2023-2024學(xué)年湖南省婁底市新化縣高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率為，則由，知，即,故選:B．2.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.【答案】B【解析】由題設(shè)，故.故選：B3.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，，……故為周期數(shù)列，一個周期為3，故.故選：C4.如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若，則x+y+z等于（）A.﹣1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】，，∴x＝﹣1，y＝1，z＝，∴x+y+z＝故選：C．5.已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：D．6.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】.故選：D7.設(shè)點，拋物線上的點P到y(tǒng)軸的距離為d．若的最小值為2，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】拋物線，則焦點，準(zhǔn)線，最小時，即最小，根據(jù)拋物線的定義，，所以只需求的最小值即可，當(dāng)為線段與拋物線交點時，最小，且最小值為，解得.故選：D8.《推背圖》是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學(xué)家李淳風(fēng)和相士袁天罡推算大唐氣運而作，此著作對后世諸多事件都進行了準(zhǔn)確的預(yù)測推背圖以天干地支的名稱進行排列，共有60象，其中天干分別為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分別為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥該書第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類推2023年是“癸卯”年，也是毛澤東同志誕辰130周年，那么據(jù)此推算，毛澤東同志誕辰的年份是（）A.癸已年 B.癸丑年 C.辛丑年 D.辛卯年【答案】A【解析】依題意可知，天干的周期為10，地支的周期為12，因為，所以毛澤東同志誕辰的年份的天干也是癸；因為，所以毛澤東同志誕辰的年份的地支為巳，所以毛澤東同志誕辰的年份是“癸巳年”.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向B.空間向量不能比較大小，空間向量的?？梢员容^大小C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D.同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】BD【解析】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量不能比較大小，空間向量的模可以比較大小，B正確；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：BD.10.直線中，已知．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則實數(shù)對可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則，得，結(jié)合選項可知，滿足題意.故選：AC.11.已知曲線，則下列說法正確的為（）A.若該曲線是雙曲線方程，則，或B.若則該曲線為橢圓C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點在y軸上雙曲線，則離心率【答案】AD【解析】對于A，若該曲線是雙曲線方程，則,解得，或，A正確；對于B，當(dāng)時，曲線方程為，表示圓，B錯誤；對于C，若該曲線離心率為，則曲線表示橢圓，當(dāng)焦點在x軸上時，，解得，當(dāng)焦點在y軸上時，，解得，C錯誤；對于D，若該曲線為焦點在y軸上雙曲線，則，解得，，因為，則，所以，所以，D正確.故選：AD12.數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線D在平面直角坐標(biāo)系中的方程為．當(dāng)時，以下四個結(jié)論正確的是（）A.曲線D經(jīng)過第三象限B.曲線D關(guān)于直線軸對稱C.對任意，曲線D與直線一定有公共點D.對任意，曲線D與直線一定有公共點【答案】BD【解析】當(dāng)時，方程為，當(dāng)時，，故第三象限內(nèi)的點不可能在曲線上，故A錯誤；將點代入曲線方程得，故曲線關(guān)于直線對稱，故B正確；當(dāng)，聯(lián)立，其中，將代入得，即，則方程組無解，故曲線與直線無公共點，故C錯誤；聯(lián)立，得，設(shè)，，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則值域為，所以有解成立；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以成立，所以曲線與直線一定有公共點，故D正確.故答案為：BD第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過，兩點的直線的方程為___________.【答案】【解析】直線的斜率，所以直線方程為.故答案為：.14.已知向量，則______________.【答案】或【解析】，所以，解得或者，故答案為：或15.設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.16.斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時，．若，則的值為___________．【答案】【解析】由已知得，且，所以，，，，累加整理可得，又因為，即是該數(shù)列第項，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，其余各題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線經(jīng)過點．（1）若與直線：垂直，求的方程；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程．解：（1）由題可知，的斜率為，設(shè)的斜率為，因為，所以，則，又經(jīng)過點，所以的方程為，即；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，即經(jīng)過原點，設(shè)的方程為，將代入解析式得，解得，故的方程為，若在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，則設(shè)的方程為，由，得，故的方程為，綜上，的方程為或.18.已知圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點，且，求的值．解：（1）由，得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為．（2）由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．19.已知數(shù)列滿足.（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，又，故為等比數(shù)列，首項為1，公比為2；（2）由（1）可知，，故，，故，令①，則，其中②，①-②得，，故，.20.如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點，連接，分別為的中點，，且，又且，且，四邊形為平行四邊形，則，平面平面，平面．（2）取的中點，則．以為原點，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，．所以，設(shè)平面的法向量為．則即取，則．又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故與平面所成角的正弦值為．21.已知橢圓的一個焦點為，，，且．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于點．記和的面積分別為和．當(dāng)時，求直線的方程．解：（1）依題意，橢圓的半焦距，所以，解得．所以．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為．此時，或．所以，，即，不合題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為．由得．設(shè)，則，．因為，，所以．令，解得．所以直線的方程為，或．22.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意可知的定義域為，，令，得．當(dāng)時，時，，時；當(dāng)時，時，，時．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，則兩個零點一正一負，設(shè)其正零點為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍為．湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線斜率為，則由，知，即,故選:B．2.向量，，若，則（）A.， B.，C.， D.【答案】B【解析】由題設(shè)，故.故選：B3.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，，，……故為周期數(shù)列，一個周期為3，故.故選：C4.如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若，則x+y+z等于（）A.﹣1 B.0 C. D.1【答案】C【解析】，，∴x＝﹣1，y＝1，z＝，∴x+y+z＝故選：C．5.已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：D．6.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】.故選：D7.設(shè)點，拋物線上的點P到y(tǒng)軸的距離為d．若的最小值為2，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】拋物線，則焦點，準(zhǔn)線，最小時，即最小，根據(jù)拋物線的定義，，所以只需求的最小值即可，當(dāng)為線段與拋物線交點時，最小，且最小值為，解得.故選：D8.《推背圖》是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學(xué)家李淳風(fēng)和相士袁天罡推算大唐氣運而作，此著作對后世諸多事件都進行了準(zhǔn)確的預(yù)測推背圖以天干地支的名稱進行排列，共有60象，其中天干分別為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分別為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥該書第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類推2023年是“癸卯”年，也是毛澤東同志誕辰130周年，那么據(jù)此推算，毛澤東同志誕辰的年份是（）A.癸已年 B.癸丑年 C.辛丑年 D.辛卯年【答案】A【解析】依題意可知，天干的周期為10，地支的周期為12，因為，所以毛澤東同志誕辰的年份的天干也是癸；因為，所以毛澤東同志誕辰的年份的地支為巳，所以毛澤東同志誕辰的年份是“癸巳年”.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向B.空間向量不能比較大小，空間向量的?？梢员容^大小C.如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D.同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】BD【解析】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量不能比較大小，空間向量的?？梢员容^大小，B正確；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：BD.10.直線中，已知．若與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則實數(shù)對可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因為，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則，得，結(jié)合選項可知，滿足題意.故選：AC.11.已知曲線，則下列說法正確的為（）A.若該曲線是雙曲線方程，則，或B.若則該曲線為橢圓C.若該曲線離心率為，則D.若該曲線為焦點在y軸上雙曲線，則離心率【答案】AD【解析】對于A，若該曲線是雙曲線方程，則,解得，或，A正確；對于B，當(dāng)時，曲線方程為，表示圓，B錯誤；對于C，若該曲線離心率為，則曲線表示橢圓，當(dāng)焦點在x軸上時，，解得，當(dāng)焦點在y軸上時，，解得，C錯誤；對于D，若該曲線為焦點在y軸上雙曲線，則，解得，，因為，則，所以，所以，D正確.故選：AD12.數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線D在平面直角坐標(biāo)系中的方程為．當(dāng)時，以下四個結(jié)論正確的是（）A.曲線D經(jīng)過第三象限B.曲線D關(guān)于直線軸對稱C.對任意，曲線D與直線一定有公共點D.對任意，曲線D與直線一定有公共點【答案】BD【解析】當(dāng)時，方程為，當(dāng)時，，故第三象限內(nèi)的點不可能在曲線上，故A錯誤；將點代入曲線方程得，故曲線關(guān)于直線對稱，故B正確；當(dāng)，聯(lián)立，其中，將代入得，即，則方程組無解，故曲線與直線無公共點，故C錯誤；聯(lián)立，得，設(shè)，，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則值域為，所以有解成立；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以成立，所以曲線與直線一定有公共點，故D正確.故答案為：BD第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.經(jīng)過，兩點的直線的方程為___________.【答案】【解析】直線的斜率，所以直線方程為.故答案為：.14.已知向量，則______________.【答案】或【解析】，所以，解得或者，故答案為：或15.設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】，故，又，故曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.16.斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時，．若，則的值為___________．【答案】【解析】由已知得，且，所以，，，，累加整理可得，又因為，即是該數(shù)列第項，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，其余各題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線經(jīng)過點．（1）若與直線：垂直，求的方程；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程．解：（1）由題可知，的斜率為，設(shè)的斜率為，因為，所以，則，又經(jīng)過點，所以的方程為，即；（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，即經(jīng)過原點，設(shè)的方程為，將代入解析式得，解得，故的方程為，若在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，則設(shè)的方程為，由，得，故的方程為，綜上，的方程為或.18.已知圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點，且，求的值．解：（1）由，得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為．（2）由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．19.已知數(shù)列滿足.（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，又，故為等比數(shù)列，首項為1，公比為2；（2）