中考數(shù)學二輪復習壓軸題培優(yōu)專練專題06 幾何圖形的翻折變換問題（原卷版）

專題06幾何圖形的翻折變換問題幾何圖形中的翻折變換在中考壓軸題中考查比例較高，翻折變換本質上是考查軸對稱的相關知識知識，在解決有關翻折問題的壓軸題時，需要注意三點：（1）掌握軸對稱的有關性質：①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

（2）掌握折疊圖形的性質，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時，就需要結合矩形的性質和軸對稱的性質。（3）折疊問題中求解線段的長度，一般要借助勾股定理，列出方程進行求解。 （2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上任意一點，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得SKIPIF1<0．(1)問題解決：如圖①，當SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0______；(2)問題探究：如圖②，當SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)，并求出此時SKIPIF1<0的最小值；(3)拓展延伸：當SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出SKIPIF1<0的值．（1）根據(jù)等邊三角形的性質，平行四邊形的性質可得SKIPIF1<0，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質即可求得SKIPIF1<0，由三角形內角和定理可得SKIPIF1<0，根據(jù)點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；（3）連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，進而根據(jù)SKIPIF1<0，即可求解．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)作圖見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0為底邊上的高，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；（3）如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折疊，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．本題考查了軸對稱的性質，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關系，并利用這個關系解決相關問題．(1)如圖一，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點D，過點D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，過點C作SKIPIF1<0于G.利用面積證明：SKIPIF1<0．(2)如圖二，將矩形SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0折疊，使點A與點C重合，點B落在SKIPIF1<0處，點G為折痕SKIPIF1<0上一點，過點G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(3)如圖三，在四邊形SKIPIF1<0中，E為線段SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（1）根據(jù)題意，利用等面積法SKIPIF1<0，根據(jù)等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即可得到結論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質得到SKIPIF1<0，結合矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，從而確定SKIPIF1<0是等腰三角形，從而利用（1）中的結論得到SKIPIF1<0，結合勾股定理及矩形性質即可得到結論；（3）延長SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是等腰三角形，從而由（1）知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0求解得SKIPIF1<0，從而得到結論．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，如圖所示：SKIPIF1<0在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點D，過點D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，過點C作SKIPIF1<0于G，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖所示：根據(jù)折疊可知SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點G，過點G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）解：延長SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，E為線段SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0由（1）可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗，x=1是方程的解用符合題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質、等面積求線段關系、折疊的性質、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質等知識點，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結論并運用到其他情境中是解決問題的關鍵．1．（2022·湖北武漢·校考三模）（1）如圖SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動點，將正方形沿著SKIPIF1<0折疊，點SKIPIF1<0落在點SKIPIF1<0處，連接SKIPIF1<0，并延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0；（2）在（1）的條件下，如圖SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，同樣沿著SKIPIF1<0折疊，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________SKIPIF1<0（直接寫出結果）2．（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在SKIPIF1<0中，點E是BC的中點，點F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形SKIPIF1<0．(1)利用圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，連接BD，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0落在BD上時，求EF的長；(3)如圖3，當點SKIPIF1<0恰好落在線段CD上時，求證：直線SKIPIF1<0與直線CD重合．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為F．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，請直接寫出CD的長（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，垂足為點G，點F與點D在直線CE的異側，連接CF．判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；(3)若SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0的度數(shù)．4．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1，D、E、F分別為SKIPIF1<0三邊BC、AB、AC上的點，且SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0