2024-2025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥訓(xùn)練第28章第05講應(yīng)用舉例2

20242025人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下點(diǎn)撥*訓(xùn)練第28章第05講應(yīng)用舉例2學(xué)習(xí)目標(biāo)：正確理解方向角、坡度的概念；能運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角、坡度的問(wèn)題，能夠融會(huì)貫通地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解決綜合性問(wèn)題，進(jìn)一步提高解直角三角形分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力。老師告訴你1.用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）；（2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，選擇恰當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)關(guān)系式，解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案。一、知識(shí)點(diǎn)撥1.知識(shí)導(dǎo)航2.知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)1方向角問(wèn)題以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.【新知導(dǎo)學(xué)】例11．如圖,一艘輪船從點(diǎn)A處以的速度向正東方向航行,在A處測(cè)得燈塔C在北偏東方向上,繼續(xù)航行到達(dá)B處,這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東方向上,已知在燈塔C的四周內(nèi)有暗礁,問(wèn)這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說(shuō)明理由.(提示：,)例12．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時(shí)發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點(diǎn)B處，然后沿南偏東航行海里到達(dá)C處，此時(shí)C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求A，B兩地的距離(結(jié)果保留根號(hào))【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為的圓形海域內(nèi)有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測(cè)得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為.若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開(kāi)始沿南偏東多少度的方向航行，能安全通過(guò)這一海域？2．根據(jù)圖中標(biāo)出的三角形區(qū)域的位置，計(jì)算三角形區(qū)域的面積（結(jié)果取整數(shù)）.（提示：它的面積等于一個(gè)梯形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積.）知識(shí)點(diǎn)2、坡度問(wèn)題：坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫(xiě)作：i=tan坡角）】【新知導(dǎo)學(xué)】例21．如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡長(zhǎng)米,背水坡CD的坡度,則背水坡的坡長(zhǎng)CD為()米.A.20 B. C.10 D.例22．為方便行人橫過(guò)馬路，打算修建一座高的過(guò)街天橋.已知天橋的斜面坡度為，計(jì)算斜坡AB的長(zhǎng)度（結(jié)果取整數(shù)）.【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】1．某班兩個(gè)興趣小組計(jì)劃合作測(cè)量校園內(nèi)一斜坡(坡度為)旁路燈的高度,分工如下：小組甲：測(cè)量竹竿的長(zhǎng)度,并將該竹竿豎立在地面上,測(cè)量其在地面上的影長(zhǎng).小組乙：在同一時(shí)刻,測(cè)量路燈在斜坡上的影長(zhǎng),及路燈與斜坡底端的距離.測(cè)量示意圖和測(cè)量數(shù)據(jù)如下：請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算路燈的高度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)：)小組甲乙圖示(點(diǎn)D,E,F,C在同一平面內(nèi))測(cè)量數(shù)據(jù),,2．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P處測(cè)得該建筑頂點(diǎn)B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達(dá)坡頂，在坡頂A處又測(cè)得該建筑的頂點(diǎn)B的仰角為.（1）求坡頂A到地面的距離；（2）求該建筑的高度.（結(jié)果精確到米.參考數(shù)據(jù)：，，）二、題型訓(xùn)練1.利用解直角三角形解決方向角問(wèn)題1．木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.航行記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處.記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處.記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向.請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：（1）填空：________°，________°，________海里；（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異常”區(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明.（參考數(shù)據(jù)：，，）2．如圖,某公園有一條三角形健身步道,其中B在A的正東方,C在A東北方向,一天老王以每分鐘90米的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿路線A→B→C→A開(kāi)始散步,分鐘后到達(dá)步道的B處,此時(shí)他發(fā)現(xiàn)C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面內(nèi),參考數(shù)據(jù)：)(1)求健身步道的長(zhǎng)；(結(jié)果保留根號(hào))(2)為了讓市民養(yǎng)成全民運(yùn)動(dòng)、健康生活的良好習(xí)慣,改善健身環(huán)境,公園決定對(duì)健身步道進(jìn)行擴(kuò)建.計(jì)劃將步道段向正東方向延伸至P處,修建新步道,且在P處測(cè)得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本為每米80元,公園對(duì)擴(kuò)建預(yù)算的費(fèi)用為20萬(wàn)元,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明預(yù)算費(fèi)用是否夠用？2.利用解直角三角形解決坡度問(wèn)題3．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長(zhǎng)度為20米，，求斜坡AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：,,）4．南水北調(diào)中線工程有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是為了建設(shè)高鐵線路，電力部門(mén)要在堤壩的正上方建一組高壓線，且高壓線的最低點(diǎn)P與點(diǎn)D，H在同一條直線上（），.（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求斜坡CD的坡角.（2）電力部門(mén)要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達(dá)到了安全要求？3.利用解直角三角形解決綜合問(wèn)題5．如圖,為了美化環(huán)境,提高民眾的生活質(zhì)量,市政府在公園一角處修建一個(gè)四邊形人工湖泊,并沿湖泊四邊修建了人行步道(即,,,).花園的兩邊與垂直,米,米,,,.(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)求的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù)：,,)6．圖1是一個(gè)活動(dòng)宣傳欄,圖2是活動(dòng)宣傳欄側(cè)面的抽象示意圖,其中點(diǎn)B,D,A,F在同一直線上,支桿可繞點(diǎn)A活動(dòng),是可伸縮橫桿.已知,,.(1)求活動(dòng)宣傳欄板與地面的夾角的度數(shù)；(2)如圖3,小明站在活動(dòng)宣傳欄板前的點(diǎn)H處看宣傳欄時(shí)(點(diǎn)H,B,C在同一直線上),若視線垂直宣傳欄板于點(diǎn)A,此時(shí)測(cè)得,求小明的眼睛G離地面的距離.(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,結(jié)果精確到0.1)三、課堂達(dá)標(biāo)一、單選題（每小題4分，共32分）1．如圖，海中有一小島A，在B處測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B處出發(fā)由西向東航行10海里到達(dá)C處，在C處測(cè)得小島A恰好在正北方向上，此時(shí)漁船與小島A的距離為()海里.A. B. C.20 D.2．如圖，若坡角，則斜坡的坡度為()A. B. C. D.23．河堤的橫斷面如圖，堤高BC是，迎水斜坡AB的長(zhǎng)是，那么斜坡AB的坡度是()A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：34．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發(fā)，垂直上升到達(dá)A處，在A處觀察C地的俯角為，則BC兩地之間的距離為()A. B. C. D.5．如圖是某區(qū)域的平面示意圖,碼頭A在觀測(cè)站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測(cè)站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為海里.觀測(cè)站B到AC的距離BP是()A. B.1 C.2 D.6．如圖，一斜坡的坡度，小明同學(xué)沿斜坡的坡面從點(diǎn)A向上走了100米到達(dá)點(diǎn)B處，則小明上升的高度為()A.米 B.20米 C.米 D.米7．如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹(shù)（垂直于水平地面），當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上樹(shù)影的長(zhǎng)為30米，則大樹(shù)的高為()A.15米 B.米 C.米 D.米8．某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，和表示兩條互相垂直的公路.甲偵測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于北偏東，乙勘測(cè)員在處測(cè)得點(diǎn)位于南偏西，測(cè)得，，請(qǐng)求出點(diǎn)到的距離().（參考數(shù)據(jù)，，）A.140 B.340 C.360 D.480二、填空題（每小題4分，共20分）9．一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．10．如圖，水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬是米，壩高為米，斜坡的坡度為，斜坡的坡度為，則壩底寬的長(zhǎng)為_(kāi)_____米.11．為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng).如圖，在坡度的山坡上植樹(shù)，要求相鄰兩樹(shù)間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為_(kāi)________________米.12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得，，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為_(kāi)_________.13．科技改變生活，導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，B，C兩地的距離是________________km三、解答題（每小題8分，共48分）14．如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測(cè)得橋頭C在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達(dá)B處，測(cè)得橋頭C在南偏東方向上，橋頭D在南偏東方向上，求大橋的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）15．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖,天橋的高是10米,坡面的傾斜角為.為了方便行人推車過(guò)天橋,市政部門(mén)決定降低坡度,使新坡面的坡度為,若新坡角下需留3米的人行道,問(wèn)離原坡面點(diǎn)A處10米的建筑物是否需要拆除？(參考數(shù)據(jù)：,)16．圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點(diǎn)A處,手柄長(zhǎng),與墻壁的夾角,噴出的水流與形成的夾角,現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在E處淋浴時(shí),水流正好噴灑在人體的C處,且使,問(wèn)：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位置？(參考數(shù)據(jù)：,,,,,,,,).17．某海域內(nèi)一艘輪船從西向東航行到A處時(shí)發(fā)現(xiàn)正東方向有一處暗礁，輪船馬上調(diào)整方向，沿北偏東航行到點(diǎn)B處，然后沿南偏東航行海里到達(dá)C處，此時(shí)C恰好在A的正東方向.(1)求A，C兩地的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求A，B兩地的距離(結(jié)果保留根號(hào))18．高架塔式滑雪臺(tái)已經(jīng)成為滑雪大跳臺(tái)項(xiàng)目的重要訓(xùn)練場(chǎng)所，如下圖所示，滑道分為，兩段，已知，，米，米，圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)（計(jì)算結(jié)果均四合五人至整數(shù)）.坡角坡度初級(jí)道：中級(jí)道：高級(jí)道：(1)根據(jù)表格判斷段滑道屬于______（填“初級(jí)道”“中級(jí)道”或“高級(jí)道”）；(