2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前請粘貼好條形碼，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分）．1.若表示不同的平面，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面與平面（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定【答案】A【解析】對于平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，因為，所以平行.又表示不同的平面，所以平面與平面平行.故選：A2.直線傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化為，斜率為，所以傾斜角為.故選:D.3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，設(shè)軍營所在區(qū)域為的圓心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標，的中點為，直線的斜率為1，故直線為，由，解得，，所以，故，故選：A.5.設(shè)為空間的一個標準正交基底，，，則等于（）A.7 B. C.23 D.11【答案】B【解析】因為為空間的一個標準正交基底，所以，所以．故選：B.6.若直線被圓所截得的弦長為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓是以為圓心，以為半徑圓，又直線被圓所截得的弦長為，直線過圓心，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最小值為，故選：C．7.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.8.已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為橢圓的方程為，所以橢圓的焦點坐標為，由題意，雙曲線C的焦點在軸上，且，設(shè)雙曲線C的方程為，則有，其漸近線方程為，即，又焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線C的方程為，故選：A.二、多選題（每小題5分）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長軸長是C.焦點在軸上 D.焦點坐標為(-1，0)，(1，0)【答案】AD【解析】將橢圓方程化為標準方程為所以該橢圓的焦點在軸上，故C錯誤；焦點坐標為，故D正確；長軸長是故B錯誤因為所以離心率故A正確.故選：AD.10.在正方體中，若為的中點，則與直線不垂直的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1.則，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴與不垂直的有、、，故選：ACD.11.已知點，，直線：（其中），若直線與線段有公共點，則直線的斜率的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BC【解析】由，得，因為，所以，解得，所以直線恒過定點，因為點，，直線與線段有公共點，所以直線的斜率滿足：，即，得，故選：BC12.如圖，正方體的棱長為2，動點P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（）A.直線BC與平面所成的角等于 B.點到平面的距離為C.異面直線和所成的角為. D.線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】由題意得：正方體的棱長為2對于選項A：連接，設(shè)交于O點平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對于選項B：連接，設(shè)交于O點平面點到平面的距離為,故B正確；對于選項C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形，故C錯誤；對于選項D：過作，過作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則直角三角形故當(dāng)時，取最小值，故，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13.已知，，且，則______，______.【答案】①②【解析】，，則，，由，可得，解之得.故答案為：；.14.若圓：與圓：相交于兩點，則公共弦的長為________．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15.已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的的距離為______.【答案】2【解析】由題可知點到平面的的距離即為在的投影，，，，，在的投影為，即點到平面的的距離為.故答案為：.16.已知雙曲線的右頂點為，若以點為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，點為坐標原點，且，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】如圖所示：取的中點，連接．則．由知，，又因為點到漸近線的距離，所以，即，又，代入化簡得，即，解得或（舍去），故．故答案為：四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17.已知空間三點，，，設(shè)，．（1）求；（2）與互相垂直，求實數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)，，所以．（2）由，，而，所以，可得或．18.直線經(jīng)過兩直線和的交點．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為，求直線的方程．解：（1）由，解得，所以兩直線和的交點為．當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點代入求得，可得的方程為．（2）斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直限的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線的方程為或．19.如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD1的中點，（1）求證：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．解：（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），則，設(shè)平面A1DE的法向量是則，取，∴所以CF∥平面A1DE．（2）是面A1DA的法向量，∴即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標系中，圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點和點.（1）求圓的標準方程；（2）求經(jīng)過點且與圓恰有1個公共點的直線的方程.解：（1）直線的斜率，中點坐標為，所以中垂線方程為，即，由得，圓心，所以，所以圓的標準方程為：.（2）當(dāng)該直線斜率不存在，即直線方程為時，成立，當(dāng)該直線斜率存在時，設(shè)其方程為：，即，因為該直線與圓恰有1個公共點，所以圓心到直線距離，得.所以切線方程為或.21.已知拋物線上的點M（5，m）到焦點F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l方程.解：（1）由題設(shè)，拋物線準線方程為，∴拋物線定義知：可得，故（2）由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點，∴，即故l22.如下圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于、兩點，且、、三點互不重合．（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，斜率之和為定值．解：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，又，，三點不重合，∴，設(shè)，，由得，所以，解得，，①，②設(shè)直線，的斜率分別為，，則（），分別將①②式代入（），得，所以，即直線，的斜率之和為定值．黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前請粘貼好條形碼，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.第I卷（選擇題）一、單選題（每小題5分）．1.若表示不同的平面，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面與平面（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定【答案】A【解析】對于平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，因為，所以平行.又表示不同的平面，所以平面與平面平行.故選：A2.直線傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化為，斜率為，所以傾斜角為.故選:D.3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，設(shè)軍營所在區(qū)域為的圓心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標，的中點為，直線的斜率為1，故直線為，由，解得，，所以，故，故選：A.5.設(shè)為空間的一個標準正交基底，，，則等于（）A.7 B. C.23 D.11【答案】B【解析】因為為空間的一個標準正交基底，所以，所以．故選：B.6.若直線被圓所截得的弦長為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓是以為圓心，以為半徑圓，又直線被圓所截得的弦長為，直線過圓心，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最小值為，故選：C．7.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.8.已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點，且焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為橢圓的方程為，所以橢圓的焦點坐標為，由題意，雙曲線C的焦點在軸上，且，設(shè)雙曲線C的方程為，則有，其漸近線方程為，即，又焦點到該雙曲線漸近線的距離等于1，則有，所以，所以雙曲線C的方程為，故選：A.二、多選題（每小題5分）9.關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A.離心率為 B.長軸長是C.焦點在軸上 D.焦點坐標為(-1，0)，(1，0)【答案】AD【解析】將橢圓方程化為標準方程為所以該橢圓的焦點在軸上，故C錯誤；焦點坐標為，故D正確；長軸長是故B錯誤因為所以離心率故A正確.故選：AD.10.在正方體中，若為的中點，則與直線不垂直的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1.則，，，，，，，∴，，，，.∵，，..∴與不垂直的有、、，故選：ACD.11.已知點，，直線：（其中），若直線與線段有公共點，則直線的斜率的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BC【解析】由，得，因為，所以，解得，所以直線恒過定點，因為點，，直線與線段有公共點，所以直線的斜率滿足：，即，得，故選：BC12.如圖，正方體的棱長為2，動點P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（）A.直線BC與平面所成的角等于 B.點到平面的距離為C.異面直線和所成的角為. D.線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】由題意得：正方體的棱長為2對于選項A：連接，設(shè)交于O點平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對于選項B：連接，設(shè)交于O點平面點到平面的距離為,故B正確；對于選項C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形，故C錯誤；對于選項D：過作，過作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時距離最??；設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則直角三角形故當(dāng)時，取最小值，故，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13.已知，，且，則______，______.【答案】①②【解析】，，則，，由，可得，解之得.故答案為：；.14.若圓：與圓：相交于兩點，則公共弦的長為________．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15.已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的的距離為______.【答案】2【解析】由題可知點到平面的的距離即為在的投影，，，，，在的投影為，即點到平面的的距離為.故答案為：.16.已知雙曲線的右頂點為，若以點為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，點為坐標原點，且，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】如圖所示：取的中點，連接．則．由知，，又因為點到漸近線的距離，所以，即，又，代入化簡得，即，解得或（舍去），故．故答案為：四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17.已知空間三點，，，設(shè)，．（1）求；（2）與互相垂直，求實數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)，，所以．（2）由，，而，所以，可得或．18.直線經(jīng)過兩直線和的交點．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點到直線的距離為，求直線的方程．解：（1）由，解得，所以兩直線和的交點為．當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點代入求得，可得的方程為．（2）斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直限的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線的方程為或．19.如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD1的中點，（1）求證：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．解：（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建