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20242025學(xué)年度蘇科版八年級(jí)上期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之一次函數(shù)新定義綜合問(wèn)題典例一:在平面直角坐標(biāo)系中,作如下定義;點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,y1,點(diǎn)的坐標(biāo)為x2,y2,若,則稱(chēng)、兩點(diǎn)為“同和點(diǎn)”.如圖①,點(diǎn)、為“同和點(diǎn)”.(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為.①在點(diǎn),、中,是點(diǎn)的“同和點(diǎn)”的是________.(填“C”、“D”或“E”)②若點(diǎn)在軸上,且、兩點(diǎn)為“同和點(diǎn)”,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.(2)如圖②,直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)、,點(diǎn)為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).①若點(diǎn)與點(diǎn)為“同和點(diǎn)”,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.②若存在點(diǎn)與點(diǎn)為“同和點(diǎn)”,求的取值范圍.典例二:定義:對(duì)于一次函數(shù),我們稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)的“友好函數(shù)”.(1)若,試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“友好函數(shù)”,并說(shuō)明理由;(2)設(shè)函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)M.①若,點(diǎn)M在函數(shù)的“友好函數(shù)”圖象的上方,求p的取值范圍;②若,函數(shù)的“友好函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,是否存在大小確定的m值,對(duì)于不等于2的任意實(shí)數(shù)p,都有“友好函數(shù)”圖象與x軸交點(diǎn)Q的位置不變?若存在,請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.一、單選題1.定義新運(yùn)算:,例如:,則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是(
)A.點(diǎn)在函數(shù)圖象上B.圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限C.函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為D.若點(diǎn)、在函數(shù)圖象上,則2.新定義:是一次函數(shù)(,a,b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”是的一次函數(shù)是正比例函數(shù),則點(diǎn)所在的象限是(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.定義:點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),若滿(mǎn)足,則把點(diǎn)A叫做“零點(diǎn)”,例如都是“零點(diǎn)”.當(dāng)時(shí),直線(xiàn)上有“零點(diǎn)”,則m的取值范圍是()A. B. C. D.4.對(duì)于實(shí)數(shù),我們定義符號(hào)的意義為:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.例如:.若關(guān)于x的函數(shù)為,則該函數(shù)的最小值是(
)A. B.0 C.5 D.75.定義一種新運(yùn)算:,例如:,,給出下列說(shuō)法:①;②若,則或4;③的解集為或;④若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)(m為常數(shù))只有1個(gè)交點(diǎn),則.以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.46.定義:對(duì)于給定的一次函數(shù)(a,b為常數(shù),且),把形如的函數(shù)稱(chēng)為一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”,已知一次函數(shù),若點(diǎn)在這個(gè)一次函數(shù)的“衍生函數(shù)”圖象上,則m的值是(
)A.1 B.2 C.3 D.47.現(xiàn)定義一種新的距離:對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),,將稱(chēng)作P、Q兩點(diǎn)間的“拐距”,記作,即,已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)B在直線(xiàn)上,橫坐標(biāo)為,當(dāng)取得最小值時(shí),應(yīng)滿(mǎn)足的條件是(
)A. B. C. D.8.定義:平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A到x軸、y軸的距離和為2,則稱(chēng)點(diǎn)A為“和二點(diǎn)”.例如:點(diǎn)到x軸、y軸距離和為2,則點(diǎn)B是“和二點(diǎn)”,點(diǎn)也是“和二點(diǎn)”.一次函數(shù)的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn),且圖象l上存在“和二點(diǎn)”,則k的取值范圍為(
)A. B. C. D.9.在平面直角坐標(biāo)系中,是坐標(biāo)原點(diǎn),定義點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)聯(lián)值如下:若,,在一條直線(xiàn)上;若,,不在一條直線(xiàn)上.已知點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,有下列結(jié)論:①;②若,,則點(diǎn)坐標(biāo)為;③滿(mǎn)足的點(diǎn),都在一三象限角平分線(xiàn)和二四象限角平分線(xiàn)上;④若平面中任意一點(diǎn)滿(mǎn)足,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的全體組成的圖形面積為.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.410.等腰中,,記,周長(zhǎng)為y,定義為這個(gè)三角形的坐標(biāo),如圖所示,直線(xiàn)將第一象限劃分為4個(gè)區(qū)域.下面四個(gè)結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是(
)①對(duì)于任意等腰,其坐標(biāo)不可能位于區(qū)域Ⅰ中;②對(duì)于任意等腰,其坐標(biāo)可能位于區(qū)域Ⅳ中③若是等腰直角三角形,其坐標(biāo)位于區(qū)域Ⅲ中;④圖中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的等腰三角形的底邊比點(diǎn)N所對(duì)應(yīng)的等腰三角形的底邊要長(zhǎng).A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①④二、填空題11.定義為一次函數(shù)的特征數(shù),若特征數(shù)為的一次函數(shù)為正比例函數(shù),則為.12.定義:若,滿(mǎn)足,為常數(shù))且對(duì),則稱(chēng)點(diǎn)為“妙點(diǎn)”,比如點(diǎn).若函數(shù)的圖象上的“妙點(diǎn)”在第三象限,則的取值范圍為.13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的“變換點(diǎn)”的坐標(biāo)定義如下:當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為.線(xiàn)段上所有點(diǎn)的“變換點(diǎn)”組成一個(gè)新的圖形,若直線(xiàn)與組成的新的圖形有兩個(gè)交點(diǎn),則的取值范圍是.14.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)和給出如下定義:如果那么稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,例如:點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn),的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn).(1)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為,則.(2)如果點(diǎn)是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.15.定義:在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于的點(diǎn),叫做該函數(shù)圖象的“階和點(diǎn)”.例如,為一次函數(shù)的“階和點(diǎn)”.(1)若點(diǎn)是關(guān)于的正比例函數(shù)的“階和點(diǎn)”,則;(2)若關(guān)于的一次函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)階和點(diǎn),則的取值范圍為.16.對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù),對(duì)于這個(gè)函數(shù)的所有函數(shù)值y,都滿(mǎn)足,則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù),在所有滿(mǎn)足條件的M中,其最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的邊界值.例如,圖中的函數(shù)是有界函數(shù),其邊界值是1.函數(shù)的邊界值為.若函數(shù)(,)的邊界值是5,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是5,則b的取值范圍為.17.定義:對(duì)于給定的一次函數(shù)(a,b為常數(shù),且),把形如的函數(shù)稱(chēng)為一次函數(shù)的“相對(duì)函數(shù)”.(1)若點(diǎn)在一次函數(shù)的“相對(duì)函數(shù)”圖象上,則m的值是;(2)若點(diǎn)在一次函數(shù)的“相對(duì)函數(shù)”圖象上,則n的值是.18.定義:我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)稱(chēng)為一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”.例如求的“不動(dòng)點(diǎn)”:聯(lián)立方程,解得,則的“不動(dòng)點(diǎn)”為,(1)由定義可知,一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為;(2)若直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且直線(xiàn)上沒(méi)有“不動(dòng)點(diǎn)”,若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),使得,求滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)三、解答題19.當(dāng)、為兩個(gè)不相等的常數(shù),且時(shí),定義一次函數(shù)與互為“友好函數(shù)”.如:與互為“友好函數(shù)”.(1)點(diǎn)在的“友好函數(shù)”的圖象上,求的值;(2)若點(diǎn)既是函數(shù)圖象上的點(diǎn),又是它的“友好函數(shù)”圖象上的點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo).20.定義:對(duì)于一次函數(shù)、,我們稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)、的“星辰函數(shù)”.(1)已知函數(shù)為函數(shù)、的“星辰函數(shù)”,求,的值;(2)在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),交函數(shù)、的“星辰函數(shù)”的圖象于點(diǎn).①若,函數(shù)、的“星辰函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的值;②若,點(diǎn)在點(diǎn)的上方,求的取值范圍.21.閱讀理解:對(duì)于線(xiàn)段和點(diǎn),定義:若,則稱(chēng)點(diǎn)為線(xiàn)段的“等距點(diǎn)”;特別地,若,則稱(chēng)點(diǎn)是線(xiàn)段的“完美等距點(diǎn)”.解決問(wèn)題:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).(1)已知3個(gè)點(diǎn):,則這三點(diǎn)中,可以做線(xiàn)段的“等距點(diǎn)”是,線(xiàn)段的“完美等距點(diǎn)”是;(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O為線(xiàn)段AP的“等距點(diǎn)”,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若,點(diǎn)在軸上,且是線(xiàn)段的“等距點(diǎn)”,求點(diǎn)的坐標(biāo);(4)當(dāng)m>0,是否存在這樣的點(diǎn),使點(diǎn)是線(xiàn)段的“等距點(diǎn)”,也是線(xiàn)段的“完美等距點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有這樣的點(diǎn)P的坐標(biāo).22.已知直線(xiàn).(1)當(dāng)為何值時(shí),直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?(2)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),,并求出此時(shí)的面積;(3)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,若某個(gè)點(diǎn)到軸、軸的距離之和為2,則稱(chēng)該點(diǎn)為“元元點(diǎn)”,如點(diǎn),,都是“元元點(diǎn)”.若直線(xiàn)上至少有一個(gè)“元元點(diǎn)”,求的取值范圍.23.定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)Mx,y和點(diǎn)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)N為點(diǎn)M的變換點(diǎn).例如:點(diǎn)變換點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)?3,2變換點(diǎn)的坐標(biāo)是.(1)則點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)是;(2)已知點(diǎn)M在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)M的變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5,求點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)已知點(diǎn)M在函數(shù)的圖象上,其變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是,求k的取值范圍.24.定義:我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)稱(chēng)為一次函數(shù)()的“亮點(diǎn)”.例如求的“亮點(diǎn)”,聯(lián)立方程:,解得,則的“亮點(diǎn)”為.(1)由定義可知,一次函數(shù)的“亮點(diǎn)”為_(kāi)__________.(2)一次函數(shù)的“亮點(diǎn)”為,求p,q的值.(3)若直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且直線(xiàn)上沒(méi)有“亮點(diǎn)”,點(diǎn)P在x軸上,使,求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).25.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于線(xiàn)段,給出如下定義:直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn),直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的另一個(gè)端點(diǎn),若直線(xiàn)與交于點(diǎn),且點(diǎn)不在線(xiàn)段上,則稱(chēng)點(diǎn)為線(xiàn)段的“雙線(xiàn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.(1)已知,線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和,則在點(diǎn),中,線(xiàn)段的“雙線(xiàn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是___________:(2)是直線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).①點(diǎn)是線(xiàn)段的“雙線(xiàn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,其縱坐標(biāo)為,直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)___________;②正方形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,其中.若所有線(xiàn)段的“雙線(xiàn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”中,有且僅有兩個(gè)點(diǎn)在正方形的邊上,直接寫(xiě)出的取值范圍___________.26.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)A和點(diǎn)B,給出如下定義:若,則稱(chēng)B為A的雅值點(diǎn),例如:點(diǎn)的雅值點(diǎn)為點(diǎn).(1)點(diǎn)的雅值點(diǎn)坐標(biāo)是;若點(diǎn)A的雅值點(diǎn)為,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是;(2)如圖1,點(diǎn)C、點(diǎn)D是y軸上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)D的雅值點(diǎn)E在直線(xiàn)上,的面積為,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M是直線(xiàn)y=2x上一點(diǎn),點(diǎn)N是點(diǎn)M的雅值點(diǎn),若x軸上存在點(diǎn)P,使得是等腰直角三角形且,請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).27.平面直角坐標(biāo)系中
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