2023-2024學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)市高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題得又因為，所以．故選：D.2.下列調(diào)查方式中，可用普查的是（）A.調(diào)查某品牌電動車市場占有率 B.調(diào)查2023年杭州亞運會的收視率C.調(diào)查某校高三年級的男女同學(xué)的比例 D.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率【答案】C【解析】選項ABD調(diào)查對象的數(shù)目較多，適合采用抽查；C調(diào)查對象的數(shù)目較少，適合采用普查.故選：C.3.當(dāng)且時，函數(shù)恒過定點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，與無關(guān)，則函數(shù)恒過定點．故選：B.4.已知，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，為增函數(shù)，再由，所以，根據(jù)零點存在定理知，零點在范圍內(nèi)．故選：B.6.國家高度重視青少年心理健康問題，某校為了調(diào)查學(xué)生的心理健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查．若某班有45名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到45編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第三個號碼為（）隨機數(shù)表如圖：251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】從隨機數(shù)表第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，去掉超過45和重復(fù)的號碼，選取的前3個數(shù)依次為32、37、27，故選取的第三個號碼為27.故選：C.7.地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（）倍（參考數(shù)據(jù)：）A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由題可知，.故選：D．8.已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，即為，即有；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，選項B滿足；當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，四個圖象均不滿足，在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是B．故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從某市高一年級考試的學(xué)生中隨機抽查2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法不正確的是（）A.總體指的是該市高一年級考試的全體學(xué)生B.樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績C.樣本容量指的是2000名學(xué)生D.個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生【答案】ACD【解析】對于A：總體指的是該市高一年級考試全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故A錯誤；對于B：樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故B正確；對于C：樣本容量指的是2000，故C錯誤；對于D：個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故D錯誤．故選：ACD.10.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于選項B：定義域或，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故B正確；對于選項C：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故D正確．故選：ABD.11.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意識，讓健身成為一種習(xí)慣和風(fēng)俗，為倡導(dǎo)健康生活方式，某大學(xué)社團聯(lián)合學(xué)生會倡議全校學(xué)生參與“每日萬步行”健走活動．下圖為該校甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（）甲、乙步數(shù)折線統(tǒng)計圖A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)小于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是12400【答案】BC【解析】由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，A錯誤；這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：，這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：，因為，故B正確；由圖知，甲的波動程度較大，故方差，標(biāo)準(zhǔn)差較大，故C正確；乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是13800，故D錯誤．故選：BC.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)存在零點D.不等式的解集為【答案】BD【解析】函數(shù)圖象如下：對于A，的定義域為，，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，、，且都上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，函數(shù)沒有零點，故C錯誤；對于D，由前可知，不等式滿足或或，解得，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是______________．【答案】【解析】由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域可知，解不等式得，因此函數(shù)的定義域是.故答案為：.14.某校有高級教師90人，中級教師150人，其他教師若干人．為了了解教師的健康狀況，從中抽取60人進行體檢．已知高級教師中抽取了18人，則從中級教師中抽取的人數(shù)是______．【答案】30【解析】由題意知，抽取的比例為，則中級教師抽取人.故答案為：30.15.已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是______________________．【答案】【解析】易知的定義域，關(guān)于原點對稱，又，故為奇函數(shù)，，又均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故為上的增函數(shù)；即，故．故答案為：.16.已知函數(shù)定義域為，對于任意，當(dāng)時，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)的取值范圍為______________．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，則，又因為，，所以，則，令，則，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以可變?yōu)?，即①，令，則①可變?yōu)棰?，又因為，故②變?yōu)?，又在?nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，則．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知函數(shù).（1）在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．解：（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出分段函數(shù)的圖象為：（2）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域為.19.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值和樣本成績的四分位數(shù)；（2）已知落在的平均成績是65，方差是11，落在的平均成績?yōu)?5，方差是16，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．解：（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得，四分位數(shù)分別第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，設(shè)第百分位數(shù)為，則；設(shè)第百分位數(shù)為，則；設(shè)第百分位數(shù)為，則；所以該數(shù)據(jù)的四分位數(shù)分別為65，75，84.（2）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，所以；由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：．20.已知函數(shù)，（，且）．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意可得，即函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，令，則，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當(dāng)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），（，且），令，由，得，則的值域為，（?。r，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為，則，，滿足題意.（ⅱ）時，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，滿足題意，綜上所述：的值為或.21.芯片是現(xiàn)代科技發(fā)展的重要組成部分，它的出現(xiàn)和發(fā)展對科技領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響．芯片的應(yīng)用非常廣泛，從智能手機、電腦、平板電腦到汽車、醫(yī)療設(shè)備、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為進一步激勵國內(nèi)科技巨頭加大科技研發(fā)投入的力度．根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入10萬元．若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完；平均每萬部的銷售收入為萬元，且.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．解：（1）由題知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.（2）由（1）知當(dāng)時，，開口向下，對稱軸，此時的最大值為萬元，當(dāng)時，萬元，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以當(dāng)產(chǎn)量為40萬部時，利潤最大，最大利潤為550萬元．22.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足．（1）求；（2）當(dāng)時，判斷和的大小關(guān)系．解：（1）由題設(shè)可知，由于為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，則，解得，．（2），由于，則，即．江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題得又因為，所以．故選：D.2.下列調(diào)查方式中，可用普查的是（）A.調(diào)查某品牌電動車市場占有率 B.調(diào)查2023年杭州亞運會的收視率C.調(diào)查某校高三年級的男女同學(xué)的比例 D.調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率【答案】C【解析】選項ABD調(diào)查對象的數(shù)目較多，適合采用抽查；C調(diào)查對象的數(shù)目較少，適合采用普查.故選：C.3.當(dāng)且時，函數(shù)恒過定點（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，與無關(guān)，則函數(shù)恒過定點．故選：B.4.已知，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，為增函數(shù)，再由，所以，根據(jù)零點存在定理知，零點在范圍內(nèi)．故選：B.6.國家高度重視青少年心理健康問題，某校為了調(diào)查學(xué)生的心理健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查．若某班有45名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到45編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第三個號碼為（）隨機數(shù)表如圖：251263176323261680456011243253270941145720425332373227073607742467624281219137263890014005232617301423102118A.32 B.37 C.27 D.07【答案】C【解析】從隨機數(shù)表第2行第9列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，去掉超過45和重復(fù)的號碼，選取的前3個數(shù)依次為32、37、27，故選取的第三個號碼為27.故選：C.7.地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（）倍（參考數(shù)據(jù)：）A.110 B.115 C.120 D.125【答案】D【解析】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由題可知，.故選：D．8.已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，即為，即有；當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，選項B滿足；當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，四個圖象均不滿足，在同一坐標(biāo)系中的圖象只能是B．故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從某市高一年級考試的學(xué)生中隨機抽查2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，下列說法不正確的是（）A.總體指的是該市高一年級考試的全體學(xué)生B.樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績C.樣本容量指的是2000名學(xué)生D.個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生【答案】ACD【解析】對于A：總體指的是該市高一年級考試全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故A錯誤；對于B：樣本是指2000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故B正確；對于C：樣本容量指的是2000，故C錯誤；對于D：個體指是指2000名學(xué)生中的每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，故D錯誤．故選：ACD.10.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于選項B：定義域或，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故B正確；對于選項C：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：定義域，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故D正確．故選：ABD.11.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，“全民健身日”提升全民健身意識，讓健身成為一種習(xí)慣和風(fēng)俗，為倡導(dǎo)健康生活方式，某大學(xué)社團聯(lián)合學(xué)生會倡議全校學(xué)生參與“每日萬步行”健走活動．下圖為該校甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列說法正確的是（）甲、乙步數(shù)折線統(tǒng)計圖A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)小于乙的日步數(shù)的中位數(shù)B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)大于乙的日步數(shù)的平均數(shù)C.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的日步數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是12400【答案】BC【解析】由折線圖可得甲一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；由折線圖可得乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，所以中位數(shù)為12600；故這一星期內(nèi)甲、乙的日步數(shù)的中位數(shù)都為12600，A錯誤；這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均數(shù)為：，這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的平均數(shù)為：，因為，故B正確；由圖知，甲的波動程度較大，故方差，標(biāo)準(zhǔn)差較大，故C正確；乙一星期內(nèi)的步數(shù)從小到大的排列為：，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的分位數(shù)是13800，故D錯誤．故選：BC.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)存在零點D.不等式的解集為【答案】BD【解析】函數(shù)圖象如下：對于A，的定義域為，，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，、，且都上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，函數(shù)沒有零點，故C錯誤；對于D，由前可知，不等式滿足或或，解得，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是______________．【答案】【解析】由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域可知，解不等式得，因此函數(shù)的定義域是.故答案為：.14.某校有高級教師90人，中級教師150人，其他教師若干人．為了了解教師的健康狀況，從中抽取60人進行體檢．已知高級教師中抽取了18人，則從中級教師中抽取的人數(shù)是______．【答案】30【解析】由題意知，抽取的比例為，則中級教師抽取人.故答案為：30.15.已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是______________________．【答案】【解析】易知的定義域，關(guān)于原點對稱，又，故為奇函數(shù)，，又均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故為上的增函數(shù)；即，故．故答案為：.16.已知函數(shù)定義域為，對于任意，當(dāng)時，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)的取值范圍為______________．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，則，又因為，，所以，則，令，則，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以可變?yōu)?，即①，令，則①可變?yōu)棰冢忠驗?，故②變?yōu)椋衷趦?nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，則．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知函數(shù).（1）在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．解：（1）利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象特征即可畫出分段函數(shù)的圖象為：（2）由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的值域為.19.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者．某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值和樣本成績的四分位數(shù)；（2）已知落在的平均成績是65，方差是11，落在的平均成績?yōu)?5，方差是16，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．解：（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得，四分位數(shù)分別第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)，設(shè)