251向量的數(shù)量積課件-高一下學期數(shù)學北師大版

2.5.1向量的數(shù)量積北師大版（2019）必修第二冊第二章

平面向量及其應用學習目標體會平面向量數(shù)量積與投影數(shù)量的關(guān)系，會進行平面向量數(shù)量積的運算.02理解平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義.01能運用數(shù)量積的運算性質(zhì)和運算律解決相關(guān)問題.03實例分析前面我們學習了向量的加、減、數(shù)乘運算，類比數(shù)的運算，出現(xiàn)了一個自然的問題：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法該如何定義？

θSF實例分析

θsFF1與位移方向垂直的分力F2，由于沒有物體在該分力的方向上產(chǎn)生位移，因而對物體不做功.F2

實例分析

θsFF1F2

實例分析問題：以上情境中的力、位移、功分別是數(shù)學中的什么量？這種求功的運算是一種什么樣的運算？答案：這里的力

F與位移

s都是矢量，既有大小，又有方向，也就是我們數(shù)學中的向量，而功是一個標量，即我們數(shù)學中的數(shù)量，它由力和位移兩個向量來確定，也就是說功這個數(shù)量，是力和位移這兩個向量運算的結(jié)果．這種運算類似于“相乘”，又不同于“相乘”．抽象概括

抽象概括

抽象概括問題：對于任意兩個非零向量

a、b，他們夾角的范圍是什么呢？有哪些情況比較特殊？兩向量夾角的范圍是[0，π]：特殊情況a

ba

ba

ba與

b同向

a與

b反向問題：有了向量夾角的定義之后，我們就能模仿功的定義，給出向量“數(shù)量積”的定義了，你能嘗試描述一下嗎？定義

知識剖析

(3)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．(4)向量數(shù)量積的結(jié)果是一個數(shù)量，這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)，而向量的加減和實數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量.問題：兩非零向量a與b數(shù)量積的符號由什么決定？

AA'BOabγ思考：a在b上的投影向量

γ的模與

a，b有怎樣的關(guān)系？|γ|＝|a|cos<a，b>＝.|a|cos<a，b>稱為投影向量

γ的數(shù)量，也稱為向量

a在向量

b方向上的投影數(shù)量.投影數(shù)量是數(shù)量積的特殊情況.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積

a·b等于

a的長度|a|與

b在

a方向上的投影數(shù)量|b|cosθ的乘積，或

b的長度|b|與

a在

b方向上的投影數(shù)量|a|cosθ的乘積.AA'BOab|a|cosθθ問題：（1）向量b在向量a上的投影數(shù)量與向量a在向量b上的投影數(shù)量相等嗎？問題：（2）當a≠0時，由a·b＝0一定能得到b＝0嗎？（1）當且僅當|a|＝|b|時相等；（2）不一定，例如a⊥b時，即使b≠0，也有a·b＝0.例1

如圖，已知向量

a與

b，其中|a|＝3，|b|＝4，且

a與

b的夾角θ＝150°.（1）求a·b；（2）求向量

b在

a方向上的投影數(shù)量，并畫圖解釋.

則

探究：類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的的線性運算的運算律，你能得到數(shù)量積運算的哪些運算律？類比：實數(shù)乘法的交換律實數(shù)乘法的結(jié)合律實數(shù)乘法的分配律猜想：a·b＝b·a

思考：以上猜測的運算律公式是否都成立呢？你能用所學知識證明嗎？

求證：a·b＝b·a

數(shù)量積的性質(zhì)

可以解決有關(guān)“向量不等式”的問題

常用于求向量的投影向量主要用于解決向量垂直的有關(guān)問題常用于求向量的模例2

已知向量

a，b，c，其中|a|＝4，|b|＝6，且

a與

c的夾角θ＝120°，b與

c的夾角γ＝60°，求

a＋b在

c方向上的投影數(shù)量.解：a＋b在

c方向上的投影