高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《常用邏輯用語》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《常用邏輯用語》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定．一命題的概念概念使用語言、符號或者式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句特點(1)能判斷真假；(2)陳述句分類真命題、假命題二充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p三全稱量詞和存在量詞1．全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．2．存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．四全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)常/用/結(jié)/論1．設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分條件，則A?B；②若p是q的充分不必要條件，則AB；③若p是q的必要不充分條件，則BA；一個推理形式等價于3種不同敘述形式.如：p?q且q?/p.等價于：①p是q的充分不必要條件(或q的充分不必要條件是p);②q是p的必要不充分條件(或p的必要不充分條件是q);③AB．④若p是q的充要條件，則A＝B.2．p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)“p是q的充分不必要條件”等價于“q是p的必要不充分條件”．(√)(2)“菱形的邊長相等”是全稱量詞命題．(√)(3)已知集合A，B，“A∪B＝A∩B”的充要條件是“A＝B”．(√)(4)命題“?x∈R，sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)＝eq\f(3,2)”是真命題．()2．(多選)下列命題的否定中，是全稱量詞命題且為真命題的是()A．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＜0B．所有的正方形都是矩形C．?x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0解析：對于A，其否定為?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0，是全稱量詞命題，又x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0，所以為真命題，故符合題意；對于B，其否定為存在量詞命題，故不符合題意；對于C，其否定為全稱量詞命題，又x2＋2x＋2＞0，則原命題為假命題，即其否定為真命題，故符合題意；對于D，其否定為對于任意實數(shù)x，都有x3＋1≠0，而x＝－1時，x3＋1＝0，所以其否定不是真命題，故不符合題意．故選AC．答案：AC3．(1)“x＞0”是“x(x＋1)＞0”的________條件．(2)“|a|＞0”是“a＞0”的________條件．(3)“α＞β”是“sinα＞sinβ”的________條件．答案：(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要4．(2024·重慶南開中學(xué)模擬)若命題“?x∈[1,2]，2x＋x－a≤0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：因為?x∈[1,2]，2x＋x－a≤0，所以a≥(2x＋x)min，x∈[1,2]，顯然y＝2x＋x在x∈[1,2]上單調(diào)遞增，所以a≥21＋1＝3，即實數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)題型如何判斷充分、必要條件典例1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a＞b，q：a＞b－1；(2)p：a＞b，q：lga＞lgb；peq\o(?,/)q，原因在于沒有強(qiáng)調(diào)a，b的范圍．(3)p：a＞b，q：2a＞2b；指數(shù)函數(shù)的定義域為R，不必考慮a，b的范圍．(4)p：a＞b，q：a2＞b2.解：(1)p?q，qeq\o(?,/)p，∴p是q的充分不必要條件．(2)q?p，peq\o(?,/)q，∴p是q的必要不充分條件．(3)p?q，且q?p，∴p是q的充要條件．(4)peq\o(?,/)q，qeq\o(?,/)p，∴p是q的既不充分也不必要條件．判斷充分、必要條件的步驟(1)弄清條件p和結(jié)論q分別是什么．(2)嘗試p?q，q?p.充要條件可以融入數(shù)學(xué)各個分支，題型靈活多變，但萬變不離其宗，只要緊扣定義，結(jié)合其他知識，便可迎刃而解．對點練1設(shè)a∈R，則“a>0”是“a3>a2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：①當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，滿足“a>0”，但不滿足“a3>a2”，所以“a>0”不能推出“a3>a2”，故充分性不成立；②由a3>a2，解得a>1，因為“a>1”可以推出“a>0”，故必要性成立．綜上，可知“a>0”是“a3>a2”的必要不充分條件．故選B．答案：B典例2(2023·新高考全國Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則()本題考查了等差數(shù)列{an}及其衍生數(shù)列{Sn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的聯(lián)系．A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：方法一：甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)為常數(shù)，設(shè)為t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，此推導(dǎo)過程略顯繁瑣，等差數(shù)列的本質(zhì)可從各個方面體現(xiàn)出來．(1)通項公式為一次函數(shù)型.(2)前n項和為n的二次函數(shù)型且無常數(shù)項.兩式相減，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確．方法二：甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，則可設(shè)eq\f(Sn,n)＝an＋b，則有Sn＝an2＋bn，符合等差數(shù)列的特性．因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，從等差數(shù)列的定義出發(fā)，這樣設(shè)出公差．eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，當(dāng)n≥2時，上兩式相減，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝S1＋2(n－1)D，對n＝1也成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．故選C．充分、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷．(2)集合法：根據(jù)p，q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．對點練2(2023·全國甲卷，理)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件解析：當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即“sin2α＋sin2β＝1”推不出“sinα＋cosβ＝0”；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即“sinα＋cosβ＝0”能推出“sin2α＋sin2β＝1”．綜上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要條件但不是充分條件．故選B．答案：B題型利用充分、必要條件求參數(shù)典例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則m的取值范圍為________．解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則S?P，把充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，是此類題目的常規(guī)思路．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))解得0≤m≤3，故m的取值范圍為[0,3]．故答案為[0,3]．(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要條件，則PS，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，數(shù)形結(jié)合：S理解為以1為中心，到1的距離小于或等于m(m≥0)的閉區(qū)間，只有當(dāng)m≥9時，才把P全部包含進(jìn)來.這樣是不是更直觀呢？則m的取值范圍為[9，＋∞)．故答案為[9，＋∞)．本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵．對點練3已知p：實數(shù)m滿足3a＜m＜4a(a＞0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________．解析：由2－m＞m－1＞0，得1＜m＜eq\f(3,2)，即q：1＜m＜eq\f(3,2).因為p是q的充分條件．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥1，,4a≤\f(3,2)，))解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,8).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,8)))題型全稱量詞命題與存在量詞命題典例4下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷真假．(1)有的正方形不是矩形；“有的”屬于存在量詞．(2)?x∈R，x2＋2＞0；(3)?x∈Q，x2＝3.解：(1)存在量詞命題；假命題．(2)全稱量詞命題；由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命題“?x∈R，x2＋2＞0”是真命題．(3)存在量詞命題；由于使x2＝3成立的數(shù)只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數(shù)．因此，沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3.所以命題“?x∈Q，x2＝3”是假命題．判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路對點練4下列命題為真命題的是()A．?x∈R，ln(x2＋1)＜0B．?x＞2,2x＞x2C．?α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．?x∈(0，π)，sinx＞cosx解析：∵x2＋1≥1，∴l(xiāng)n(x2＋1)≥0，故A是假命題；當(dāng)x＝3時，23＜32，故B是假命題；當(dāng)α＝β＝0時，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命題；當(dāng)x＝eq\f(π,6)∈(0，π)時，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx＜cosx，故D是假命題．故選C．答案：C題型含量詞命題的否定典例5(1)(2024·湖南懷化模擬)命題“?x∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．?x∈N*，f(n)?N*且f(n)＞nB．?x∈N*，f(n)?N*或f(n)＞nC．?x∈N*，f(n)?N*且f(n)＞nD．?x∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n(2)若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx＜m”是假命題，則實數(shù)m的最大值為()也可以先將原命題當(dāng)作真命題來做：轉(zhuǎn)化為m＞(sinx)min.對于?x∈D，m＞f(x)則轉(zhuǎn)化為m＞f(x)max，而對于?x∈D，m＞f(x)則轉(zhuǎn)化為m＞f(x)min.A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：(1)寫全稱量詞命題的否定時，要把量詞?改為?，并且否定結(jié)論，注意把“且”改為“或”．故選D．(2)因為“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx＜m”是假命題，所以“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sinx”是真命題，即m≤sinx對于?x∈eq\b\lc\[\rc\](\