高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量的分布列.2.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.4.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．一離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．二離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)1．概念：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格表示(如下表)，還可以用圖形表示.Xx1x2…xnPp1p2…pn2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))pi＝1.三離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．四均值與方差的性質(zhì)1．E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．常/用/結(jié)/論均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.如何推導(dǎo)呢？D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(Xi－E(X))2pi＝eq\i\su(i＝1,n,X)eq\o\al(2,i)pi－2E(X)eq\i\su(i＝1,n,x)ipi＋eq\i\su(i＝1,n,E)2(X)pi＝E(X2)－2E2(X)＋E2(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(2)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(3)若隨機(jī)變量X的分布列如下，則X服從兩點(diǎn)分布.X25P0.30.7()(4)隨機(jī)變量的方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離均值的平均程度越?。?√)2．已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A．eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1解析：E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).答案：A3．(2024·重慶八中月考)設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ表示一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)＝()A．0 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：設(shè)P(ξ＝1)＝p，則P(ξ＝0)＝1－p.依題意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq\f(2,3)，故P(ξ＝0)＝1－p＝eq\f(1,3).答案：B4．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)則X的方差D(X)＝________.解析：由eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．∴X的分布列為X01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，則D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)

題型隨機(jī)變量的概念典例1寫(xiě)出下列隨機(jī)變量的可能取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所表示的意義．(1)一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)X；(2)投擲兩枚均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為可用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．X，所得點(diǎn)數(shù)的最大值為Y.解：(1)X可取0,1,2.X＝0表示所取的三個(gè)球沒(méi)有白球；X＝1表示所取的三個(gè)球是1個(gè)白球，2個(gè)黑球；X＝2表示所取的三個(gè)球是2個(gè)白球，1個(gè)黑球．(2)X的可能取值為2,3，…，12，Y的可能取值為1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投擲的兩枚均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；……X＝12表示(6,6)．Y＝1表示(1,1)；Y＝2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；Y＝3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；……Y＝6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．1．所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．2．寫(xiě)隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來(lái)表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值.對(duì)點(diǎn)練1(1)拋擲兩枚均勻的骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，則“ξ≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是()A．第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn)B．第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)C．第一枚2點(diǎn)，第二枚6點(diǎn)D．第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)(2)袋中有大小相同的紅球6個(gè)、白球5個(gè)，從袋中每次不放回地任意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，設(shè)所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7C．1,2，…，11 D．1,2,3，…解析：(2)紅球有6個(gè)，因此取到白球時(shí)取球次數(shù)最少為1次，最多為7次．故選B．答案：(1)D(2)B題型離散型隨機(jī)變量的分布列典例2(1)隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a由概率和為1可求出a＝eq\f(5,4).為常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<X<\f(13,4)))的值為()＝P(X＝2)＋P(X＝3)A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,16)(2)(2024·廣東茂名聯(lián)考)書(shū)法是我國(guó)及深受我國(guó)文化影響過(guò)的周邊國(guó)家和地區(qū)特有的一種文字美的藝術(shù)表現(xiàn)形式．某大學(xué)書(shū)法社團(tuán)在2022級(jí)新生中招收新團(tuán)員，通過(guò)楷書(shū)、隸書(shū)兩項(xiàng)書(shū)法技能測(cè)試進(jìn)行選拔，每項(xiàng)測(cè)試結(jié)果只有3種，分別是一等、二等、三等，結(jié)果為一等得3分、二等得1分、三等得0分．甲同學(xué)參加楷書(shū)測(cè)試結(jié)果為一等的概率為eq\f(1,2)，二等的概率為eq\f(1,3)；參加隸書(shū)測(cè)試結(jié)果為一等的概率為eq\f(1,5)，二等的概率為eq\f(3,5)，兩項(xiàng)測(cè)試互不影響．兩項(xiàng)測(cè)試結(jié)束后，甲同學(xué)得分說(shuō)明兩項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立．之和為ξ.①求甲同學(xué)參加楷書(shū)、隸書(shū)兩項(xiàng)書(shū)法技能測(cè)試，恰有一次為三等的概率；②求ξ的分布列．(1)解析：∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<X<\f(13,4)))＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,12)＝eq\f(5,16).故選D．(2)解：①記Ai為事件“甲同學(xué)參加楷書(shū)測(cè)試的得分為i分(i＝0,1,3)”，則P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；記Bi為事件“甲同學(xué)參加隸書(shū)測(cè)試的得分為i分(i＝0,1,3)”，則P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).記D為事件“甲同學(xué)參加楷書(shū)、隸書(shū)兩項(xiàng)書(shū)法技能測(cè)試，恰有一次為三等”．由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得乘法加法P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10).所以甲同學(xué)參加楷書(shū)、隸書(shū)兩項(xiàng)書(shū)法技能測(cè)試，恰有一次為三等的概率為eq\f(3,10).②由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30)，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,10).可得隨機(jī)變量ξ的分布列為寫(xiě)出分布列后一定要驗(yàn)證概率和是不是1.ξ012346Peq\f(1,30)eq\f(1,6)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(11,30)eq\f(1,10)離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．(2)求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率時(shí)，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．對(duì)點(diǎn)練2(1)某電話亭中裝有一部公用電話，在觀察使用這部電話的人數(shù)時(shí)，設(shè)在某一時(shí)刻，有n個(gè)人正在使用電話或等待使用的概率為P(n)，P(n)與時(shí)刻t無(wú)關(guān)，統(tǒng)計(jì)得到：P(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n·P00≤n≤5，,0n≥6，))那么在某一時(shí)刻，這個(gè)電話亭一個(gè)人也沒(méi)有的概率P(0)的值為()A．eq\f(32,63)B．eq\f(32,65)C．eq\f(31,63)D．eq\f(32,53)(2)為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類(lèi)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫(xiě)有“廚余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫(xiě)有一種垃圾的名稱．每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取20張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中．按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放錯(cuò)誤得0分．從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖：①分別求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]內(nèi)的人數(shù)；②從所抽取的20人中得分落在[0,40]的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過(guò)20分的人數(shù)，求X的分布列．(1)解析：由P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，得P(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋\f(1,16)＋\f(1,32)))＝1，解得P(0)＝eq\f(32,63).故選A．答案：A(2)解：①由題意知，所抽取的20人中得分落在[0,20]內(nèi)的人數(shù)有0.0050×20×20＝2(人)，得分落在(20,40]內(nèi)的人數(shù)有0.0075×20×20＝3(人)．因此，所抽取的20人中得分落在[0,20]內(nèi)的人數(shù)有2人，得分落在(20,40]內(nèi)的人數(shù)有3人．②由題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)題型離散型隨機(jī)變量的均值與方差典例3(1)(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8直接應(yīng)用E(X)，D(X)的公式即可．D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2利用期望方差的性質(zhì)：E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)．(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.①求第2次投籃的人是乙的概率；②求第i次投籃的人是甲的概率；③已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,X)i))＝eq\i\su(i＝1,n,q)i.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．(1)解析：因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確．故選ACD．(2)解：①記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.②設(shè)P(Ai)＝pi，依題可知P(Bi)＝1－pi，2．求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法(1)寫(xiě)出X的分布列．(2)由均值的定義求E(X)．(3)由方差的定義求D(X).對(duì)點(diǎn)練3(1)(2024·山東東營(yíng)高二期末)設(shè)0<m<1，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0m1Peq\f(a,3)eq\f(1,3)eq\f(2a－1,3)則當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí)()A．D(ξ)單調(diào)遞增，最大值為eq\f(1,2)B．D(ξ)先增后減，最大值為eq\f(1,3)C．D(ξ)單調(diào)遞減，最小值為eq\f(2,9)D．D(ξ)先減后增，最小值為eq\f(1,6)(2)(2024·山西運(yùn)城模擬)為增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)意識(shí)和凝聚力，某學(xué)校高二年級(jí)組織舉辦了“中國(guó)國(guó)情和當(dāng)今世界局勢(shì)”的知識(shí)對(duì)抗競(jìng)賽，主要是加深學(xué)生對(duì)新中國(guó)成立以來(lái)我國(guó)在經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技創(chuàng)新、精神文明建設(shè)等方面取得的成就和最新世界經(jīng)濟(jì)、政治時(shí)事的了解．組織者按班級(jí)將參賽人員隨機(jī)分為若干組，每組均為兩位選手．每組對(duì)抗賽開(kāi)始時(shí)，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等．比賽得分規(guī)則為：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分；選手搶到試題但回答錯(cuò)誤或沒(méi)有回答得0分，對(duì)方選手得5分；2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲、乙兩位選手被分在同一組進(jìn)行對(duì)抗賽，每道試題甲回答正確的概率為eq\f(2,3)，乙回答正確的概率為eq\f(4,5)，兩位選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立.2道試題搶答后的各自得分作為兩位選手的個(gè)人總得分．①求乙的總得分為10分的概率；②記X為甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(1)解析：由題知eq\f(a,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2a－1,3)＝1，解得a＝1，所以E(ξ)＝0＋eq\f(m,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(m＋1,3)，所以D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(m＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m＋1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)(m2－m＋1)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，D(ξ)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞增，所以當(dāng)m＝eq\f(1,2)時(shí)，D(ξ)有最小值eq\f(1,6).故選D．答案：D(2)解：①由題意知，乙得10分的樣本點(diǎn)有乙搶到2題且1道回答正確、1道回答錯(cuò)誤或沒(méi)有回答，甲、乙各搶到1題且都回答正確，甲搶到2題都回答錯(cuò)誤或沒(méi)有回答，所以乙的總得分為10分的概率P＝2×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(337,900).②由題意得，甲的總得分X的可能取值為0,5,10,15,20，P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(289,900)；P(X＝5)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(17,150)；P(X＝10)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(349,900)；P(X＝15)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,15)；P(X＝20)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).X的分布列為X05101520Peq\f(289,900)eq\f(17,150)eq\f(349,900)eq\f(1,15)eq\f(1,9)所以E(X)＝0×eq\f(289,900)＋5×eq\f(17,150)＋10×eq\f(349,900)＋15×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,9)＝eq\f(23,3).題型決策問(wèn)題典例4(2024·河北保定期末)某車(chē)間打算購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買(mǎi)這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)100元．在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購(gòu)買(mǎi)該零件，價(jià)格為每個(gè)300元．在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)m的分布列為m567P0.30.50.2X表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，n代表在購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件的個(gè)數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問(wèn)在n＝11和n＝12中，應(yīng)選哪一個(gè)？分別求出n＝11，n＝12時(shí)購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用的期望，選較小者．解：(1)X的可能取值為10,11,12,13,14，P(X＝10)＝0.3×0.3＝0.09，P(X＝11)＝2×0.3×0.5＝0.3，P(X＝12)＝2×0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，P(X＝13)＝2×0.5×0.2＝0.2，P(X＝14)＝0.2×0.2＝0.04，則X的分布列為X1011121314P0.090.30.370.20.04(2)記Y1為當(dāng)n＝11時(shí)購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用，P(Y1＝1100元)＝P(X≤11)＝0.39，P(Y1＝1400元)＝P(X＝12)＝0.37，所需費(fèi)用取決于更換的零件個(gè)數(shù)，可利用X的分布列作答．P(Y1＝1700元)＝P(X＝13)＝0.2，P(Y1＝2000元)＝P(X＝14)＝0.04，E(Y1)＝1100×0.39＋1400×0.37＋1700×0.2＋2000×0.04＝1367(元)．記Y2為當(dāng)n＝12時(shí)購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用，P(Y2＝1200元)＝P(X≤12)＝0.76，P(Y2＝1500元)＝P(X＝13)＝0.2，P(Y2＝1800元)＝P(X＝14)＝0.04，E(Y2)＝1200×0.76＋1500×0.2＋1800×0.04＝1284(元)，顯然E(Y1)>E(Y2)，所以應(yīng)選擇n＝12.隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差決定.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對(duì)點(diǎn)練4(2024·廣西南寧模擬)在某次現(xiàn)場(chǎng)招聘會(huì)上，某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答．假設(shè)甲能答對(duì)的題目有4道，乙每道題目能答對(duì)的概率為eq\f(2,3).(1)求甲在第一次答錯(cuò)的情況下，第二次和第三次均答對(duì)的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙誰(shuí)被錄用的可能性更大？解：(1)記“甲第一次答錯(cuò)”為事件A，“甲第