專題8-3 立體幾何壓軸小題：動(dòng)點(diǎn)與軌跡、距離最值-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題8-3立體幾何壓軸小題：動(dòng)點(diǎn)與軌跡、距離最值目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】線線、線面恒定平行求軌跡 2【題型二】線線、線面恒定垂直求軌跡 3【題型三】翻折中的軌跡 4【題型四】角度恒定求軌跡 5【題型五】阿波羅尼斯圓與球（線段定比） 6【題型六】定長(zhǎng)求軌跡 7【題型七】動(dòng)點(diǎn)：折線最值 8【題型八】動(dòng)點(diǎn)：折線倍數(shù)轉(zhuǎn)化 9【題型九】動(dòng)點(diǎn)：兩線上點(diǎn)距離 9【題型十】動(dòng)點(diǎn)：面上動(dòng)點(diǎn) 10【題型十一】動(dòng)點(diǎn)最值：周長(zhǎng)最值 11【題型十二】動(dòng)點(diǎn)最值：面積最值 13真題再現(xiàn) 14模擬檢測(cè) 17綜述：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問題；立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，空間中軌跡問題的解答思路：根據(jù)已知條件確定和待求點(diǎn)相關(guān)的平行、垂直等關(guān)系；（2）用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、、z表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長(zhǎng)度等其他量.立體幾何最值：1、計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對(duì)于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解．空間中動(dòng)線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對(duì)稱性來處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長(zhǎng)度可利用點(diǎn)到平面的距離來處理.計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；【題型一】線線、線面恒定平行求軌跡【典例分析】.如圖，三棱柱中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為平面上一點(diǎn)，且平面則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B．C． D．【變式演練】1．已知棱長(zhǎng)為1的正方體，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）A． B． C． D．2..如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________，三棱錐的體積為________．3.如圖所示四棱錐，底面為直角梯形，，，，，面，平面，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為________．【題型二】線線、線面恒定垂直求軌跡【典例分析】如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn).要使平面，則線段的長(zhǎng)的最大值為（）A． B． C． D．【變式演練】1.在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則Q點(diǎn)的軌跡是（）A．點(diǎn) B．線段 C．線段 D．平面2.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為的中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且．當(dāng)在上時(shí)，____，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為____．3.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B．C． D．【題型三】翻折中的軌跡【典例分析】矩形ABCD中，，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在范圍內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)A'的軌跡長(zhǎng)度為______________【變式演練】1.如圖所示，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為___________.2.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為________.3.已知矩形中，，，如圖，將沿著進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，若點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【題型四】角度恒定求軌跡【典例分析】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支【變式演練】1.如圖，在直三棱柱中，已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，分別在側(cè)面和側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（）

A． B． C． D．2.正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點(diǎn)所在軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【題型五】阿波羅尼斯圓與球（線段定比）【典例分析】在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點(diǎn)為正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為()A． B． C． D．【變式演練】1.在長(zhǎng)方體中，，，為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與長(zhǎng)方體的面的交線長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為___________.3.在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方體（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為________.【題型六】定長(zhǎng)求軌跡【典例分析】已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別在直線，上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的中點(diǎn)的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓【變式演練】1.已知三棱錐的外接球的半徑為，為等腰直角三角形，若頂點(diǎn)到底面的距離為4，且三棱錐的體積為，則滿足上述條件的頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是______．2.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（）A． B．C． D．3.已知正六棱柱的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，為的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（）A． B． C． D．【題型七】動(dòng)點(diǎn)：折線最值【典例分析】如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A．B．C．D．【變式演練】1.在正方體中，棱長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．52.在三棱錐中，所有的棱長(zhǎng)都相等，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)對(duì)AC上一動(dòng)點(diǎn)，若DF＋FE的最小值為，則該三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．3.已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)M在棱AC上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【題型八】動(dòng)點(diǎn)：折線倍數(shù)轉(zhuǎn)化【典例分析】如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，，分別為體對(duì)角線和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【變式演練】1.如圖，在長(zhǎng)方體中，棱長(zhǎng)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，分別為體對(duì)角線和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.．已知正三棱柱底邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為d，則________．【題型九】動(dòng)點(diǎn)：兩線上點(diǎn)距離【典例分析】.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是線段，上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足平面，，且、不是正方體的頂點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在對(duì)角線上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得線段平行于對(duì)角面，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．1 C． D．3.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)M為邊上一動(dòng)點(diǎn)，若且垂足為N，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．1【題型十】動(dòng)點(diǎn)：面上動(dòng)點(diǎn)【典例分析】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)．若平面AMN，則PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．【變式演練】1.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為BC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M在平面DCC1D1內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有MN//平面A1BD則線段MN的最小值為（

）A．1 B． C． D．2.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)若∥平面，則的最小值是（

）A． B． C． D．3.在正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十一】動(dòng)點(diǎn)最值：周長(zhǎng)最值【典例分析】如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，過點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．【變式演練】1.如圖，S﹣ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，三角形BEF的周長(zhǎng)的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（）A．30° B．60° C．20° D．90°2.如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、分別為的三等分點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．3.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，、分別為面和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十二】動(dòng)點(diǎn)最值：面積最值【典例分析】已知正方體的棱長(zhǎng)為，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為（

）A． B． C．5 D．25【變式演練】1..已知正方體外接球的表面積為，正方體外接球的表面積為，若這兩個(gè)正方體的所有棱長(zhǎng)之和為，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是()A． B． C． D．1．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)、在棱上，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，若，，，（，，大于零），則四面體的體積（

）．A．與，，都有關(guān) B．與有關(guān)，與，無關(guān)C．與有關(guān)，與，無關(guān) D．與有關(guān)，與，無關(guān)2．已知矩形．將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中A．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“與”，“與”，“與”均不垂直3．如圖在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是A． B．C． D．4．如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α,β,γ，則A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α5．在正四棱柱中，頂點(diǎn)到對(duì)角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是A．若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的變長(zhǎng)，則的取值范圍為B．若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的變長(zhǎng)，則的取值范圍為C．若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的變長(zhǎng)，則的取值范圍為D．若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的變長(zhǎng)，則的取值范圍為6．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則的最大值為A． B． C．4 D．7．設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．B．C．三棱錐的體積為定值D．9．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．10．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是____.12．連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦的長(zhǎng)度分別等于、，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為_________．13．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.14．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．1.如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥面A1BD，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（）333A．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．2..如圖，定點(diǎn)A，B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（）A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一段弧，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)3.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長(zhǎng)變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．4.已知正方體ABC