高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.理解平面向量的基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．一平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．若e1，e2互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底；若e1，e2分別為與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，則稱這個(gè)基底為單位正交基底．二平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，取{i，j}作為基底，對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).四平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?x1y2－x2y1＝0；(2)若a≠0，則與a平行的單位向量為±eq\f(a,|a|).常/用/結(jié)/論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).eq\o(OG,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))，你知道如何證明這個(gè)線性表達(dá)式嗎？1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)在△ABC中，{Aeq\o(B,\s\up15(→))，Ceq\o(A,\s\up15(→))}可以作為基底．(√)(2)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換，其坐標(biāo)不變．(√)(3)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2且μ1＝μ2.(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：因?yàn)閍＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1，1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1,2)．答案：D3．(2024·湖北宜昌階段練習(xí))已知向量a，b，c在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底{a，b}表示c，則()A．c＝－2a＋3b B．c＝2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，b＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，c＝(7,1)－(0,4)＝(7，－3)．設(shè)c＝xa＋yb，則(7，－3)＝x(1,1)＋y(－2，3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝x－2y，,－3＝x＋3y，))解得x＝3，y＝－2，故c＝3a－2b.故選D.答案：D4．(2024·廣西梧州摸底)已知{e1，e2}是表示平面α內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.解析：因?yàn)閏＝λa＋μb＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2，又因?yàn)閏＝2e1＋3e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋3μ＝2，,λ－2μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝－\f(1,5)，,λ＝\f(13,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)題型平面向量基本定理的應(yīng)用典例1(1)已知{e1，e2}是表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，不能組成一個(gè)基底的是()共線的一組不可作基底，判斷系數(shù)是否對(duì)應(yīng)成比例即可．A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2(2)(2024·廣東清遠(yuǎn)月考)如圖所示，已知在△OBC中，A是BC的中點(diǎn)，D是將eq\o(OB,\s\up15(→))分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b.①用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))；②若eq\o(OE,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．(1)解析：因?yàn)?e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2與4e2－6e1共線，又因?yàn)榻M成一個(gè)基底的兩個(gè)向量一定不共線，所以它們不能組成一個(gè)基底．故選B.(2)解：①依題意，A是BC的中點(diǎn)，∴2eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，即eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝2a－b.eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up15(→))向量減法，向基底靠攏．＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.②∵eq\o(OE,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，∴eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up15(→))與eq\o(DC,\s\up15(→))共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使eq\o(CE,\s\up15(→))＝keq\o(DC,\s\up15(→))，E為eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))的交點(diǎn).設(shè)eq\o(OE,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，則eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))＝eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)λeq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up15(→)).利用D，E，C三點(diǎn)共線列方程eq\f(3,4)λ＋eq\f(λ,2)＝1，可求λ的值．即(λ－2)a＋b＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－2＝2k，,1＝－\f(5,3)k，))解得λ＝eq\f(4,5).應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)所求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對(duì)點(diǎn)練1(2024·新疆昌吉模擬)如圖，在△ABC中，D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且3Aeq\o(F,\s\up15(→))＝Feq\o(B,\s\up15(→))，若M是△AFE(不含邊界)內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足Deq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋keq\o(DE,\s\up15(→))，則k的取值范圍為________．解析：如圖，分別取BD，AE的中點(diǎn)G，N，連接GN交EF于H，∵D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，∴DE∥AB∥GN，∵Deq\o(M,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋keq\o(DE,\s\up15(→))＝Deq\o(G,\s\up15(→))＋keq\o(DE,\s\up15(→))，∴keq\o(DE,\s\up15(→))＝Deq\o(M,\s\up15(→))－Deq\o(G,\s\up15(→))＝Geq\o(M,\s\up15(→))，則M在線段HN(不含端點(diǎn))上．∵GN＝eq\f(DE＋AB,2)＝eq\f(3,4)AB，HN＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(1,8)AB，∴GH＝GN－HN＝eq\f(5,8)AB，則Deq\o(H,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋Geq\o(H,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(5,8)Beq\o(A,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(5,4)Deq\o(E,\s\up15(→))，同理，Deq\o(N,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋Geq\o(N,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(3,4)Beq\o(A,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Deq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(3,2)Deq\o(E,\s\up15(→))，∴eq\f(5,4)<k<eq\f(3,2).即k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))題型平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例2(1)已知A(－2,5)，B(10，－3)，點(diǎn)P在直線AB上，且Peq\o(A,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)Peq\o(B,\s\up15(→))，則點(diǎn)P的由線性關(guān)系，轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)運(yùn)算．坐標(biāo)是()A．(－8,9) B．(1,3)C．(－1，－3) D．(8，－9)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若Ceq\o(A,\s\up15(→))＝λeq\o(CE,\s\up15(→))＋μeq\o(DB,\s\up15(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()題目中有明顯的垂直關(guān)系，坐標(biāo)法較簡(jiǎn)捷，不費(fèi)腦筋．A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C．2 D.eq\f(8,3)解析：(1)設(shè)P(x，y)，因?yàn)锳(－2,5)，B(10，－3)，點(diǎn)P在直線AB上，所以Peq\o(A,\s\up15(→))＝(－2－x,5－y)，Peq\o(B,\s\up15(→))＝(10－x，－3－y)．因?yàn)镻eq\o(A,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)Peq\o(B,\s\up15(→))，向量相等，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等．則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－x＝－\f(1,3)10－x，,5－y＝－\f(1,3)－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以P(1,3)．故選B.(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1，2)，E(0,1)，∴Ceq\o(A,\s\up15(→))＝(－2,2)，Ceq\o(E,\s\up15(→))＝(－2,1)，Deq\o(B,\s\up15(→))＝(1,2)，∵Ceq\o(A,\s\up15(→))＝λeq\o(CE,\s\up15(→))＋μeq\o(DB,\s\up15(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，建立坐標(biāo)方程．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).故選B.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對(duì)點(diǎn)練2(2024·山東煙臺(tái)模擬)如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，則2x＋2y的最大值為()A.eq\f(8,3) B．2C.eq\f(4,3) D．1解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O且平行于AB的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由已知可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，eq\f(2\r(3),3)為半徑的圓上，∴可設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)cosθ，\f(2\r(3),3)sinθ))，則eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)cosθ＋1，\f(2\r(3),3)sinθ＋\f(\r(3),3)))，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝(1，eq\r(3))，由eq\o(AP,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，可得2x＋y＝eq\f(2\r(3),3)cosθ＋1，eq\r(3)y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ＋eq\f(\r(3),3)，∴2x＋2y＝eq\f(2\r(3),3)cosθ＋1＋eq\f(2,3)sinθ＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋eq\f(4,3)，∴當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，2x＋2y取得最大值eq\f(8,3).故選A.答案：A題型向量共線的坐標(biāo)表示與應(yīng)用典例3(2024·湖北宜昌模擬)已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m>0，n>0，若a∥b，條件轉(zhuǎn)化為方程再應(yīng)用常數(shù)代換法，由基本不等式求最值．則eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)的最小值為________．解析：∵a∥b，∴4－n－2m＝0，即2m＋n＝4.∵m>0，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(8,n)＝eq\f(1,4)(2m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(8,n)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(n,m)＋\f(16m,n)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(