高考數(shù)學總復習《集合、常用邏輯用語》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學總復習《集合、常用邏輯用語》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________第1講集合復習要點1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義.3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.5.能使用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用．一集合與元素1．集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．2．元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．3．集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．4．常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR二集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素相同A?B且B?A?A＝B子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素A?B或B?A真子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集??A，?B(B≠?)三集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為UA圖形表示意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}常/用/結/論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，(2n－1)個真子集．非空子集有(2n－1)個，非空真子集有(2n－2)個．2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?UA?UB.3.U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)．這一結論稱為德·摩根定律，又叫反演律，可利用Venn圖解釋．4．集合中元素的個數(shù)：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．判斷下列結論是否正確．(1)集合{x∈N|x3＝2x}，用列舉法表示為{－eq\r(2)，0，eq\r(2)}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.()(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)2．設A，B，U均為非空集合，且滿足A?B?U，則下列各式中錯誤的是()A．(UA)∪B＝UB．(UA)∩(UB)＝UBC．A∩(UB)＝?D．(UA)∪(UB)＝U解析：A?B?U，則UB?UA，(UA)∪B＝U，選項A正確；(UA)∩(UB)＝UB，選項B正確；A∩(UB)＝?，選項C正確；(UA)∪(UB)＝UA≠U，所以選項D錯誤．故選D．答案：D3．(2023·全國甲卷，文)設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，則N∪UM＝()A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}解析：因為全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪UM＝{2,3,5}．故選A．答案：A4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為________．解析：集合A表示圓心在原點的單位圓上所有點的集合，集合B表示直線y＝x上所有點的集合，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，即有2個交點，故A∩B中有2個元素．答案：2題型集合基本概念的理解典例1(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝k＋eq\f(1,2)，k∈Z}，B＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(k,2)，k∈Z}，則A與B之間的關系是()A．A＝B B．ABC．BA D．無法比較(2)設集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3?A，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：(1)方法一(列舉法)：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2)，\f(5,2)，\f(7,2)，…))，列舉法形象、直觀.B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)，2，\f(5,2)，3，\f(7,2)，…)).顯然AB.方法二(描述法)：集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋eq\f(1,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝eq\f(2k＋1,2)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝eq\f(k,2)，k∈Z))))，2k＋1可以表示任意奇數(shù)，k可以表示任意整數(shù)，描述法抽象、概括.認真理解代數(shù)式的意義，以及內涵和外延．同學們應加強這方面的理解．故AB.故選B．(2)A＝{x|(x－a)2＜1}＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1＜x＜a＋1}．因為2∈A,3?A，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＜2，,a＋1＞2，,a＋1≤3，))解得1＜a≤2.故實數(shù)a的取值范圍是(1,2]．故答案為(1,2]．求解與集合中元素有關問題的關鍵點(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合．(2)集合元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．對點練1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4(2)(2024·湖南長沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一個元素，則實數(shù)a的值是()A．0B．4C．0或4D．不能確定解析：(1)因為A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，故選A．(2)當a＝0時，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，只有一個元素，滿足題意；當a≠0時，由集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一個元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.則a的值是0或4.故選C．答案：(1)A(2)C題型集合基本關系的分析典例2(1)若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，每當有此條件，不可忽視B＝?的特殊情形.當B＝?時，轉化為判別式Δ＜0.則實數(shù)m的取值范圍為________．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：(1)若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合題意；若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，代入求參后，回來再次確認條件B?A，這是個易錯點．不符合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2，2)．故答案為[－2,2)．(2)∵B?A，∴若B＝?，則2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))此三個不等式，學生易錯點在于第一個不等式容易遺漏.思維的完整性：既要考慮B＝?的情況，又要思考B≠?時應滿足的條件．解得2≤m≤3.故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．故答案為(－∞，3]．集合間的關系問題的注意點(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮是否存在空集的情勤思考，多練習這一特殊情形．況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，集合的包含關系，轉化為區(qū)間端點的大小關系，這是一個難點，主要是對端點值的取舍，尤其注意區(qū)別開區(qū)間和閉區(qū)間.例如：[－1,2)?(2a－3，a＋2]?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3＜－1，,a＋2≥2.))進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．求得參數(shù)后，可以把端點值代入進行驗證，以免增解或漏解．對點練2(1)(2023·新高考全國Ⅱ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1(2)設A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．①若a＝eq\f(1,5)，試判定集合A與B的關系；②若BA，求實數(shù)a組成的集合C.(1)解析：若a－2＝0，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合題意；若2a－2＝0，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合題意．綜上所述，a＝1.故選B．答案：B(2)解：①由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．若a＝eq\f(1,5)，由ax－1＝0，得eq\f(1,5)x－1＝0，即x＝5.∴B＝{5}．∴BA.②∵A＝{3,5}，又BA，故若B＝?，則方程ax－1＝0無解，有a＝0；若B≠?，則a≠0，由ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a).∴eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).故C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).題型集合基本運算的多維研討維度1集合的基本運算典例3(1)(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()兩集合的性質不同，M屬于離散集，N屬于連續(xù)集，高考有意這樣設計．A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}(2)已知集合M＝{x|y＝lg(4－x2)}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)))))，則如圖所示的Venn圖中陰影部分表示的集合為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))解析：(1)方法一：因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二：因為M＝{－2，－1,0,1,2}，將－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故選C．(2)由4－x2＞0得－2＜x＜2，所以M＝(－2,2)．由cosx≤eq\f(1,2)，得2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z)，坐標系中，快速求解三角不等式：如圖：可以寫出cosx＞a和cosx＜a的區(qū)域角.即“大于取右邊，小于取左邊”．所以N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))(k∈Z)．k＝－1時，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(π,3)))，k＝0時，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,3))).則M∩N＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))，所以Venn圖中陰影部分表示的集合為M(M∩N)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3))).故選C．集合基本運算的求解策略(1)當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算．(2)當集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解．對于端點處的取舍，可以單獨檢驗．對點練3(1)(2023·全國甲卷，理)設全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．?(2)(2023·全國乙卷，理)設集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．U(M∪N) B．N∪UMC．U(M∩N) D．M∪UN解析：(1)因為整數(shù)集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A．(2)由題意可得M∪N＝{x|x<2}，則U(M∪N)＝{x|x≥2}，選項A正確；UM＝{x|x≥1}，則N∪UM＝{x|x>－1}，選項B錯誤；M∩N＝{x|－1<x<1}，則U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，選項C錯誤；UN＝{x|x≤－1或x≥2}，則M∪UN＝{x|x<1或x≥2}，選項D錯誤．故選A．答案：(1)A(2)A維度2利用集合的運算求參數(shù)典例4(1)已知集合A＝{x|x2＋x－6＞0}，B＝{x|2a－1＜x＜a＋2}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1,3)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪(0,3)C．(－∞，－1)∪(0,3)D．(－∞，－2)∪(0,3)(2)已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三個集合至少有一個集合不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：(1)由題意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因為A∩B≠?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＜－3，,2a－1＜a＋2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＞2，,2a－1＜a＋2，))在B≠?的條件下，B的左端點落在(－∞，－3)內或者右端點落在(2，＋∞)內，仔細體會這個取并集的含義．解得a＜－1或0＜a＜3，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,3)．故選C．(2)假設三個集合都是空集，即三個方程均無實根，這種解法很妙，在于應用了補集思想.先計算命題的否定，即三個集合都是空集時對應a的范圍，再取其補集．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2)，))則－eq\r(2)<a<－1，∴當a≤－eq\r(2)或a≥－1時，三個方程至少有一個方程有實根，即三個集合至少有一個集合不是空集．故實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}．故答案為{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}．利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到．(2)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．(3)運用補集思想求參數(shù)取值范圍的步驟．第一步：把已知的條件否定，考慮反面問題．準確理解命題的否定敘述．第二步：求解反面問題對應的參數(shù)的取值范圍．第三步：求反面問題對應的參數(shù)的取值集合的補集．對點練4已知集合A＝{x|x＜－1或x≥0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(－1,0)解析：如圖，在數(shù)軸上表示出集合A，若A∪B＝R，則由圖易知a≤－1，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]，故選B．答案：B維度3集合新定義問題典例5(2024·名師原創(chuàng))對集合A，B，記A－B＝{x|x∈A且x?B}，定義A△B＝(A－B)∪(B－A)為A，B的對稱差集．若A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，y，|x|}，且A△B＝?，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)＋\f(1,y3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2020)＋\f(1,y2020)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2021)＋\f(1,y2021)))＝________.解析：依題意及Venn圖知，圖中左側陰影部分為A－B，右側陰影部分為B－A，兩陰影部分合起來就是A△B，因為A△B＝?，所以A＝B，根據(jù)說明A－B＝?且B－A＝?，故有A＝B．集合中元素的互異性，且結合集合B知，x≠0，y≠0，因為0∈B，且A＝B，所以0∈A，故只有l(wèi)g(xy)＝0，從而xy＝1，而1＝xy∈A，由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,|x|＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,y＝1，)