二：拋物線)尸=4工的準線方程為=直線y=Z(x+l)

由題意設A,8兩點橫坐標分別為4,>0),

則由拋物線定義得I幺1=4+1,1M1=/+1

又二

|E4|2|FB|,xA+\=2(XB+1)=>=2A-B+1①

)-4anFf+QF-4)R+爐=()=Xx[②

y=Z(.r+l)

由①②得片一/一2=0,/.XA=2,\FA\=XA+\=3.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.

6、A

【解析】

由題意可得三角函數的定義可知:

.cos47…sin47

sina=——；-----------；-----=cos47,cosa=——；-----------；——=sin47,貝I)：

sin-47+cos~47sin"47+cos-47

sin((7-13)=sinacos13-cosasin13

=cos47cos13-sin47sin13

=cos(47+13j=cos60=-i.

本題選擇A選項.

7、D

【解析】

分別解出集合4a然后求并集.

【詳解】

解：A=|x||x|<1)=<x<1},8={x2'<l|={x|x<0}

A|JB=(-oo,l)

故選：D

【點睛】

考查集合的并集運算，基礎題.

8、C

【解析】

根據函數/(X)的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.

【詳解】

/(工)的定義域為R.

由于/(-x)=/(x),所以/("為偶函數，故①正確.

由于/T--l=sin—+COS—=+l=sin—+cos—=+,所以/(x)在

6)662I4j442I6；[4)v7

區(qū)間.￡()]上不是單調遞增函數，所以②錯誤.

\/

當x?0時，/(x)=sinx+|cosx|=sinx±cosx=>/2sinfx±-^-<>/2,

且存在一丫二工，使=sin—+cos—=\p2.

414；44

所以當xNO時，/(x)<V2；

由于/")為偶函數，所以xwR時/(x)《夜，

所以/(力的最大值為血，所以③錯誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當0<xK2〃時，

?r\/?！猵3/T/c

sinx+cosx.O<xW—,或——<x<2不

〃加.,t2^

sinx-cosx,—<x<——

22

所以令sinx+cosx=0,解得x二?，令sinx-cosx=0,解得.丫二當.所以在區(qū)間（0,2句，/（工）有兩個零點.

由于/（目為偶函數，所以/（x）在區(qū)間［-2小0）有兩個零點.故/"）在區(qū)間［-2萬,2句上有4個零點.所以④正確.

綜上所述，正確的結論序號為①④.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.

9、A

【解析】

根據題意，可得幾何體，利用體積計算即可.

【詳解】

由題意，該幾何體如圖所示：

該幾何體的體積V='x2x2x2—，xlx2x2=3.

2323

故選：A.

【點睛】

本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題.

10、A

【解析】

先將除八，〃以外的兩人先排，再將A,8在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.

【詳解】

先將除4〃以外的兩人先排，有人；=2種；再將A,〃在3個空位置里進行插空，有&=3x2=6種，所以共有

2x6=12種.

故選：A

【點睛】

本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎題.

11、D

【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CP1一籃子商品中吃穿住所占23%十8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在C77

一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CH一籃子商品中居住占23%,所占權重最大的，故正確.

B.CH一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在C77一籃子商品中所占權重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在C77一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

12、C

【解析】

先求出復合函數/（幻在（3,+8）上是單調函數的充要條件，再看其和0＜4＜1的包含關系，利用集合間包含關系與充

要條件之間的關系，判斷正確答案.

【詳解】

=log"（|X-21-4）（。＞0,且〃=1）,

由卜一2|一々＞0得支v2—〃或2+〃，

即/（幻的定義域為｛不上＜2-〃或/＞2+。｝,（。＞0,且awl）

令/=,一2|-。，其在（3,2-0單調遞減，（2+m+8）單調遞增，

2+403

/（X）在（3,+8）上是單調函數，其充要條件為。＞0

"1

即0<"l.

故選：C.

【點睛】

本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

2

【解析】

根據漸近線得到沙=及，c=E計算得到離心率.

【詳解】

上_4=1(〃>0),一條漸近線方程為：y=3,故人=&，c="，e=-=—.

4b~2a2

故答案為：叵

2

【點睛】

本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學生的計算能力.

14、4&

【解析】

可證NABC=90。，則E為AA8C的外心，又PA=踐=尸。則PE_L平面A8C

即可求出P3,總的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據體積公式計算可得.

【詳解】

解：?.4?=2,BC=>/5fAC=3

AB2+BC2=AC2

/ABC=9^,因為E為AC的中點，所以E為A4BC的外心，

13

:.BE=-AC=-

22

p

因為小=尸4=PC,所以點產在A48C內的投影為^ABC的外心E,

所以P石_L平面ABC,

平面ABC

PEA.BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=y/PB2-BE2=-6,

2

又球心。在心上，設＞貝彳?一j+（|）=/，所以,=百，所以球。體積，丫=37/:4信.

故答案為：46兀

【點睛】

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題.

1

15、-

2

【解析】

基本事件總數〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字的基本事件有8個，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，

基本事件總數x=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字的基本事件有8個，分別為：（1』），（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數字能被第一次抽得的卡片上數字整除的概率為P=3=K

162

故答案為

2

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，屬于基礎題.

16、-1

【解析】

首先利用sina-cosa=0,將其兩邊同時平方，利用同角三角函數關系式以及倍角公式得到l—sin"=0,從而求

7F

得sin2a=1,利用誘導公式求得cos(2a+-)=-sin2a=-1,得到結果.

2

【詳解】

因為sina-cos。=0,所以l-sin2?=0,即sin2a=1,

所以cos(2a+M)=-sin2a=-1,

2

故答案是-1.

【點睛】

該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數關系式，倍角公式，誘導公式，屬于簡單

題目.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)28種；⑵分布見解析，

【解析】

(1)分這名女教師分別來自黨員學習組與非黨員學習組，可得恰好有一名女教師的選派方法數;

(2)X的可能取值為0,1,23,再求出X的每個取值的概率，可得X的概率分布和數學期望.

【詳解】

解：(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數為C：C；C；+C：GC；=28種.

(2)X的可能取值為0,1,2,3.

p(x=o)=-^-=—,

C-C-10

P(X=1)=7

15,

c：c：c!cl+c：c；_ii

P(X=2)=

言~30f

P(X=3)=CC=1

C*：—15,

故x的概率分布為:

X0123

17111

P

lo1530

所以

【點睛】

本題主要考查組合數與組合公式及離散型隨機變量的期望和方差，相對不難，注意運算的準確性.

9

18、(1)Z>4；(2)—

22

【解析】

(1)首先通過對絕對值內式子符號的討論，將不等式轉化為一元一次不等式組，再分別解各不等式組，最后求各不等

式組解集的并集，得到所求不等式的解集；

(2)首先確定in的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.

【詳解】

(1)因為函數定義域為R,即，+2,+1|-卜一3|=0恒成立，所以，之一2k+1|十上一3|恒成立

x+5,x<-1,

-2|x+l|+|x—3|=x1—3x,—

-x-5,x>3.

由單調性可知當x=-l時，—2k+1|+上一3|有最大值為4,即,24；

222

（2）由（1）知相=4,a+b+c=\6f

由柯西不等式知馬了力+*卜(八1+八2-+3)20+3)*

19

所以~;H—,-----1—;2，即一;-----1—;的最小值為積

從+2〃從+7+3

2C+322+12

2

當且僅當/=更，b=—f/=U時，等號成立

333

【點睛】

本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

19、（1g;⑵（一6,@

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可整理求得cos進而求得4和A+C,代入求得結果;

(2)利用正弦定理可將c—。表示為2sinC—2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sinC-三

根據正弦型函數值域的求解方法，結合。的范圍可求得結果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA-sinC=2sin4cosc

,:A+B+C=TT/.sinA=sin(8+C)

..2sin(8+C)-sinC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC=2sin8cosC

即2cosBainC=sinC

CG(O,TT)/.sinC^OcosB=—

2

n714=2〃

Be(O,乃)B=—/.A+C=—

33

.(A+C「J.2兀6

I2J32

acb&

(2)由(1)知：sinB=sin—=^-------=-------=-------=-廣=2

sinA--sinC---sinB<3

32

T

c=2sinC,a=2sinA

c-a=2sinC-2sinA=2sinC-2sin(B+C)=2sinC-2sinBcosC-2cosBsinC

=2sinC-6cosc-sinC=sinC-A/3cosC=2sinC--

k3,

兀711

QA+C=T/0<C<T:,吟,

.?.2sin(c-(jw卜百,百)，即c—〃的取值范圍為卜萬右)

【點睛】

本題考查解三角形知識的相關應用，涉及到正弦定理邊化角的應用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應用、與三角

函數值域有關的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關鍵是能夠利用正弦定理將邊長的問題轉化為三角函數的問題,

進而利用正弦型函數值域的求解方法求得結果.

7

20、(1)C-——(2)cos(2a+C)=-----

325

【解析】

(1)由已知利用二角函數恒等變換的應用，正弦定埋可求cosC=-!，即可求C的值.

2

(2)利用三角函數恒等變換的應用，可得f(x)=6sin2x+(m+l)cos2x,根據題意，得到,解得

71

m=-2,得到函數的解析式，進而求得sina--的值，利用三角函數恒等變換的應用可求cos(2a+C)的值.

6J

【詳解】

(1)由題意，根據正弦定理，可得2sinCcosB=2sinA+sinB,

又由4="一(8+。)，所以sinA=sin(B4-C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,即2sinBcosC+sinB=0,

又因為8￡(0,不)，則sinB>0,

I27r

可得cosC=--,VCG(0,71),C=—

(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+l)+mcos2x=2sin2xcos+2cos2xsin+mcos2x

=V3sin2x+(m+l)cos2x,

所以函數/(x)的圖象的一條對稱軸方程為x二方

211}

r.f(o)=f,得m+1=>^sin----F(m+1jcos—,即m=—2,

33

/.f(x)=>/3sin2x-cos2x=2sin2x--

k6

716.713

又f值二2sin(a,Asina——

5I65

2-T

:.cos(2a+C)=cos2a-+=-cos2a--j=-cos2a--i=2sina--

工)366)

【點睛】

本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中

檔題.

21、(1)證明見解析(2)2叵

13

【解析】

(1)根據題意，連接AC交叱于〃，連接77/,利用三角形全等得2//PC,進而可得結論;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量求得平面的法向量，進而可得二面角尸-鹿-A的余弦值.

【詳解】

(D證明：連接AC交破于H,連接FH,

vAB=CE,/HAB=NHCE,/BHA=NCHA,

:.^ABHWbCEH,

:.AH=CHaFH//PC,

FHu面FBE,PCU面FBE,

「.PC〃面fBE,

(2)取A。中點。，連P0,。3.由辦=P￡),.?.PO_LAO

^PADl^ABCD

.?.尸。_1_面4〃?！?,又由N￡>A8=60,AD=AB

：.OB±AD

以04,OB,OP分別為X,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

設40=2,則4100),8(0,6,0),￡>(-1,0,0),mO,l),F(pO,1),

EB=DA=(2,0,0),3/=(；,一石,；)，

q=(0,0,1)為面BEA的一個法向量,

設面FBE的法向量為%=(x0,%,z0),

2風=0

EB"=0

依題意，即彳^-V3y+-1z=0

BF?%=0000

令為=石，解得20=6,x0=0

所以，平面方方石的法向量％=((),G,6),

〃],〃2_6_2>/39

COS(q,〃2)=

同?同底13

又因二面角為銳角,

故二面角F-BE-A的余弦值為名叵.

13

【點睛】

本題考直直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時