（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)12 橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）

第頁(yè)第12講橢圓方程及其性質(zhì)知識(shí)講解橢圓的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓中，，的基本關(guān)系橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)短軸短軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)焦點(diǎn)，，焦距焦距，半焦距對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心為離心率離心率對(duì)橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓通徑（過(guò)橢圓焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的直線截得的弦長(zhǎng)）通徑長(zhǎng)：，半通徑長(zhǎng)：橢圓中的兩個(gè)周長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)一、橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由方程的幾何意義及橢圓定義得出結(jié)果即可.【詳解】方程的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離和為10，并且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以?xún)蓚€(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為的橢圓，所以，，根據(jù)，所以橢圓方程為.故選：C.【變式1】的兩個(gè)頂點(diǎn)為,周長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）.A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意,可知點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和為10,故軌跡為橢圓,同時(shí)注意取值范圍.【詳解】由題知點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之和為10,故C的軌跡為以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓,.故.所以方程為.又故三點(diǎn)不能共線,所以故選A【變式2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓定義得，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.考點(diǎn)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】已知p：，q：表示橢圓，則p是q的（

）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由橢圓方程的定義化簡(jiǎn)命題，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分條件，故選：C.【變式3】已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（

）A．B．4C．D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，得到，即，求得，進(jìn)而求得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由橢圓，可得，因?yàn)槭菣E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，可得，即，可得，即，解得，所以，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是.故選：C.

【變式4】已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長(zhǎng)為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得，再由的周長(zhǎng)為16可得，解方程可求出，即可得出答案.【詳解】由題意，得，，，則直線的方程為，所以點(diǎn)A到直線的距離①．由的周長(zhǎng)為16，得，即a+c=8②，聯(lián)立①②，解得③．因?yàn)椋寓埽?lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.故選：B．考點(diǎn)三、橢圓的幾何性質(zhì)【例3】已知，是橢圓的上、下頂點(diǎn)，為的一個(gè)焦點(diǎn)，若的面積為，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3B．6C．9D．18【答案】B【分析】依題意可得且，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】由題可知，則，所以，所以，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故選：B【變式5】已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先設(shè)橢圓方程與直線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0求得和的關(guān)系式，同時(shí)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得半焦距得到和的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立方程即可求得和，則橢圓的長(zhǎng)軸可得．【詳解】設(shè)橢圓方程為，直線代入橢圓方程，消得：，，整理，得又，由焦點(diǎn)在軸上，所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；故選：C【變式6】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，則橢圓的焦距為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由且，得到為的中點(diǎn)，得出軸，進(jìn)而得到為等邊三角形，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)榍?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，軸，所以軸，所以為等邊三角形，所以，可得，解得，所以橢圓的焦距為.故選：A.

考點(diǎn)四、橢圓的離心率【例4】設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A【變式7】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意設(shè)，得到.根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：

設(shè)，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?在中，，解得，即，所以，即.所以，.故選：B【變式8】已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．考點(diǎn)五、橢圓中的最值問(wèn)題【例5】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【變式9】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7B．8C．9D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.【變式10】已知為橢圓上一點(diǎn)，若的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，，若的最小值為，則橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由得出，將最小值代入求解即可.【詳解】如圖，∵，∴，又∵，∴，即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，，此時(shí)的最小值，解得（舍）或，∴，∴橢圓的方程為.故選：B.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1.設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（

）A．1B．2C．D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得.【詳解】對(duì)于橢圓，有.因?yàn)?，所以，解得．故選：B2.已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截橢圓的弦長(zhǎng)為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)以及在橢圓上，即可求解的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當(dāng)時(shí)，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B3.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6B．12C．D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.4.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點(diǎn)在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.5.已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2B．C．D．3【答案】C【分析】由離心率公式先得，從而解決問(wèn)題.【詳解】由題意，，即，可得，則.故選：C6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A．B．C．4D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D7.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)角平分線定理可得，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得答案.【詳解】

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，又，由角平分線定理知，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段，則的內(nèi)切圓半徑等于.【答案】【分析】由已知條件表示出直線AB的方程，得到的面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓半徑乘以三角形周長(zhǎng)的一半等于三角形面積，結(jié)合離心率的值可得內(nèi)切圓半徑.【詳解】的周長(zhǎng)為，∵，∴到直線的距離，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，又，∵，，∴，故答案為：9.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．課后訓(xùn)練1.已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由兩圓外切和內(nèi)切，得出圓心距與兩圓的半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動(dòng)圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動(dòng)圓的圓心的軌跡，進(jìn)一步求出其方程.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為16的橢圓.則，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：故選：D2.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類(lèi)討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)求得橢圓的離心率.【詳解】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選：B

4.已知橢圓：，為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】由橢圓方程得的值，得左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得和的值，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，可求.【詳解】橢圓：中，，，，則，，所以，由，得，由，所以為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，所以．故答案為：.5.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【答案】1【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)槭菣E圓的左、右焦點(diǎn)，P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以.所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：16.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）解：依題意過(guò)點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.隨堂檢測(cè)1.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為的周長(zhǎng)為18，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用橢圓的定義得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓求解.【詳解】由題意得，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而．又三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)不在軸上，點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．2.“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓的條件求解.【詳解】方程表示橢圓，所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B.3.若橢圓的焦距大于，則m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由橢圓方程表示出焦距，解不等式即可.【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，若橢圓的焦距大于，則有，整理得，解得，故．故選：D4.已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得，且，再利用兩點(diǎn)距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點(diǎn)，則，且，又，，則由于，所以，于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.5.橢圓的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足，，若四邊形的周長(zhǎng)等于，則橢圓C的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)，，可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以且，且，所以四邊形的周長(zhǎng)為，又因點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以，所以，即，故橢圓C的離心率為.故選：C.

6.已知橢圓，，分別是的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)，在和在求出，的正切值，由兩角差的正切公式求出的正切值，結(jié)合題目條件得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示：

可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化簡(jiǎn)得：因?yàn)?，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故選：C.7.若，，點(diǎn)P到，的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是【答案】【分析】根據(jù)橢圓的第一定義，得到，得到，進(jìn)而計(jì)算求解，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：8.