浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 拋物線與三角形 學(xué)案

九年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料-----拋物線與三角形頂點(diǎn)與x軸交點(diǎn)組成的三角形-----等腰三角形如圖，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)、，頂點(diǎn)為C，∵對(duì)稱軸：直線垂直平分線段AB，∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形；又∵，，∴；又∵頂點(diǎn)，∴①若△ACB為等腰直角三角形，則，∴∴②若△ABC是等邊三角形，則，∴，∴∴例1：（19嘉興市）小飛研究二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）性質(zhì)時(shí)如下結(jié)論：①這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線y＝﹣x+1上；②存在一個(gè)m的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形；③點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；④當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④變式：當(dāng)m=__________時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形；練習(xí)一已知，點(diǎn)M為二次函數(shù)y=﹣（x﹣b）2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，判斷頂點(diǎn)是否在直線？若拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍；在（2）的條件下，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）①若△ABM為等腰直角三角形，求b的值②若△ABM為等邊三角形，求b的值拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)組成的三角形如圖，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)、，與y軸的交點(diǎn)為C.∴,,若∠ACB=90°，則，∴，∴例2：已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C求A、B、C的坐標(biāo)判斷△ABC的形狀練習(xí)二1、已知拋物線y=k（x+1）（x﹣）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（）A．2B．3C．4D．52、如圖，已知拋物線（m為參數(shù)，且m<0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，直線CD交x軸于點(diǎn)E.當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；若∠ADC=90°求m的值；請(qǐng)?zhí)骄浚篍D：DC的值是否會(huì)隨m的變化而變化？并說(shuō)明理由.3、如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），求點(diǎn)A的坐標(biāo)（2）若△ABC是等腰三角形，求拋物線的表達(dá)式（3）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線在x軸下方圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與直線BC交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，求PE+PF的最大值拋物線中的三角形的周長(zhǎng)與面積例1圖例3：已知拋物線具有如下性質(zhì)：給拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到軸的距離相等，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是拋物線例1圖上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是___________例4、定義：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩直線之間的距離OA叫做△ABC的“水平寬”，中間直線處于△ABC內(nèi)部的線段BD的長(zhǎng)度叫做△ABC的“鉛垂高”.性質(zhì)：三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.理解：例如：如圖1，OA=3，BD=1.6，則應(yīng)用：（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B(3，4)，D(3，1）．則△ABC的面積為；（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)A（4，0），C(0，4)兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求△AMC面積的最大值；（3）在（2）的條件下，如圖4，點(diǎn)P在拋物線上，①求以AC為底邊的等腰三角形PAC的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直接寫出以AC為底邊的等腰三角形PAC的面積.OOCBDA圖2M圖4圖3練習(xí)三1、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A、B、O(O為原點(diǎn)).（1）求拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使的周長(zhǎng)最小。若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果點(diǎn)P是該拋物線上軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么是否有最大面積。若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）。2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸一A（-1,0），B（4,0），C（0，4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積。3、已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，-3）.求拋物線的函數(shù)表達(dá)式若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）①當(dāng)△PBC的面積等于3時(shí)，求點(diǎn)P的指標(biāo)；②當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線CP的表達(dá)式.四、拋物線中的三角形的全等與相似例5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OBC全等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．例6、如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣x+1與y軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△DBO∽△EBC；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，1），B（2，2）．過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D． 求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）若拋物線上存在點(diǎn)M，使得△BCM的面積為，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； （3）連接OA、OB、OC、AC，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對(duì)應(yīng)）的點(diǎn)N的坐標(biāo)． 2、如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程）．3、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，與軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為H.（1）求，的值；（2）連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過(guò)點(diǎn)E，另一直角邊與軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.五、拋物線中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的三角形問(wèn)題例7例7：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于點(diǎn)C，若OA=OC=3OB=3.頂點(diǎn)為D例7求拋物線的表達(dá)式；點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，①若△PBC是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)②若△PBC是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)練習(xí)五1、如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣x+1與y軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△DBO∽△EBC；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，-3），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)如圖2，把線段CO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段DO，過(guò)點(diǎn)B作射線BD,設(shè)M是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連結(jié)BM、BN；①判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論②設(shè)△BMN的面積為，△BOD的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)3、如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出\o"歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng)"發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端\o"歡迎登陸21世紀(jì)教育網(wǎng)"點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出