2025屆江蘇省泰州市興化一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析2

2025屆江蘇省泰州市興化一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．如圖，在矩形中的曲線(xiàn)分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定3．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．5．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．26．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A． B．C． D．7．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．148．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．9．（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．12．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2，則14．若函數(shù)，則的值為_(kāi)_____.15．記復(fù)數(shù)z＝a+bi（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，已知z＝2+i，則_____．16．設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明.18．（12分）已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)，將射線(xiàn)繞極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)交曲線(xiàn)于點(diǎn).（1）求曲線(xiàn)的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值．20．（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A．B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1：A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1：B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請(qǐng)估計(jì)A．B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷(xiāo)毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤(rùn)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤(rùn)180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤(rùn)120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤(rùn)的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對(duì)哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？21．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長(zhǎng)為1，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且．（1）證明：直線(xiàn)與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的長(zhǎng)．22．（10分）已知矩陣，且二階矩陣M滿(mǎn)足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時(shí)，.由得.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)，則有，解得.所以當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.2、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題．3、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得.【詳解】解：依題：，又三點(diǎn)共線(xiàn)，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線(xiàn)定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.利用向量共線(xiàn)定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線(xiàn)的向量式參數(shù)方程：三點(diǎn)共線(xiàn)?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)4、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對(duì)取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值．【詳解】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．7、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.9、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因?yàn)?，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

通過(guò)列舉法可求解，如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí)，，但，故充分條件推不出；當(dāng)時(shí)，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14、【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力．15、3﹣4i【解析】

計(jì)算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再計(jì)算得到答案.【詳解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，則．故答案為：3﹣4i．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，令，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1），分，討論即可；（2）由題可得到，故只需證，，即，采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.【詳解】由已知，，若，則在定義域內(nèi)遞增；若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，對(duì)求導(dǎo)可得從而，是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因此下證：，即證令，即證：，對(duì)求導(dǎo)可得，，，因?yàn)楣剩栽谏蠁握{(diào)遞減，而，從而所以在單調(diào)遞增，所以，即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度的壓軸題.18、（1）；（2）.【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）令，然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】（1），，∴，又，∴切線(xiàn)方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又，∴恒成立，當(dāng)即時(shí)，使，∴在遞增，此時(shí)，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，第二問(wèn)的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)分類(lèi)討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.19、（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線(xiàn)的參數(shù)方程可得出曲線(xiàn)的參數(shù)方程；（2）將曲線(xiàn)的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程，得出和關(guān)于的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值．【詳解】（1）由于曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程得，化為極坐標(biāo)方程得，即，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問(wèn)題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類(lèi)型，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.20、（1）30.2，29；（2）B設(shè)備【解析】

（1）平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品，列出A、B設(shè)備利潤(rùn)分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)41640121810.根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.（2）A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為X，B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為Y，X240180120PY240180120P若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)作為決策依據(jù)，企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、離散隨機(jī)變量的期望，并利用期望作決