北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊解答題專題訓(xùn)練50題含答案

北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊解答題專題訓(xùn)練50題含答案

1.如圖，在AABC中，AB=AC=10cm,BDJ_AC于點(diǎn)D,且BD=8cm.點(diǎn)M從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒；同時(shí)直線PQrfa點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方

向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/秒，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ〃AC,直線PQ交AB于點(diǎn)P、

交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F.連接PM,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（OVl<5）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形PQCM的面積為y（cm2）,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

102

【答案】（1）當(dāng)t=§s時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形；（2）y=-t2-8t+40.

【詳解】試題分析：（1）假設(shè)PQCM為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊

平行，進(jìn)而得到AP-4M,列出關(guān)于，的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；

（2）根據(jù)PQ//AC,可得根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知V3PQ

也為等腰三角形，即BP=PQ=f，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含，的

代數(shù)式就可以表示出即，進(jìn)而得到梯形的高正/=8-右又點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間

可知點(diǎn)M走過的路程AM=2，，所以梯形的下底CM=10-2，.最后根據(jù)梯形的面積公

式即可得到y(tǒng)與f的關(guān)系式；

試題解析：（1）假設(shè)四邊形PQC歷是平行四邊形，則

AP:AB=AM:ACf

*：AB=ACf

：.AP=AM,即10-/=2f,

解得：f=￥，

，當(dāng)，二g時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形;

(2)VPQ//AC,

:.APBQSAABC,

.?.△P4Q為等腰三角形，PQ=PB=t,

.BFBPH.BFt

BDBA810

4

解得：BF=-t,

4

:.FD=BD—BF=8—J,

5

XVMC=AC-AM=10-2/,

2

.?.y=l（pe+A/C）FD=1（z+10-2r）（8-^r）=|r-8r+40.

52.某商場為緩解我市“停車難”問題，擬建造地下停車庫，如圖是該地下停車庫坡道入

口的設(shè)計(jì)示意圖.其中，AB±BD.NBAD=18。，C在BD上，BC=0.5m.車庫坡道

入口上方要張貼限高標(biāo)志.以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)?為標(biāo)明限高，請你

根據(jù)該圖計(jì)算CE的長度（即點(diǎn)C到AD的距離）.（參考數(shù)據(jù):sinl830.31,cosl8%0.95,

tanl8%0.33）（結(jié)果精確到0.1m）

【答案】2.3米

【分析】在RtAABD中，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出BD,進(jìn)而求出CD,再在

RtACDE中求出CE即可.

【詳解】解：在RSABD中，ZABD=90°,ZBAD=18°,AB=9,

/.BD=tan18°xAB^O.33x9=2.97米，

VZDCE+ZADB=90°,ZBAD+ZADB=90°,

.*.ZDCE=ZBAD=I8°,

在RSCDE中，ZCED=90°,ZDCE=18°,CD=BD-BC=2.97-0.5=2.47（*）,

.?.CE=cosl8°xCDM）.95x2.47^2.3（米）.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正畫計(jì)算的前提，構(gòu)造

直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

53.計(jì)算:

（1）2sin300+tan30°-cos30°

（2）7（l-tan6O0）2+（2-cos45°）°--

【答案】⑴;3

⑵癢應(yīng)

【分析】⑴將疝30。=：,cos30°=立，tan3(r=且代入，再計(jì)算乘法與加法；

223

(2)將tan60o=Gsin45=1,cos45=爭弋入，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)存=時(shí)，

非。數(shù)的0指數(shù)累等于1,乘積等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)化簡，最后有理數(shù)無理數(shù)分別

合并.

【詳解】(1)2sin30°+tan30°cos30°

=2」+旦立

232

=1+-

2

—_3—?

2，

sin45°

T

=^-1+1-72

=V5-V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的銳角三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算.解決問題的關(guān)鍵是熟練

掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的順序，二次根式的性質(zhì)，0指數(shù)轅定義，

倒數(shù)的定義.

54.如圖①，將“歡迎光臨”門掛便斜放置時(shí)，測得掛繩的一段AC=30C7〃.另一段8C=20

cm.已知兩個(gè)固定扣之間的距離A8=30cm

(1)求點(diǎn)。到A8的距離；

(2)如圖②，將該門掛扶“正名即AC=8C),求ZCAB的度數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sin49°?0.75,

4

cos41°?0.75,tan37°?0.75,cos53°?0.6,tan53°?-)

3

【分析】（1）過點(diǎn)C作Ca_LAB于點(diǎn)H,設(shè)B〃=x,則AH=30?x.根據(jù)勾股定理列式計(jì)

算可得x的值，進(jìn)而可得C”的值;

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得4"的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出NCAB的度

數(shù).

【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作CH_LAB于點(diǎn)”，如圖.

設(shè)=則A"=30—x.

,：CHA.AB,AC=30,BC=20,

CH2=AC2-AH2=BC2-BH1，

即302-(30-X)2=202-X2,

2()

解得x

-'-CH=yJBC2-BH2==竺&.

3

(2)由已知，得AC=BC=25.

cosNBAC=------=0.6,

AC

:./mea530.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握

解直角三角形的方法.

55.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)點(diǎn)3

的坐標(biāo)為(0,-4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-1).

-I-

-5

⑴請畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△耳始G；

(2)請畫出繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△&gG；

(3)試求問題(2)中A在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路徑的長度.

【答案】(1)圖形見解析；

(2)圖形見解析：

(3)石乃.

【分析】(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)分別作出A、四、C,,依次連接即可：

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出4、B?、依次連接即可；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角為90。，再利用勾股定理求出。4=26，最后利用弧

長公式即可得到答案.

【詳解】(1)解：A(-2,T)、6(0,T)、C(L-l)關(guān)于原點(diǎn)O對稱點(diǎn)分別為A、4、

G，

?.A(2,4)、4(0,4)、

依次連接4、用、G，得到局G即為所求，如下圖；

(2)解：A(-2,-4)、8(0,T)、繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后對應(yīng)點(diǎn)分別為4、

當(dāng)、。2,

二4（-4,2）、鳥（-4,0）、G（T，T），

依次連接A、用、C2t得到M&G即為所求，如下圖:

（3）解：：々ABC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△A與G,

.ZAOA=90°

A（—2T）、8（01）,

.\AB=2,08=4,

:.OA=jAB2+OB2=V22+42=2>/5>

二?點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路徑A42的長度=90”-2石二后

c180

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一旋轉(zhuǎn)變換，中心對稱變換，弧長公式，勾股定理等知識，熟

練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

56,尺規(guī)作圖，不需要寫作圖方法，保留作圖痕跡，如圖，若線段CZ）=acm,AB=bcm.

AI----------------------------------------1BC?-----------------------------1D

⑴根據(jù)下列要求畫圖，到點(diǎn)4點(diǎn)B的距離都不大于“cm的所有點(diǎn)組成的圖形（用陰

影表示）.

（2）若線段CO=3cm,AB=3V5cm,求出滿足（1）條件所得圖形的面積.

【答案】（1）見解析；

（2）S陰影=（3乃——）cm-

【分析】（1）分別以點(diǎn)4、8為圓心，C。為半徑畫圓，兩圓的公共部分滿足條件：

（2）在接人M、AN,BM、BN,MN,A△與MN相交于點(diǎn)E,如圖，先證明四邊形AW8N

為菱形，則根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN_LA8,AE=BE=^~,再計(jì)算出MN=3得AAMN

2

為等邊三角形，所以NMAN=60。，根據(jù)扇形的面積公式和菱形的面積公式，利用S陰.

部分=2S用的MAN-S珈AMBN進(jìn)行］十算?

（1）

解：如圖，陰影部分為所作；

（2）

解：連接AM、AN,BM、BN,MN,AB與MN相交于點(diǎn)E,如圖，

則AM=BM=BN=AN=3cm,

???四邊形AMBN為菱形，

:.MN1.AB,AE=BE=^rAB=—,

22

在RtAAME中，ME=^AM2-AE2=卜?_（2^）2=|,

:,MN=2ME=3,

：.AM=AN=MNf

???△AMN為等邊三角形，

???NM4N=60。，

:?S陰影邰分=2S扇彩MAN-S菱形AMBN=2又駕裊-^3x343=（3〃■竺）cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；

作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知

直線的垂線）是解決問題的關(guān)鍵.也考查了菱形的判定與性質(zhì)和扇形的面積公式.

57.如圖，A8是OO的弦，O￡_LAB交。。于點(diǎn)E,點(diǎn)C是弦A5下方OO上一點(diǎn)，連

接CE與A5交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是A8延長線上一點(diǎn)，且PC=PF,連接。8、BC.

E

B

\0\/

V_%

(1)求證：PC是oo的切線；

(2)若NOBC=45°,BC=3&，BP=5,求既的長.

【答案】(1)見解析；(2)BF=2

【分析】(1)要證PC是(。的切線，連接OC,即證OC_LCP,即證NOCE+4FCP=90°,

通過OE±AB可得NE+ZAFE=90°,通過PC=PF結(jié)合等邊對等角即可得證；

(2)要求所的長，8P的長己知，即求P尸的長，進(jìn)而需求CP的長，過點(diǎn)8作6G_LPC

于點(diǎn)G,由CP=CG+PG且PG、社在同一直角三角形中，可知需求BG的長，易證

四邊形0CG8是正方形，即可得解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC

\'OE±AB

：.ZE+ZEFA=90°

?：OE=OC

：.NE=/OCE

???PC=PF

JZCFP=ZFCP

又「ZCFP=ZEFA

/.ZFCP=ZEFA

/.ZOCE+ZFCP=ZE+ZEE4=90°,即NOCP=90°

〈OC是Q的半徑

???PC是OO的切線；

(2)如圖，過點(diǎn)B作BG上PC于點(diǎn)G

VZOTC=45°,OC=OB

ZOC8=ZOBC=45°,ZCOB=90°

???AOBC是等腰直角三角形

?：OB=OC,BC=3五,OBZ^OC2=BC2

：.OB=3

VBGJ-PC,NOCP=90。

，四邊形OBGC是正方形

：?OB=CG=BG=3

在用ABPG中，由勾股定理得人;二癡。5r二序予=4

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等

知識點(diǎn)，較難的是題(2),通過作輔助線，構(gòu)造一個(gè)正方形是解題關(guān)鍵.

58.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值-4,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,12).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)該拋物線交x軸于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C,在拋物線對稱軸上

有一動(dòng)點(diǎn)P，求PA+PC的最小值，并求當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(Dy=x2-6x+5；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)時(shí)，PA+PC取最小值，最小

值為5夜.

【分析】(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)將二次函數(shù)的解析式設(shè)成產(chǎn)a(x-3)2-4,由該函數(shù)圖象上一

點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由二次函數(shù)圖象的

對稱性可得出連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC取最小值，最小值為BC,

根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式及線段BC的長度，再利用一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解.

【詳解】(1)???當(dāng)x=3時(shí),y有最小值4,

???設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-3)2-4.

???二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-L12),

.\12=I6a-4,

a=1,

???二次函數(shù)的解析式為y=(x-3)2-4=X2-6X+5.

(2)當(dāng)y=0時(shí),有X2-6X+5=0,

解得：X1=1,X2=5,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0)；

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2-6x+5=5,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,5）.

連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC取最小值，最小值為BC,如圖所示.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m#)),

將B(5,0)、C(0,5)代入產(chǎn)mx+n,得:

5/n+/:=0/n=-1

解得:

ti=5n=5

,直線BC的解析式為y=-x+5.

VB(5,0)、C(0,5),

???BC=5&.

?.?當(dāng)x=3時(shí)，y=-x+5=2,

???當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)時(shí)，PA+PC取最小值，最小值為5&.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

特征、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及軸對稱中最短路線問題，解

題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；(2)利用兩點(diǎn)

之間線段最短結(jié)合二次函數(shù)的對稱性找出點(diǎn)P的位置.

59.如圖，在AABC的邊8c上取一點(diǎn)。，以0為圓心，OC為半徑畫8,與邊AC

相切于點(diǎn)C,連接04,04平分NC43.

⑴求證：AB是OO的切線；

4

⑵若AB=10,tanB=-,求00的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)1

【分析】（1）連接0。，由切線的性質(zhì)可得NADO=90°,由“A4S”可證AACO三AADO,

可得OC=OD,由切線的判定可得結(jié)論；

（2）由銳角三角函數(shù)可設(shè)AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求8C=6,再由勾股定

理可求解.

（1）

過點(diǎn)。作于點(diǎn)O,

ADB

則ZADO=90。，

。與邊4C相切于點(diǎn)C,

..OC±AC,即/48=90°,

04平分NC4B,

:.ZCAO=ZDAOf

ZCAO=ZDAO,ZACO=ZADO=90°,OA=OA,

.-.MCO=MDO(AAS),

:.OC=OD,

oc是半徑，

??.OD是半徑，

又O￡>_LAZ?,

.?.A3是30的切線；

(2)

在RtAACB中，Z^4C=90°,

?4AC

tan8=-=——，

3BC

???設(shè)AC=4x,BC=3x,

222

.AC+BC=ABf

.,.16在+9江=100,

解得％=2,X2=-2(舍去)，

..BC=6,AC=8,

由(1)

:.AC=AD=S,

,AB=1(),

:.BD=AB-AD=2,

設(shè)OO的半徑為「，則OC=OQ=r,

在RSODB中，ZODB=90°,

OB2=OD2+BD\

(6-r)2=r2+4,

解得「=[.

Q

所以O(shè)的半徑為

【點(diǎn)睛】本題是考查了切線的判定和性質(zhì)，正切，勾股定理，熟記切線的判定定理及銳

角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

60.己知拋物線'="一2如一3+2儲(chǔ)(°工0).

(1)求這條拋物線的對稱軸；

(2)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)尸(八乂)，。(3,必)在拋物線上，若))<%，求m的取值范圍.

3232

【答案】(1)x=l；(2)y=-x-3x+-^,y=-x+2x-\；(3)當(dāng)a>0時(shí)，-1</M<3；

當(dāng)aV0時(shí)，"?<-1或帆>3.

【分析】(1)將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到對稱軸；

(2)根據(jù)(1)中的頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)等于0,解一元二次方程,

即可得到。的值，進(jìn)而得到其解析式；

(3)根據(jù)拋物線的對稱性求得點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，即可得到用的取值范圍.

【詳解】(1)y=ax2-2ux-3+2a2,

y=a(x-l)2-a-3+2a2,

，其對稱軸為：x=l.

(2)由(1)知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,2/—〃—3),

???拋物線頂點(diǎn)在x軸上，

??2々2—々—3=0,

3

解得：a=-^a=-\,

當(dāng)a時(shí)，其解析式為：y="2_3K+(,

222

當(dāng)。=-1時(shí)，其解析式為：y=-x2+2x-l,

綜上，二次函數(shù)解析式為：y=^ax2-3x+a^y=-x2+2x-\.

(3)由(1)知，拋物線的對稱軸為x=l,

:.。(3,%)關(guān)于％=1的對稱點(diǎn)為(T，%)，

當(dāng)a>0時(shí)，若)\<必，

則“VmV3；

當(dāng)aVO時(shí)，若,<必，

則m<-l或m>3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)充稱軸，解析式的計(jì)算，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求

不等式的取值范圍，熟知相關(guān)L算是解題的關(guān)鍵.

61.計(jì)算：

(1)75cos300+y/2sin45°；

(2)6tan2300-&sin600-2sin450.

【答案】(1)I：(2)《-日

22

【分析】直接代入特殊角度的三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：(1)原式=反3母*叵=三

222

(2)原式=6xg-yfy-2xyfi.

【點(diǎn)睛】本題考查了含有特殊角三角函數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解

題關(guān)鍵.

62.如圖1,48是。。的直徑，A8繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段4C,連接交。。于

點(diǎn)、D,過。作。EL4C于E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)過。作交。0于點(diǎn)孔直線AC交。0于點(diǎn)G,連接尸G,DG,BF.

①如圖2,證明：FG//BD,

②當(dāng)4。旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，在B戶上取一點(diǎn)H,使得QH=OE若BF上DG,證明:

D,O,”在同一條直線上.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析②見解析

【分析】(1)如圖1,連接0。、AD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可證得△A8C是等腰三角形，根據(jù)直徑

所對的圓周角是直角可得出AZXLBC,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得。?！ˋC,進(jìn)而推

出0DLDE,再運(yùn)用切線的判定定理即可；

(2)①如圖2,連接BG、AD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得出AO_LBC,再運(yùn)用

弦、弧、圓周角的關(guān)系即可證得結(jié)論；

②如圖3,連接。。，運(yùn)用圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理證明N8D”=NBOO,即可

證得結(jié)論.

(1)

證明：如圖1,連接。。、AD,

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AC,

：.AB=ACf

???△ABC是等腰三角形，

〈AB是。0的直徑，

???NAO8=90°,即AO_L8C,

???BO=CO且A0=8。，

是△人AC的中位線,

：.OD//AC,

VDE±AC,

：.ODLDE,

???OE是。O的切線;

圖1

(2)

)①證明：如圖2,連接5G、AD,

〈AB是。。的直徑，

NBG4=NB￡%=90。，

：.ADlBCt

???AB=AC,

:?BD=DC,

：.BD=GD,

?*-BD=GD，

*：DFA.ABt

?*,BD=BF?

:?GD=BF，

.\Z1=Z2,

/.FG〃BD?、

圖2

②證明：如圖3,連接0D,

?:DFLAB,AB是。。的直徑,

?**AD=AF，

??N3=N4=N5,

???AB=AC,

AZ3=ZC,

AZ5=ZC,

JFG//DB,

:、BG=DF，

：.NDBF=NBDG,

VBF±DG,

???NDBF=NBOG=45。，BD=BF，

：.Z3=Z4=-ZDBF=22.5°,

2

AZ7=90°-Z4=67.5°,

,:DF=DH,

/.Z6=Z7=67.5°,

:./BDH=/6-NO8/=22.5\

?：OB=OD,

???N3=N8QO=22.5°,

NBDH=NBDO,

：-D,O,”在同一條直線上.

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查圓和三角形的綜合應(yīng)用.熟練掌握切線的判定方法，圓周角定理，以

及三角形的中位線定理和三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

63.已知：如圖，。。內(nèi)切于aABC,ZBOC=105°,ZACB=90°,AB=20cm.求BC、

AC的長.

B

【答案】BC、AC的長分別是。cm、106cm.

【分析】先根據(jù)O內(nèi)切于△ABC,得出NABO=NCBO,ZBCO=ZACO,再根據(jù)

ZACB=90°,得出NBCO=45。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NOBC的度數(shù)，從而求

出NABC和NA的度數(shù)，即可求出BC的長，再根據(jù)勾股定理即可求出AC.

【詳解】解：團(tuán)圓O內(nèi)切于回ABC,

00ABO=0CBO,0BCO=0ACO,

00ACB=9O0,

Pll?lBCO=-x90o=4So,

2

00BOC=1O5°,

00CBO=18OO-45O-1O5°=3O°,

00ABC=20CBO=6O°,

00A=3O°,

0BC=-AB=—x20=10cm,

22

0AC==^(f-lO2=10x/3

團(tuán)BC、AC的長分別是10cm、10后cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形

的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

64.如圖，在R34BC中，ZC=90°,AB=Scm,cos/A8Gl，點(diǎn)。在邊AC上，且CQ二

7

-cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊A8向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)即停

止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為I(s).解答下列問題：

(1)M、N分別是OP、8尸的中點(diǎn)，連接MN.

①分別求8C、MN的值；

②求在點(diǎn)尸從點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中線段所掃過區(qū)域的面積；

⑵在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t,使5。平分N8P?若存在，求出t的值；

若不存在，請說明理由.

cc

?45

【答案】（1）①3C=Mcm,MN=5cm；②6cm?

⑵出

39

7

【分析】(1)①根據(jù)A8=8和8sZABC=m可求出8c的長，根據(jù)勾股定理求出8。的

長，然后根據(jù)三角形中位線定理即可求解；

②由于。點(diǎn)不動(dòng)，所以8。的長不變，從而可得MN的長不變，由此可知掃過的區(qū)域?yàn)?/p>

平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求面積即可得；

(2)過。作于，，過點(diǎn)R作BE上PD于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理

求出BE,的長，再根據(jù)三角形的面積的不變性可得。P的長，從而可得叱的長，

然后在RL.3律中，利用勾股定理即可得.

(1)

解：①在RtZ\A8C中，NC=90。,A8=8cm,cosNA8C=1,

BC=ycm,AC=y/AB2-BC2=ycm,

CfD=—7cm,

:.BD=ylBC2+CD2=5cm?

.M,N分別為￡>P,8尸的中點(diǎn)，

:.MN=-BD=-cm；

22

②因?yàn)?。點(diǎn)不動(dòng)，

所以8。的長不變，

所以MN的長不變，

所以如圖，線段MN掃過的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蜝MMNO,其中，點(diǎn)分別為

BZXAD4B的中點(diǎn)，則MoM=gE)=|cm,

過點(diǎn)M。作于點(diǎn)尸,

c

D

BN。F

BN?=AN。=gAB=4cm,

.AD=AC-CD=5cm,

AM。=gAO=gem,

AMi>=MaN0,

/.4F=；ANo=2cm,

:.M0F=j產(chǎn)二|cm,

2

則平行四邊形BM1M°N°的面積為B7V0A/0F=4x|=6（cm）,

即線段MN所掃過的區(qū)域的面積為6cm2.

(2)

解：如圖，過。作OH_LAB于”，過點(diǎn)8作8E_LPD于E,

AD=BD=5cm,DH1AB,

AH=—AB=4cm,

2

DH=yjAD2-AH2=3cm，

由題意得：AP=tcm,0</<8,

:.BP=AB-AP=(8-t)cmt

StBtUDrP=2-BEDP2=-DHBP,

2DHBP5/z、

?加=-^=53(cm),

iv5,

:.EP=DP-DE=--—(cn\)

58v7t

2fZHH/o\2fl85/V<24?

在Rt詆中,BP2=PE?+BE^，即(8T)=1y-jI+1yI,

解得f=或f=16、8(舍去)，

11?

故當(dāng)好萬時(shí)，8D平分NCDP.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、

等腰三角形的三線合一、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形中位線定理和

勾股定理是解題關(guān)鍵.

65.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=；(x+3)(x-a)與x軸交于A,8(4,0)兩

點(diǎn)，點(diǎn)C在〉軸上，且OC=OB,D,E分別是線段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。，E不

與點(diǎn)A,B,C重合).

(1)求此拋物線的表達(dá)式;

(2)連接。石并延長交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)。E_Lx軸，且AE=1時(shí)，求OP的長:

(3)連接8。.

①如圖2,將△8C￡)沿“軸翻價(jià)得到當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo);

②如圖3,連接CE,當(dāng)8=AE時(shí)，求8O+CE的最小值.

【答案】⑴尸22_%-3

嗚

⑶①-引；②質(zhì)

【分析】(1)把點(diǎn)8代入拋物線關(guān)系式，求出。的值，即可得出拋物線的關(guān)系式；

(2)根據(jù)拋物線y=；(x+3)(x-4)可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)AE=1,利

用三角函數(shù)，求出OE的長，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，得出

點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，代入拋物線的關(guān)系式，求出點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)，即可得出門的值，最后求

出QP的值即可;

(3)①連接￡)G交AB于點(diǎn)/，設(shè)OM=a(a>0),貝ijAA/=04-。M=3-々，求出

MG=MO=AM?tanNCAO=g。-。)，得出點(diǎn)G(-〃,米4—3“，將其代入拋物線關(guān)系

式，列出關(guān)于。的方程，解方程，求出。的值，即可得出G的坐標(biāo)；

②在A8下方作NE4Q=NOC5且AQ=AC,連接EQ,CQt證明△AEQw^COB,得

出EQ=%>,說明當(dāng)C,E,。三點(diǎn)共線時(shí)，BD+CE=EQ+CE最小,最小為CQ,過

。作C”_LA。，垂足為“，先證明NC4〃=45。，算出AC長度，即可求出C”、AH,得

出”Q，最后根據(jù)勾股定理求出CQ的長度即可得出結(jié)果.

⑴解：???8(4,0)在拋物線y=#+3)(i)上，???：(4+3)(4一〃)=0,解得°=4,

,y=；(x+3)(x—4),即"$2_3_3；

(2)在y="(x+3)(x-4)中，令y=0,得與=-3,x2=4,工A(-3,0),04=3,;

,、0C44

OC=OB=4,C(0,4),*.*AE=1>**?DE=AE-tanZ.CAO=AE--=lx—=—,

v7OA33

OE=OA-AE=3-\=2t：.E(-2,0),?.?OEJ_x軸，xP=xD=xE=-2f:.

i334317

y=-(-2+3)(-2-4)=--,PE=-：.DP=DE+PE=-+-=—.

「p4、八)22t326

(3)①連接OG交AB于點(diǎn)也，如圖I所示:V△BCD

圖1

與.8尸G關(guān)于％軸對稱，,\DG1AB,DM=GM,設(shè)OM=a(a>0),則

AM=OA-OM=3—a,MG=MD=AMtanZCAO=^(3-a),,V

點(diǎn)6,4,如_3))在拋物線y=；(x+3)(x_4)上，.?.*+3)(-4-4)=*-3),解

得4=3(舍去)，/=］，???6卜3，-瓦卜②在A5下方作N"Q=NDC8且AQ=8C,

連接EQ,C。，如圖2所示:VAE=CD,J

△AEQ=4CO3（SAS）,二9二皿，，當(dāng)C,E,。三點(diǎn)共線時(shí)，BD+CE=EQ+CE

最小，最小為CQ,過C作C”，AQ,垂足為，，???"人0mOC=OB=4,：.

ZCBA=45°,BC=4&,,:

ZCAH=180°-NCAB-NEAQ=180°-ZCAB-Z.DCB=/CBA=45°,

AC=>/OA2+OC2=V32+42=5?A”=CH=AC=~~，

HQ=AH+AQ=AH+BC=手+4五CQ=y/CH2+HQ2

==屈,即BD+CE的最小值為質(zhì).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的關(guān)系式，全等三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，證明EQ=4￡）,得

出當(dāng)C,E,。三點(diǎn)共線時(shí)，50+CE=EQ+CE最小，是解題的關(guān)鍵.

66.尺規(guī)作圖只允許使用直尺和圓規(guī)來解決平面幾何作圖題，下面我們用尺規(guī)作圖來解

決一些問題.

【回顧復(fù)習(xí)】下列作圖語句表述正確的是.

①延長射線

②已知線段A8,作MN=AB；

③作直線48等于直線C￡>；

④以某定點(diǎn)為圓心，以固定的長為半徑畫圓弧.

【課本呈現(xiàn)】

已知：NAOB.

求作：NA08的平分線.

作法：（1）以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)、N.

一MNi

(2)分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于2的長為半徑畫弧，兩弧在的

內(nèi)部相交于點(diǎn)C

畫射線0C,射線OC即為所求.

【小試牛刀】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，在0408上分別截取0M,0N,使0M=0N,并將兩

個(gè)完全相同的直角三角尺按如圖1所示的樣子擺放，也可以得到。尸為N4O8的平分線，

你認(rèn)為這種做法正確嗎？請說明理由.

【問題解決】如圖2,./3C是邊長為2的等邊三角形，直線1經(jīng)過頂點(diǎn)A,且與邊BC

平行，僅用尺規(guī)在直線1上找出點(diǎn)P,使得NAPC=3NACB,并直接寫出8P的長度(保

留作圖痕跡，不寫作法).

【答案】回顧復(fù)習(xí)：②④；小試牛刀：這種做法正確，理由見解析；問題解決：2或2⑺

【分析】回顧復(fù):習(xí)：根據(jù)直線和射線的定義可知，延長射線和直線是沒有長度的，可得

①③不正確；作線段等于已知線段，和已知定點(diǎn)和定長作圓都屬于基本作圖，故②?正

確；

小試牛刀：由題意可知：NONP=/OMP=90。.0P=0P,0N=0M,所以RtZ\QVP

0RtOMP,可得NN0P=NM。尸即可說明OP為NAOB的平分線是正確的；

問題解決：由△ABC為等邊三角形，BC〃《可知A8=3C=AC=2,ZBAC=AABC=

/及%=/?！?60。，分點(diǎn)P在<的位置上和點(diǎn)尸在g的位置上兩種情況進(jìn)行討論.①

當(dāng)點(diǎn)尸在A的位置上時(shí)，易證△力陰是等邊三角形，即可求解；②當(dāng)P在巴的位置

時(shí)，過點(diǎn)8作8￡_L優(yōu)于點(diǎn)七，可得/BE4=90。，ZABE=30°,AE=-AB=\

2f

BE=ABgsNAB—，進(jìn)而知/管C=30。，再求得用=花+能=5,在M△吵中,

根據(jù)勾股定理可求86的值.

【詳解】解：回顧復(fù)習(xí)②④，

小試牛刀：這種做法正確.理由如下：

由題意可知：NONP=NOMP=90°.

"：OP=OP,ON=OM,ARtAO/VP^RtOMP.

，ZNOP=ZMOP.

???0P為NAO8的平分線.

:△ABC為等邊三角形，BC///,

???AB=BC=AC=2,ZBAC=NABC=/BAP、=Z.CAP2=60°

①當(dāng)點(diǎn)尸在R的位置上時(shí)，由作圖可知管=/=2

:.AB=AP

:ZBP\是等邊三角形

ABP=AP=2；

②當(dāng)P在尸2的位置時(shí)，過點(diǎn)8作施_L優(yōu)于點(diǎn)日如圖,

則NBE4=90。，ZA5E=30°

AAE=|AB=l,BE=AB^,osZ.ABE=4i

：.AP=AC

:.4片。=30°

由作圖過程可知印=%

???/優(yōu)。=N4gC=30。

:.ZACP2=180°-Z-ZAP2C=90°

AAP2=2AC=4

:.嗎"E+優(yōu)=5

在M△畛中，

BPfjBE?+EP；=2戈

綜上所述，BP的長度為2或2H.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角

三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟悉基本作圖，綜合運(yùn)用全等三角形的判定定

理和等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識.

67.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZACB=90°,0C=20B,tanNABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)

為(1,0).拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB

于點(diǎn)E,使PE=《DE.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使4ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所

有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)?P(-1,6),②存在，M(-1,3+而)或(-1,

13

3-JFT)或(-1,-1)或(?1,—).

【分析】(1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

(2)①先得AB的解析式為：y=-2x+2,根據(jù)PD_Lx軸，設(shè)P(x,-x2?3x+4),則E(x,

-2x+2),根據(jù)PE=^DE,列方程可得P的坐標(biāo)；

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AM,BM的長，分三種情況：AABM

為直角三角形時(shí)，分別以A、B、M為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐

標(biāo).

【詳解】解：(1)VB(1,0),AOB=1,

VOC=2OB=2,AC(-2,0),

RsABC中，tanNABC=2,

?AC.AC.A

??-----=29，.?-----=2，..ACR=u,

BC3

AA(-2,6),

J-4-2b+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得:

(—\+b+c=0

b=-3

解得:

c=4

，拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；

(2)①YA(-2,6),B(1,0),

，AB的解析式為：y=-2x+2,

設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,-2x+2),

VPE=-DE,

2

:,-x2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2),

2

Ax=-l或1(舍)，

???P(-1,6)；

②在直線PD上，且P(-l,6),

設(shè)M(-1,y),

VB(1,0),A(-2,6)

AAM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+6J45,

分三種情況：

i)當(dāng)NAMB=90。時(shí)，有AM2+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3±VTT,

/.M(-1,3+y/ll)或(?1,3?\f\l);

ii)當(dāng)NABM=90。時(shí)，有AB2+BM2=AM2,

/.45+4+y2=l+(y-6)2,y=-1,

AM(-1,-1),

iii)當(dāng)NBAM=90。時(shí)，有ANP+AB2=BM2,

/.1+(y-6)~+45=4+y2,

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為:???M（-1,3+而）或（-1,3-而）或（-1,-1）

或（7,y）.

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度

和勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的判定等知識.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程

思想與分類討論思想的應(yīng)用.

68.在中，AB=AC,點(diǎn)P在平面內(nèi)，連接八戶并將線段人。繞點(diǎn)人順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)與NB4c相等的角度，得到線段AQ,連接8Q.

（1）發(fā)現(xiàn)問題

如圖1,如果點(diǎn)尸是BC邊上任意一點(diǎn)，則線段8Q和線段PC的數(shù)量關(guān)系是

（2）類比探究

如圖2,如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由.請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明：

(3)遷移應(yīng)用

如圖3,在中，AC=2,48C=90。，NNCB=45。，尸是線段上的任意一點(diǎn).連

接A尸，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到線段AQ,連接8Q,試求線段8。

長度的最小值.

【答案】(1)BQ=PC；(2)8Q=PC依然成立，證明見解析；(3)線段的長度最

小值是0-1.

【分析】(1)根據(jù)SAS證△B&JgaCAP,即可得出8Q=PC；

(2)同(1)根據(jù)S4S證且△&!「，即可得出仇2=PC依然成立；

(3)在AC上取一點(diǎn)E,使AE=A8,根據(jù)SAS證即可得出8Q=PE,

再根據(jù)當(dāng)PE_LAC時(shí)，“最小，求出最小值即可.

【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)知：AQ=APf

,：ZPAQ=ZBAC,

:.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

9：AB=AC,

???△BAQgZXCA尸(SAS),

；?BQ=PC,

故答案為：BQ=PC；

(2)結(jié)論：8spe依然成立，

理由：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,

■:ZPAQ=ZBACf

：.ZEAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

???NB4e=NCAP,

'：AB=AC,

???△84。0△CAP(SAS),

：?BQ=PC；

(3)如圖3,在4c上取一點(diǎn)E,使AE=A8,連接尸E,過點(diǎn)E作ERL8C于F,

o

BPF

圖3

由旋轉(zhuǎn)知，AQ=APtN%Q=45。，

VZB4Q=ZBAC,

:.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAPt

在“80和"EP中，

AB=AE

<ZBAQ=ZCAPt

AQ=AP

???△A8"Z\AEP（SAS）,

:?BQ=EP,

要使BQ最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是8C上的動(dòng)點(diǎn)，

，當(dāng)E尸_LBC時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)尸重合時(shí)），EP最小,

在M"BC中，AG2,NA8O90。，NAC8=45。，

，AB=AC?sinNAC8=2xsin45o=正，

.*.AE=AB=yf2>

：.CE=AC-AE=2-42,

???七/三C￡?smNAC8=（2-&）x?=&-l,

2

故線段8。的長度最小值是

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線垂線段距離最短

等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

69.如圖，拋物線k-V+2X+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物

線的頂點(diǎn)，請解決下列問題.

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,0),當(dāng)最大時(shí)，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位

置；

(3)在(2)的條件下，將ABCP沿x軸的正方向平移得到ABCP,設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)C

的橫坐標(biāo)為t(其中0VIV6),在運(yùn)動(dòng)過程中△89?與4BCD重疊部分的面積為S,

求S與I之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)I為何值時(shí)S最大，最大值為多少？

S3

——r+60?</<)-,

A9