浙江省臺(tái)州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試題一（含解析）

浙江省臺(tái)州市2024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A．8 B．16 C．32 D．643．若方程表示橢圓，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．5．已知等比數(shù)列的公比為，若，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B．3 C．0或3 D．6．在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．在等差數(shù)列中，已知，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為（

）A．98 B．50 C．49 D．78．已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的下頂點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，直線過(guò)它的焦點(diǎn)且與交于Ax1,y1，Bx2,y2兩點(diǎn)，為弦A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．C．若，則D．若以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑10．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，的最小值為B．當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，的截面面積為C．當(dāng)，且時(shí)，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D．當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為.13．若在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，平面OMQ的一個(gè)法向量，則直線OP與平面OMQ所成角的大小為．14．若數(shù)列滿足，，則．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（本題滿分13分）已知直線，圓(1)若，求直線l截圓M所得的弦長(zhǎng);（6分）(2)已知直線l過(guò)定點(diǎn)若過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及該切線方程.（7分）16．（本題滿分15分）已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；（4分）(2)求平面與平面所成二面角的夾角的余弦值；（5分）(3)線段上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線與平面所成角正弦值，若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．（6分）17．（本題滿分15分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（5分）(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；（5分）(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求證：．（5分）18．（本題滿分17分）如圖，圓的半徑為是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；（5分）(2)過(guò)上的一點(diǎn)作的切線交圓于不同的兩點(diǎn).（6+6分）（i）探求點(diǎn)到點(diǎn)的距離是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求面積的最大值.19．（本題滿分17分）若項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)判斷數(shù)列，，，與數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（5分）(2)設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項(xiàng)，證明：一定是中的項(xiàng)；（5分）(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.（7分）浙江省臺(tái)州市高二期末模擬試題參考答案題號(hào)12345678910答案DCDABBCAABDCD題號(hào)11答案BD1．D【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，設(shè)傾斜角為，所以，故.故選：D.2．C【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知.故選：C3．D【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，且，解得.故選：D.4．A【詳解】.故選：A5．B【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所?故選：B6．B【詳解】以為原點(diǎn)，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，則，，，，所以，，所以，故與所成角的余弦值為.故選：B.7．C【詳解】令數(shù)列公差為，則，可得，所以，則，顯然時(shí)最大是.故選：C8．A【詳解】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.9．ABD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4所以，，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，得：，所以.故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：過(guò)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，因?yàn)?，所以，即：以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故D正確.故選：ABD10．CD【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，故A錯(cuò)誤，C、D正確；又，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；故選：CD11．BD【詳解】以為坐標(biāo)系原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，故，對(duì)于選項(xiàng)A，由題，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故在線段上，沿將平面翻折使得平面與平面處于同一平面內(nèi)（如圖所示），連接，易得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由題，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，如圖所示，則，又，所以，所以平面即為過(guò)點(diǎn)，，的截面，易知此截面為等腰梯形，如圖所示，其高為，故其面積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由空間向量基本定理可知，在平面內(nèi)，由上得，設(shè)平面的法向量為，則，取x=1，則，?則點(diǎn)到平面的距離為?，又，所以在平面以為半徑的圓上，由等面積法可知正的內(nèi)切圓半徑為，所以的軌跡為三段圓弧，其長(zhǎng)度一定小于圓的周長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由題，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故在上，故，故D正確.故選：BD.12．【詳解】設(shè)，，直線的斜率為，則.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，.聯(lián)立兩式相減得，即，所以，解得，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與橢圓有兩交點(diǎn)，故答案為：13．【詳解】由題設(shè)，且平面OMQ的一個(gè)法向量，令直線OP與平面OMQ所成角為，則，所以.故答案為：14．【詳解】因?yàn)棰?，所以②，②①得，，所以有，所以．故答案為?15．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線，圓M的圓心為，半徑為3，則圓心M到直線l的距離為，則直線l截圓M所得的弦長(zhǎng)為；（2）由得，所以定點(diǎn)，由題意得切線的斜率存在，則設(shè)切線的方程為，即，所以，解得，故所求切線方程為，即或16．【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又E、F分別是的中點(diǎn)，則，故平面；（2）取的中點(diǎn)O，連接，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法相向量為，則，即，令，則，故，又平面的法向量為，所以，所以平面與平面所成二面角的夾角的余弦值為；

（3）設(shè)，因?yàn)?，故，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角為正弦值，故，化簡(jiǎn)可得，解得或1，所以或.17．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，而，所以數(shù)列成首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1）知，，則，由，所以，則，設(shè)前n項(xiàng)和記為，所以①，則②，①②得，則，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（3）證明：由（2）知，，則，所以所以，因?yàn)?，所以?8．【詳解】（1）由題意可知：，則，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以曲線的方程為.（2）（i）聯(lián)立方程，消去可得，因?yàn)橹本€與曲線相切，則，整理可得，則原方程為，解得，將代入直線，可得，可知，且，則，為定值；（ii）由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，因?yàn)镺0,0到直線的距離，可得，因?yàn)?，則，可得，則面積，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值8.19．【詳解】（1）數(shù)列，，，，則，，，，，，，所以數(shù)列，，，具有性質(zhì)；數(shù)列，，，，，，都不是數(shù)列里的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，由，可得，即