中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題03 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形、四邊形的存在性問(wèn)題（解析版）

專題03動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形、四邊形的存在性問(wèn)題幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題包括幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、幾何線動(dòng)問(wèn)題和面動(dòng)問(wèn)題，本專題重點(diǎn)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線動(dòng)和面動(dòng)問(wèn)題，將在圖形變換專題中進(jìn)行探究。幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查面比較多，但總體看以考查點(diǎn)在幾何圖形中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，角度關(guān)系以及三角形、四邊形的存在性居多。線段和角度問(wèn)題會(huì)在其他專題中進(jìn)行分析，在這里只討論三角形和四邊形的存在性問(wèn)題。在解決幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的三角形和四邊形存在性問(wèn)題時(shí)，一般有以下幾種情況：1.等腰三角形存在性問(wèn)題：在解等腰三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達(dá)出三角形的各個(gè)邊長(zhǎng)，利用等腰三角形的概念，有2條邊相等的三角形是等腰三角形，進(jìn)行分類討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。2.直角三角形存在性問(wèn)題：在解直角三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達(dá)出三角形的各個(gè)邊長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理，同時(shí)進(jìn)行分類討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。3.全等三角形存在性問(wèn)題：在解全等三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，然后找出或者用x表示出動(dòng)態(tài)三角形的各邊長(zhǎng)，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。4.相似三角形存在性問(wèn)題：在解相似三角形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長(zhǎng)，然后找出或者用x表示出動(dòng)態(tài)三角形的各邊長(zhǎng)，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。5.平行四邊形的存在性問(wèn)題：在解平行四邊形存在性問(wèn)題時(shí)，通常設(shè)出由動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長(zhǎng)度為x，其次求出或者用x表示出平行四邊形、矩形、菱形或正方形的其他各邊的長(zhǎng)度，最后利用平行四邊形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進(jìn)行檢驗(yàn)。可見在解決此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出各線段的長(zhǎng)度，利用各幾何圖形的判定，列出方程進(jìn)行求解，是此類題型的共性，但要注意，在解決此類問(wèn)題時(shí)，要注意分類討論。 （2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒SKIPIF1<0cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？（1）根據(jù)勾股定理求出SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．（2）作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明出SKIPIF1<0為直角三角形，進(jìn)一步得出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等腰直角三角形，再證明四邊形SKIPIF1<0為矩形，利用勾股定理在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，結(jié)合四邊形SKIPIF1<0為菱形，建立等式進(jìn)行求解．【答案】(1)當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC(2)當(dāng)t的值為SKIPIF1<0時(shí)，四邊形QPCP′為菱形【詳解】（1）解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（cm），由題意得，AP＝SKIPIF1<0tcm，BQ＝tcm，則BP＝（4SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQSKIPIF1<0AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：t＝2，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ⊥BC．（2）解：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去）．SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的SKIPIF1<0交BC于點(diǎn)F．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0是等腰三角形且SKIPIF1<0是直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)．（1）根據(jù)BD是圓的直徑，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”證明△CAD≌△CFD即可；（2）因?yàn)槿切蜟ED為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類討論，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以為直角的頂點(diǎn)，需要分兩類討論；當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，∠DEB＜90°，∠CED是鈍角，所以此時(shí)只能構(gòu)造EC=ED的等腰三角形，故取D點(diǎn)使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以證明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；當(dāng)∠AED=90°時(shí)，若三角形CED為等腰三角形，則∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DE，利用三角函數(shù)或相似即可求出AD.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】解：（1）∵BD是圓的直徑，∴∠DFB=90°，∴∠DFC=90°，在Rt△CAD和Rt△FCD中，SKIPIF1<0，∴△CAD≌△CFD（HL）；（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角頂點(diǎn)只能是D點(diǎn)和E點(diǎn)，若∠EDB=90°，如圖在AB上取D點(diǎn)使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∵∠CAB=∠EDB=90°，∴AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，此時(shí)三角形ECD為E為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，三角形DEB是E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)CE=DE=x，在直角三角形ABC中SKIPIF1<0，∴BE=5-x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵DE∥AC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；若∠DEB=90°，如圖所示，∠CED=90°，∵△CED為等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，設(shè)EC=DC=y，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴AD的長(zhǎng)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論求解.1．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖DSKIPIF1<0，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，與邊SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，與邊SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)如圖SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的外接圓SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，外接圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內(nèi)部不包括邊上時(shí)，求出SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由題中條件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可知四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故CESKIPIF1<0；過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作垂線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，可得相似的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的表達(dá)式表示它們的邊長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的解析式；下一步即為求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的各自邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作垂線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0可得四邊形SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由勾股定理可算得SKIPIF1<0的長(zhǎng)度；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則可由勾股定理求得SKIPIF1<0的長(zhǎng)度，SKIPIF1<0，至此已求得所有所需邊長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)比例關(guān)系：SKIPIF1<0，代入各邊長(zhǎng)表達(dá)式即可得SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的解析式，再根據(jù)題中要求寫出定義域即可；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，SKIPIF1<0，由勾股定理知SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0；在直角三角形SKIPIF1<0中，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)三角形的外接圓圓心落在三角形的內(nèi)部，得到SKIPIF1<0為銳角三角形，分析SKIPIF1<0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可知，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)角度不斷減小，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0始終是銳角．根據(jù)題意，令點(diǎn)SKIPIF1<0的位置滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0大于此時(shí)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度就可使得外接圓圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內(nèi)部．【詳解】（1）解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，再過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作垂線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)在SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，故定義域?yàn)椋篠KIPIF1<0；（2）如圖所示，此時(shí)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，又SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，SKIPIF1<0，由（SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）解：分析SKIPIF1<0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可知，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)角度不斷減小，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0始終是銳角．根據(jù)題意，令點(diǎn)SKIPIF1<0的位置滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0大于此時(shí)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度就可使得外接圓圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內(nèi)部．如下圖所示，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同角的余角相等SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上可得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，外接圓圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內(nèi)部．2．（2022·廣東揭陽(yáng)·校考三模）如圖1，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將矩形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，頂點(diǎn)D恰好落在SKIPIF1<0邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)如圖2，M，N分別是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點(diǎn)N，使SKIPIF1<0是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3；(2)①見解析；②SKIPIF1<0或2【分析】（1）由翻折可知：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）①由SKIPIF1<0計(jì)算出SKIPIF1<0的長(zhǎng)度，再證明四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形即可證明；②若SKIPIF1<0是直角三角形，則有兩種情況，一是當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，二是當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可計(jì)算得出．【詳解】（1）解：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由翻折可知：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，則有：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）①證明：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又∵SKIPIF1<0，∴平行四邊形SKIPIF1<0是菱形．②∵SKIPIF1<0，∴若SKIPIF1<0是直角三角形，則有兩種情況，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵sSKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0或2．3．（2022·浙江麗水·一模）在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0，點(diǎn)P是邊SKIPIF1<0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F落在對(duì)角線SKIPIF1<0上，求證：SKIPIF1<0；(3)若點(diǎn)P在射線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)H，問(wèn)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0為直角三角形．【答案】(1)60°；(2)見解析；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，由翻折的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可求解；（2）易證SKIPIF1<0是等邊三角形，由翻折可得SKIPIF1<0，證得SKIPIF1<0，即可證明相似；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∠PHB=90°，延長(zhǎng)EF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)AP=x，則FP=x，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求解即可得SKIPIF1<0；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∠HPB=90°，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB于點(diǎn)Q，由折疊的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得AP的長(zhǎng)度；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，∠HPB=90°，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)AP=a，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，求解即可；如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上，∠PHB=90°，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)N，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求得AP的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0翻折得到，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：當(dāng)點(diǎn)F在BD上時(shí)，如圖1所示，∵菱形ABCD中，SKIPIF1<0，∴AD=AB，SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0翻折得到，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∠PHB=90°，延長(zhǎng)EF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)AP=x，則FP=x，∵∠PHB=90°，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∠HPB=90°，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB于點(diǎn)Q，由折疊的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，∵EQ⊥AB，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，∠HPB=90°，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)AP=a，∵EM⊥AB，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由折疊的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，∵EM⊥AB，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線上，∠PHB=90°，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)N，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上，AP的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，點(diǎn)P為對(duì)角線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)E．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的面積；②連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為直角三角形時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0的值等于4或SKIPIF1<0【分析】（1）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為兩個(gè)等腰三角形，得到SKIPIF1<0，從而推算出SKIPIF1<0從而證明SKIPIF1<0；（2）①根據(jù)勾股定理算出DO，證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似比分別求出DP、AP，計(jì)算出SKIPIF1<0面積，再利用三角形的相似比計(jì)算出SKIPIF1<0的面；

②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明SKIPIF1<0得出AP=CP計(jì)算出AP；當(dāng)SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似比計(jì)算出AP．【詳解】（1）證明：在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）解：如圖2，連接SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相垂直平分，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②如下圖所示,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．如下圖所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于H，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的情況不存在綜上所述，SKIPIF1<0的值等于4或SKIPIF1<0．5．（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．(1)用含t的代數(shù)式表示DE，SKIPIF1<0______；(2)若四邊形EFCD是平行四邊形，求此時(shí)t的值；(3)是否存在點(diǎn)F，使△FCD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)5；(3)存在，SKIPIF1<0或5或SKIPIF1<0【分析】（1）由題意得的SKIPIF1<0cm，即可得出結(jié)論．（2）由平行四邊形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，再分兩種情況，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，分別求解即可．（3）過(guò)D作SKIPIF1<0于G，則四邊形ABGD是矩形，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由勾股定理求出SKIPIF1<0，然后分情況討論：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求解即可．【詳解】（1）解：經(jīng)過(guò)ts后SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)四邊形EFCD是平行四邊形．（3）存在點(diǎn)F，使△FCD是等腰三角形，理由如下：過(guò)D作SKIPIF1<0于G，則四邊形ABGD是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在Rt△CDG中，由勾股定理得：SKIPIF1<0分情況討論：①SKIPIF1<0，如圖1，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，如圖2，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，如圖3，在RT△FDG中，由勾股定理得：∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上所述，存在點(diǎn)F，使△FCD是等腰三角形，t的值為SKIPIF1<0或5或SKIPIF1<0．6．（2022·浙江金華·校聯(lián)考三模）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，①求證：SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的正切值；(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，以1個(gè)單位每秒速度，沿折線SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，以2個(gè)單位每秒速度，沿射線SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0秒，以SKIPIF1<0為斜邊作SKIPIF1<0，使點(diǎn)SKIPIF1<0落在線段SKIPIF1<0或SKIPIF1<0上，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)不再連接其他線段，且圖中存在與SKIPIF1<0相似的三角形時(shí)，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①連接AC，根據(jù)“SSS”證明SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0，交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，先證明四邊形SKIPIF1<0為矩形，得出SKIPIF1<0，∠AEF=90°，再根據(jù)“ASA”證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出結(jié)果；（2）按照點(diǎn)M、N、P的位置，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，以及當(dāng)三角形全等也是特殊的相似，進(jìn)行分類討論，求出t的值即可．【詳解】（1）證明：①連接AC，如圖所示：∵在△ABC和△ADC中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0，交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∵∠EFC=90°，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，∠AEF=90°，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0當(dāng)點(diǎn)M在AD上，SKIPIF1<0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作SKIPIF1<0交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA，交EM于點(diǎn)G，如圖所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形BNMG為矩形，同理可得四邊形GBFE為矩形，∴GM=BN=2t，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0