高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正、余弦定理的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a，b，c成等比數(shù)列，且cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2).(1)求角A，B，C；(2)若b＝2，延長BC至點(diǎn)D，使△ABD的面積為eq\f(3\r(3),2)，求sin∠CAD．2．(2024·河北唐山模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，acosC＋eq\f(\r(3),3)a·sinC＝b.(1)求角A；(2)若點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC，且AD＝eq\f(\r(2),3)，求△ABC的周長．3．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C的大?。?2)若△ABC為銳角三角形，求eq\f(a,b)的取值范圍．4．(2024·江蘇南京師大附中測(cè)試)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足eq\f(2a,cosC)＝eq\f(b,cosB)＋eq\f(c,cosC).(1)求角B的大??；(2)若asinB＝12sinA，求△ABC面積的最大值．高分推薦題5．(2024·四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校月考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且5(sinA＋sinC)b＝12asinC．(1)若a＝2b－c，求cosB的值．(2)是否存在△ABC，滿足B為直角？若存在，求出△ABC的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a，b，c成等比數(shù)列，且cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2).(1)求角A，B，C；(2)若b＝2，延長BC至點(diǎn)D，使△ABD的面積為eq\f(3\r(3),2)，求sin∠CAD．解：(1)由A＋B＋C＝π，得A＋C＝π－B，∴cosB＝－cos(A＋C)，∴cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝eq\f(3,2)，∴sinAsinC＝eq\f(3,4).∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.∴sin2B＝sinAsinC＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).方法一：∵|cosB|＝eq\f(1,2).又∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立，∴cosB＝eq\f(1,2)，a＝c.∵0<B<π，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3).方法二：若B＝eq\f(π,3)，則cosB＝eq\f(1,2)，代入cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2)，得cos(A－C)＝1.∵0<A<π，0<C<π，∴A＝C＝eq\f(π,3).若B＝eq\f(2π,3)，則cosB＝－eq\f(1,2).代入cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2)，得cos(A－C)＝2(舍去)．綜上，A＝B＝C＝eq\f(π,3).(2)∵b＝2，∴AB＝2，∴S△ABD＝eq\f(1,2)·AB·BD·sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，即eq\f(1,2)×2×BD×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴BD＝3，∴CD＝1.在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠DCA＝22＋12－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7.∴AD＝eq\r(7).又由正弦定理，得eq\f(AD,sin\f(2π,3))＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴eq\f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(1,sin∠CAD).∴sin∠CAD＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(3),2\r(7))＝eq\f(\r(21),14).2．(2024·河北唐山模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，acosC＋eq\f(\r(3),3)a·sinC＝b.(1)求角A；(2)若點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC，且AD＝eq\f(\r(2),3)，求△ABC的周長．解：(1)由正弦定理得sinAcosC＋eq\f(\r(3),3)sinAsinC＝sinB，在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA，代入上式得eq\f(\r(3),3)sinAsinC＝sinCcosA，又sinC≠0，兩邊同時(shí)除以sinC，得tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)由題意得S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)AD·csin∠BAD＋eq\f(1,2)AD·bsin∠CAD，即eq\r(3)bc＝eq\f(\r(2),3)(b＋c)，①由余弦定理得4＝b2＋c2－bc，②由①②得(b＋c)2－eq\f(\r(,2),\r(,3))(b＋c)＝4，解得b＋c＝eq\r(6)(負(fù)值舍去)，所以△ABC的周長為eq\r(6)＋2.3．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C的大?。?2)若△ABC為銳角三角形，求eq\f(a,b)的取值范圍．解：(1)因?yàn)閍cosB＋bcosA＝2ccosC，所以由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC．因?yàn)锳＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC．因?yàn)?<C<π，所以sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由(1)知C＝eq\f(π,3)，所以A＝eq\f(2π,3)－B．因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<B<eq\f(π,2)且0<eq\f(2π,3)－B<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).由正弦定理，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B)),sinB)＝eq\f(\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB,sinB)＝eq\f(\r(3),2tanB)＋eq\f(1,2).因?yàn)閑q\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，所以tanB>eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<2，所以eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).4．(2024·江蘇南京師大附中測(cè)試)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足eq\f(2a,cosC)＝eq\f(b,cosB)＋eq\f(c,cosC).(1)求角B的大?。?2)若asinB＝12sinA，求△ABC面積的最大值．解：(1)由eq\f(2a,cosC)＝eq\f(b,cosB)＋eq\f(c,cosC)，得eq\f(2a－c,cosC)＝eq\f(b,cosB)，則(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，即2sinAcosB＝sin(C＋B)＝sinA，進(jìn)而得cosB＝eq\f(1,2)，由于B∈(0，π)，故B＝eq\f(π,3).(2)由asinB＝12sinA以及正弦定理，得ab＝12a?b＝12，由余弦定理得144＝a2＋c2－2accosB，進(jìn)而144＋ac＝a2＋c2，由均值不等式可得144＋ac＝a2＋c2≥2ac，解得ac≤144，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，故ac的最大值為144，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×144×eq\f(\r(,3),2)＝36eq\r(,3)，故△ABC面積的最大值為36eq\r(,3).高分推薦題5．(2024·四川成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校月考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且5(sinA＋sinC)b＝12asinC．(1)若a＝2b－c，求cosB的值．(2)是否存在△ABC，滿足B為直角？若存在，求出△ABC的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)因?yàn)閍＝2b－c，所以a＋c＝2b，又5(sinA＋sinC)b＝12asinC，由正弦定理得5(a＋c)b＝12ac，所以eq\f(b2,ac)＝eq\f(6,5)，所以由余弦定理得cosB＝eq\f(a＋c2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(3b2,2ac)－1＝eq\f(3,2)×eq\f(6,5)－1＝eq\f(4,5).(2)假設(shè)B為直角，則sinB＝1，sinC＝cosA，由題意結(jié)合正弦定理可得，(sinA