高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.了解弦長(zhǎng)最值、軌跡問(wèn)題的解法．一直線被圓截得的弦長(zhǎng)1．幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).2．代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).二圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|常/用/結(jié)/論過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若兩圓相切，則有且只有一條公切線．()(2)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．(√)(3)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．()(4)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．()2．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________.解析：兩圓的圓心距d＝eq\r(－42＋a2)，由兩圓相切(外切或內(nèi)切)，得eq\r(－42＋a2)＝5＋1或eq\r(－42＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq\r(5)或a＝0.答案：±2eq\r(5)或03．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))易得兩圓公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2)，則所求弦長(zhǎng)為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)題型圓與圓的位置關(guān)系典例1已知圓M：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圓N：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？d＝R1＋R2(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切，此時(shí)公切線方程是什么？d＝|R1－R2|僅有1條，且與兩圓心連線垂直．(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．由兩圓方程相減即可求得．利用其中一個(gè)圓中的直角三角形即可，半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形．解：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m)，則m<61.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓M的半徑eq\r(11)小于兩圓圓心間的距離，故只有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).因?yàn)閗MN＝eq\f(6－3,5－1)＝eq\f(3,4)，所以?xún)蓤A的公切線的斜率是－eq\f(4,3).設(shè)切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，則有eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×1＋3－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1))＝eq\r(11)，解得b＝eq\f(13,3)±eq\f(5\r(11),3).容易驗(yàn)證，當(dāng)b＝eq\f(13,3)＋eq\f(5\r(11),3)時(shí)，直線與圓N相交，舍去．故所求公切線方程y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(13,3)－eq\f(5\r(11),3)，即4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長(zhǎng)為2×eq\r(\a\vs4\al(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2))＝2eq\r(7).1．判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系來(lái)判斷，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法兩圓公共弦長(zhǎng)，在其中一圓中，弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成兩圓方程相減，可求出公共弦所在的直線．直角三角形，利用勾股定理求解.對(duì)點(diǎn)練1(1)(2024·河南鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)調(diào)研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為()A．2B．4C．8D．9(2)(多選)(2024·湖北武漢模擬)已知圓O：x2＋y2＝9，點(diǎn)P(a，b)在圓O外，以線段OP為直徑作圓M，與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則()A．直線PA，PB均與圓O相切B．當(dāng)|PA|＝|PB|＝4時(shí)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝5上運(yùn)動(dòng)C．當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時(shí)，點(diǎn)M在圓x2＋y2＝eq\f(9,2)上運(yùn)動(dòng)D．若a＝4，b＝－2，則直線AB的方程為4x－2y－9＝0解析：(1)由題意，可知圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以?xún)蓤A內(nèi)切，所以eq\r(－2a－02＋0－b2)＝2－1，即4a2＋b2＝1.所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(4a2＋b2)＝5＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥5＋2eq\r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b2,a2)＝eq\f(4a2,b2)，且4a2＋b2＝1，即a2＝eq\f(1,6)，b2＝eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為9.故選D.(2)由于OP為直徑，則∠OAP＝∠OBP＝90°，所以直線PA，PB均與圓O相切，A正確；當(dāng)|PA|＝|PB|＝4時(shí)，因?yàn)閨OA|＝|OB|＝3，∠OAP＝∠OBP＝90°，則|OP|＝5，所以點(diǎn)P在圓x2＋y2＝25上運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時(shí)，|OA|＝|OB|＝3，則圓M的半徑為eq\f(3\r(,2),2)，所以點(diǎn)M在圓x2＋y2＝eq\f(9,2)上運(yùn)動(dòng)，C正確；若a＝4，b＝－2，則點(diǎn)M(2，－1)，圓M：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，又圓O：x2＋y2＝9，將這兩圓的方程兩端分別相減并整理，得直線AB的方程為4x－2y－9＝0，D正確．故選ACD.答案：(1)D(2)ACD題型弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)問(wèn)題典例2圓x2＋y2＝8內(nèi)有一點(diǎn)P(－1,2)，過(guò)點(diǎn)P的直線l的傾斜角為α，直線l交圓于A，B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)α＝eq\f(3π,4)時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程．方法一：可知OP⊥AB?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kl＝\f(1,2)，,l過(guò)P－1，2))?l.方法二：“點(diǎn)差法”．解：(1)當(dāng)α＝eq\f(3π,4)時(shí)，kAB＝－1，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.故圓心(0,0)到AB的距離d＝eq\f(|0＋0－1|,\r(,2))＝eq\f(\r(,2),2)，從而弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(,8－\f(1,2))＝eq\r(,30).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝8，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝8，))兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－可得斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式．y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2).∴直線l的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.在研究弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．1．求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何法：直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋d2.(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(,1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(,1＋k2)·eq\r(,x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))·eq\r(,y1＋y22－4y1y2)(k≠0)．2．若弦AB的中點(diǎn)為(x0，y0)，圓的方程為x2＋y2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝r2，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝r2，))所以k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(x2＋x1,y2＋y1)＝－eq\f(x0,y0).對(duì)點(diǎn)練2(1)(多選)(2024·山東德州模擬)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度可能為()A．6B．8C．12D．16(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值________．解析：(1)因?yàn)橹本€y＝kx－1過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)(0，－1)，故圓C的圓心(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(0＋32＋－1－32)＝5.又圓C的半徑為6，故弦長(zhǎng)AB的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11).又當(dāng)直線y＝kx－1過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)AB取最大值為直徑12，故AB長(zhǎng)度的取值范圍為[2eq\r(11)，12]．結(jié)合各選項(xiàng)，故選BC.(2)設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，因?yàn)閐＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).故答案為2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個(gè)皆可)).答案：(1)BC(2)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個(gè)皆可))題型與圓有關(guān)的最值問(wèn)題典例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．雙變量的最值問(wèn)題：方法一(利用幾何意義)：(1)eq\f(y,x)→圓上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(2)y－x→令y－x＝b，則y＝x＋b，則b表示直線在y軸上的截距；(3)x2＋y2→圓上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)距離的平方．方法二(利用參數(shù)方程)：(2)(3)可利用圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))．解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(,3)為半徑的圓．(1)(斜率型)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(,k2＋1))＝eq\r(,3)，解得k＝±eq\r(,3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(,3)，最小值為－eq\r(,3).(2)(截距型)方法一：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(,2))＝eq\r(,3)，解得b＝－2±eq\r(,6).所以y－x的最大值為eq\r(,6)－2，最小值為－eq\r(,6)－2.方法二：設(shè)圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(,3)cosθ，,y＝\r(,3)sinθ，))0≤θ<2π，則y－x＝eq\r(,3)sinθ－eq\r(,3)cosθ－2＝eq\r(,6)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2，當(dāng)θ＝eq\f(3π,4)時(shí)，y－x取最大值eq\r(,6)－2，當(dāng)θ＝eq\f(7π,4)時(shí)，y－x取最小值－eq\r(,6)－2.(3)(距離型)方法一：x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(,2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(,3))2＝7＋4eq\r(,3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(,3))2＝7－4eq\r(,3).方法二：由(2)中方法二的參數(shù)方程可得x2＋y2＝(2＋eq\r(,3)cosθ)2＋(eq\r(,3)sinθ)2＝7＋4eq\r(,3)cosθ，從而得最大值為7＋4eq\r(,3)，最小值為7－4eq\r(,3).與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)題型(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最值問(wèn)題．對(duì)點(diǎn)練3(1)(多選)(2024·福建莆田模擬)已知直線l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)與圓C：x2＋y2＝1相切，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)b≥eq\f(1,2) B.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥4C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(1,2) D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤2eq\r(,2)(2)(多選)(2024·山西運(yùn)城調(diào)研)已知直線l：x－y＋5＝0，過(guò)直線上任意一點(diǎn)M作圓C：(x－3)2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有()A．|MA|的最小值為4eq\r(,2)－2B．不存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°C．當(dāng)|MC|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為x－2y－1＝0D．若圓C與x軸交點(diǎn)為P，Q，則eq\o(MP,\s\up16(→))·eq\o(MQ,\s\up16(→))的最小值為28解析：(1)依題意可得eq\f(1,\r(,a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1，所以ab≤eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)閑q\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))(a2＋b2)＝2＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(a2,b2)≥4，所以B正確；因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以C正確；因?yàn)閑q\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(,ab))≥eq\f(2,\r(,\f(1,2)))＝2eq\r(,2)，所以D錯(cuò)誤．故選BC.(2)由題知，圓C的圓心為(3,0)，半徑r＝2，對(duì)于A，因?yàn)閳A心(3,0)到直線l：x－y＋5＝0的距離d＝eq\f(8,\r(,2))＝4eq\r(,2)，所以|MC|min＝4eq\r(,2)，故|MA|min＝eq\r(,|MC|\o\al(2,min)－r2)＝2eq\r(,7)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°，則∠AMC＝30°，故在Rt△AMC中，|MC|＝2r＝4，由A選項(xiàng)知|MC|min＝4eq\r(,2)>4，故矛盾，即不存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°，故B正確；對(duì)于C，由于MC⊥AB，故四邊形MACB的面積S＝eq\f(1,2)|MC|·|AB|＝2S△MAC＝|MA|·r＝2|MA|，所以|MC|·|AB|＝4|MA|，故當(dāng)|MC|·|AB|最小時(shí)，|MA|最小，由A選項(xiàng)知|MA|min＝2eq\r(,7)，此時(shí)MC⊥l，l∥AB，即直線AB的斜率為1，由于直線x－2y－1＝0的斜率為eq\f(1,2)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨取P(1,0)，Q(5,0)，設(shè)M(x，x＋5)，則eq\o(MP,\s\up16(→))·eq\o(MQ,\s\up16(→))＝(1－x，－x－5)·(5－x，－x－5)＝(5－x)(1－x)＋(x＋5)2＝2x2＋4x＋30＝2(x＋1)2＋28≥28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立，故eq\o(MP,\s\up16(→))·eq\o(MQ,\s\up16(→))的最小值為28，故D正確．故選BD.答案：(1)BC(2)BD題型與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例4已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；相關(guān)點(diǎn)法．(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．設(shè)PQ中點(diǎn)N(x，y)，則|OP|2＝|ON|2＋|BN|2.解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所