《電工基礎及測量》課件第2章

第2章直流電阻電路的分析2.1支路電流法2.2網孔電流法2.3節(jié)點電壓法2.4疊加定理2.5戴維南定理習題

2.1支路電流法

第1章介紹的一些等效變換法，只適用于分析特定結構的電路，而網絡方程法則是分析一般電路的方法，它是通過根據KCL、KVL和元件的VCR列寫電路的變量方程，從而解出變量的方法。支路電流法就是其中的一種。

支路電流法就是以電路中每條支路電流為未知數，根據KCL、KVL列出方程，聯立求解的一種方法。對于一個有b條支路、n個節(jié)點的電路，則需以b個支路電流為未知量，列寫b個獨立方程。所謂獨立方程就是指其中任意一個方程都不能通過對其他方程推導而得出。

下面以圖2-1所示的電路為例，來說明支路電流法的求解過程。圖2-1支路電流法的求解過程在電路中，支路數b=3個，節(jié)點數n=2個。在應用支路電流法時，應該以支路電流I1、I2和I3為未知量，列出三個獨立方程。列方程前指定各支路電流的參考方向如圖2-1所示。

首先，根據電流的參考方向對其中n－1個節(jié)點(2－1＝1)列出獨立的KCL方程：

對節(jié)點a：I1+I2－I3=0 ①

其次，選取b－n+1個獨立回路，根據回路的繞向列出KVL方程，對于平面電路而言，每一個網孔都是一個獨立回路，且網孔的數目恰好為b－n+1，故一般選取網孔作為獨立回路(即回路Ⅰ和Ⅱ)：

對網孔Ⅰ：I1R1+I3R3=US1 ②

對網孔Ⅱ：I2R2+I3R3=US2 ③最后，聯立求解上述的b個獨立方程，得出各個支路電流；再通過支路電流來求解其他的待求量。

用支路電流法時應注意：當電路中存在電流源時，如果是電流源與電阻的并聯組合，則可以把它變換成電壓源與電阻的串聯組合，這樣可以簡化計算；如果是無伴電流源(即無并聯電阻的電流源)，則可設出電流源的端電壓及其參考方向，此時，電流源所在支路的電流為已知的電流源的電流，方程組中待求量的數目仍然不變。

例2-1在圖2-1所示電路中，設US1=140V，US2=90V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω。求各支路電流。

解以各支路電流為變量，應用KCL和KVL列出方程

I1+I2－I3=0

20I1+6I3=140

5I2+6I3=90

解之，得

I1=4A，I2=6A，I3=10A 2.2網孔電流法

網孔電流法就是以網孔電流為未知量，對電路中的所有網孔列出KVL方程來求解電路的一種方法。網孔電流是一種假設的電流，即假設在電路的每個網孔中流有的一個回路電流，如圖2-2所示的Im1和Im2。圖2-2網孔電流法的求解過程下面以圖2-2所示的電路為例，介紹網孔電流和支路電流的關系：

假設Im1和Im2的參考方向如圖所示，則US1所在支路中只有Im1獨立流過且流過該支路時方向與支路電流I1的方向相同，所以有I1=Im1，US2所在支路的網孔電流只有Im2獨立流過且方向與支路電流I2相反，故I2=－Im2；但網孔電流Im1和網孔電流Im2同時流過R3所在支路，所以支路電流I3為二者的代數和，即I3=Im1－Im2。

現以圖2-2所示的電路為例，說明網孔電流法的求解過程。

首先，設定各支路電流及網孔電流的參考方向(規(guī)定以瞬時針繞行方向為參考方向)，如圖2-2所示。其次，以網孔電流的方向為回路繞向，對每個網孔列出KVL方程。

整理得：

其中，式(2-2)即是以網孔電流為未知量的網孔電流方程。而式(2-2)又可改寫成

(2-2)(2-1)

其中，R11、R22分別稱為網孔1、網孔2的自電阻，它們等于各自網孔中全部電阻之和，自電阻恒為正；R12=R21代表網孔1和網孔2的互電阻，即兩個網孔公共支路上的電阻之和，互電阻恒為負；US11和US22分別為網孔1和網孔2中所有電壓源電壓的代數和，當電壓源電壓的參考方向與網孔電流參考方向一致時寫到等式右邊，電壓前取“－”，反之為“+”。(2-3)對于具有m個網孔的電路，其網孔電流方程的一般形式為：

解出方程組中的網孔電流，可根據網孔電流與支路電流的關系求解出各條支路的電流。(2-4)在列寫網孔電流方程時應注意以下幾個問題：

(1)如果回路中有電流源與電阻的并聯組合，則可以把其等效為電壓源與電阻的串聯組合，再列寫網孔方程。

(2)如果存在無伴電流源(沒有電阻與其并聯的電流源)時，當電流源僅屬一個網孔時，選擇該網孔電流等于電流源的電流，這樣可減少一個網孔方程，其余網孔方程仍按一般方法列寫。

(3)當無伴電流源屬于兩個網孔共用時，可將電流源的電壓當做一個未知電壓源的電壓列寫到方程的右邊，但多一個未知量的情況下，必須列寫一個補充方程。補充方程列寫的原則是：共用該電流源的兩個網孔的網孔電流按照電流源的電流方向進行疊加，疊加結果應與電流源的電流的大小相等。

例2-2如圖2-3所示，用網孔法計算例2-1中各支路電流。

解首先用網孔電流法求出網孔電流。設網孔電流Im1、Im2均為順時針方向。計算各網孔的自電阻，兩網孔的互電阻及每一網孔的總電壓源電壓。

R11=R1+R3=26Ω，R12=R21=－R3=－6Ω，R22=R2+R3=11Ω

US11=140V，US22=－90V

將參數代入式(2-3)得

聯立求解得

Im1=4A，Im2=－6A

根據各網孔電流與支路電流的關系，求各支路的電流為

I1=Im1=4A，I2=－Im2=6A，I3=Im1－Im2=10A圖2-3例2-2圖

2.3節(jié)點電壓法

節(jié)點電壓法是以節(jié)點電壓為未知量，對n－1(n為節(jié)點數)個獨立節(jié)點列出KCL方程來求解電路的一種方法。在電路中任選一節(jié)點為參考點，則其他節(jié)點為獨立節(jié)點，其他節(jié)點對參考點的電壓則稱為節(jié)點電壓。下面以圖2-4所示的電路圖為例，來介紹節(jié)點電壓法的應用步驟。圖2-4節(jié)點電壓法的求解過程首先，標定各支路電流參考方向，并選取參考節(jié)點，若以節(jié)點3為參考點，獨立節(jié)點1、2的節(jié)點電壓分別為Un1和Un2。

其次，對獨立節(jié)點1、2列寫KCL方程。

根據KVL和電路元件的伏安關系，求出各支路電流與節(jié)點電壓的關系。(2-5)將其代入式(2-5)，得

整理得(2-6)(2-7)上式可改寫成

式(2-8)即為具有三個節(jié)點的電阻性電路的節(jié)點電壓方程的一般形式。其中G11、G22分別是節(jié)點1、節(jié)點2相連接的各支路電導之和，稱為各節(jié)點的自電導，自電導總是正的。G12=G21是連接在節(jié)點1與節(jié)點2之間的公共支路的電導之和，稱為兩相鄰節(jié)點的互電導，互電導總是負的。IS11、IS22分別是流入節(jié)點1和節(jié)點2的各支路電流源電流的代數和，列寫到等式的右邊后，流入節(jié)點的電流源電流為正，流出的為負。(2-8)在具有n個節(jié)點的電路中，其節(jié)點電壓方程為

解出方程組中的節(jié)點電壓，可根據VCR求出各支路電流及其他。(2-9)在列寫節(jié)點電壓方程式時應注意以下幾個問題：

(1)如果電路中有電壓源與電阻的串聯組合，則可以把其等效為電流源與電阻的并聯組合，以便簡化計算。

(2)如果存在無伴電壓源(沒有電阻與其串聯的電壓源)且在獨立支路上，與之相連的節(jié)點的節(jié)點電壓即為該電壓源的電壓，可少列一個方程。

(3)無伴電壓源在共用支路上時，可把流經電壓源的電流作為一個未知電流源的電流變量列入節(jié)點電壓方程的右邊，但在多一個未知量的情況下，必須列寫一個補充方程。補充方程列寫的原則是：共用該電壓源的兩個節(jié)點的節(jié)點電壓按照電壓源的電壓方向進行疊加，疊加結果應與電壓源電壓的大小相等。對于只有一個獨立節(jié)點的電路，如圖2-5(a)所示，可用節(jié)點電壓法直接求出獨立節(jié)點的電壓。先把圖2-5(a)中電壓源和電阻串聯組合等效為電壓源和電阻并聯組合，如圖2-5(b)所示，則

寫成一般形式為(2-10)式(2-10)稱為彌爾曼定理。代數和∑(GkUSk)中，當電壓源的正極性端接到節(jié)點1時，GkUSk前取“+”號，反之取“－”號。圖2-5彌爾曼定理舉例

例2-3如圖2-6所示電路中，R2=4Ω，R4=2Ω，R5=6Ω，R6=3Ω，IS1=5A，IS3=10A，US4=6V，US6=15V，用節(jié)點電壓法求電壓源US4發(fā)出的功率。

解選定節(jié)點3為參考點，設定各節(jié)點電壓和支路電流，選定各支路電流的參考方向并標于電路圖中。

計算各獨立節(jié)點的自電導，兩獨立節(jié)點之間的互電導及流入各獨立節(jié)點的電流源電流的代數和。圖2-6例2-3圖將參數代入式(2-8)得

聯立求解得

Un1=8V，Un2=16V

根據KVL和元件的伏安關系，得

所以電壓源US4發(fā)出的功率為

P=－US4I=－6×(－7)=42W

例2-4圖2-7為一由電阻元件和理想運算放大器構成的起減法作用的電路圖。試說明其工作原理。

解運算放大器是一種多端器件，它有兩個輸入端和一個輸出端，輸入端1稱為倒向輸入端，輸入端2稱為非倒向輸入端。理想運算放大器具有兩條性質：①倒向端和非倒向端的輸入電流均為零；②對公共端(地)來說，倒向輸入端的電壓與非倒向輸入端的電壓相等。

首先：對節(jié)點1、2分別寫出節(jié)點電壓方程并應用性質①，有圖2-7例2-4圖

注意到性質②，有Un1=Un2，代入上式，得

或 2.4疊加定理

疊加定理是分析多源線性電路的重要定理，可表述如下：線性電阻電路中，任一電壓或電流都是電路中各個獨立電源單獨作用時，在該處產生的電壓或電流的疊加。在應用疊加定理考慮某個電源的單獨作用時，應保持電路結構不變，將電路中的其他獨立電源視為零值，亦即電壓源短路，電動勢為零；電流源開路，電流為零。

下面以圖2-8中的U1、I2的求解為例，來說明疊加定理。圖2-8疊加定律在圖2-8(a)所示的電路中共有兩個電源，先考慮電壓源單獨作用，電流源“置零”視為斷路，可得電壓源單獨作用時的電路，如圖2-8(b)所示，由圖2-8(b)可知再考慮電流源單獨作用，電壓源“置零”視為短路，可得電流源單獨作用時的電路圖，如圖2-8(c)所示，由圖2-8(c)可知

根據疊加定律得使用疊加定理時，應注意以下幾個問題：

(1)疊加定理只適用于線性電路的分析計算。

(2)不能用疊加定理來直接分析計算功率。

(3)疊加時，應根據電流和電壓的參考方向確定各量前面的正、負號。當分電壓和分電流的參考方向與原電路一致時取正號，不一致時取負號。

例2-5在圖2-9(a)所示電路中，US1=12V，US2=6V，R1=R3=R4=510Ω，R2=1kΩ，R5=330Ω，應用疊加定理求解電路中的電流I3。圖2-9例2-5圖

解

(1)當電壓源US1單獨作用時，電路圖如圖2-9(b)所示。根據電路中各元件的串并聯關系可得：

由分流公式可得：

(2)當電壓源US2單獨作用時，電路如圖2-9(c)所示，可得

(3)電壓源US1和US2共同作用時，

2.5戴維南定理

首先，我們分析圖2-10(a)所示電路，經計算可知，I1=I2=0.2A，Uab=18V。當分別用18V的電壓源和0.2A的電流源代替圖中20V與10Ω電阻的串聯支路時，如圖2-10(b)、(c)所示，電路中的電流I1、I3沒有發(fā)生變化。

因此，我們可得到：當電路中某條支路的電壓U或電流I已知時，那么此支路就可以用電壓為U的電壓源或電流為I的電流源來代替，代替后電路中的所有電壓和電流均保持不變，這就是替代定理。圖2-10替代定理說明圖2.5.1戴維南定理概述

在分析一些復雜電路時，有時僅僅要分析某一條支路上的電壓或電流。若用前面的支路電流法、網孔分析法等方法來分析的話，必然要引出一些不必要的物理量，而戴維南定理在解決這方面的問題上具有獨特的優(yōu)越性。

在圖2-11(a)所示電路中，a、b兩端的左邊是任意一個線性有源二端網絡，右邊是一個二端元件。設端口處的電壓、電流為U、I。根據替代定理，將二端元件用電流為I的電流源代替，如圖2-11(b)所示。圖2-11戴維南定理說明圖對圖2-11(b)應用疊加定理，當電流源IS不作用，而有源二端網絡內的全部獨立電源作用時，如圖2-11(c)所示，有

I′=0,

U′=UOC

當有源二端網絡內的全部獨立電源不作用，而電流源IS單獨作用時，如圖2-11(d)所示，有

I″=I,

U″=－RiI″=－RiI

將圖2-11(c)和圖2-11(d)疊加，得上式即為有源二端網絡端口處電壓和電流應滿足的關系。圖2-11(e)所示電壓源和電阻串聯組合的電壓電流關系與上式完全相同。所以圖(a)中的二端網絡可以用圖(e)中的等效串聯組合置換。此即戴維南定理。

戴維南定理可表述如下：任何一個含獨立源的線性二端電阻網絡，對其外部而言，都可以用一個理想電壓源與電阻的串聯組合來替代。其中，理想電壓源的電壓等于二端網絡的開路電壓UOC，電阻等于網絡內部所有獨立源置零后網絡的等效電阻Ri。

例2-6已知R1=5Ω，R2=R3=10Ω，US=60V，IS=15A。用戴維南定理求圖2-12(a)中的電流I2。圖2-12例2-6圖(一)

解

(1)將圖2-12(a)所示電路中的電阻R2支路移去，余下的電路為有源二端網絡，如圖2-11(b)所示。計算該有源二端網絡的開路電壓，即

(2)將圖2-12(b)所示有源二端網絡中的獨立源置零(即電壓源短路，電流源開路)，如圖2-12(c)所示。計算網絡等效電阻，即

(3)用戴維南等效電路代替圖2-12(b)所示有源二端網絡，并加上去掉的支路，如圖2-12(d)所示。

這樣，通過電阻R2的電流

如圖2-13所示為另一種求戴維南等效電阻的方法。求出給定有源二端網絡的開路電壓UOC和短路電流ISC。按圖可求出(2-11)圖2-13例2-6圖(二)2.5.2最大功率傳輸

對于線性含源二端網絡，當在網絡兩端接上不同的負載之后，負載獲得的功率不同，下面我們討論一下負載為多大時，能獲得最大功率，獲得的最大功率值是多少？

設電阻RL所接網絡的開路電壓為US，除源后的等效電阻為R0。