中考數(shù)學二輪復習壓軸題培優(yōu)專練專題10 幾何壓軸中的證明與猜想題型（原卷版）

專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學問題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點進行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個、多個或所有答案)或探索出解決問題的多種方法．該題型對考查學生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個熱點．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設計、命題組合型、問題開放型等．考生在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強、結(jié)構(gòu)獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：1．利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設結(jié)論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當命題的題設和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴密的論證． （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，SKIPIF1<0，垂足為K，交AC于點H且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．（1）先利用正方表的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）延長CB至M，使SKIPIF1<0，連接AM，先易得SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）過點H作SKIPIF1<0于點N，易得SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，再根據(jù)（2）的結(jié)論求解．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0，見解析(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關系為SKIPIF1<0．理由如下：延長CB至M，使SKIPIF1<0，連接AM，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴∠MAE=∠FAE，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴SKIPIF1<0；（3）解：過點H作SKIPIF1<0于點N，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構(gòu)建三角形全等是解答關鍵．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到SKIPIF1<0，再由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）①根據(jù)線段SKIPIF1<0繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點A作SKIPIF1<0于點G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，ED＝EC得到SKIPIF1<0，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．【答案】(1)SKIPIF1<0，理由見解析(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，理由見解析【詳解】（1）解：SKIPIF1<0．證明：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵線段SKIPIF1<0繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：①SKIPIF1<0理由：∵線段SKIPIF1<0繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②過點A作SKIPIF1<0于點G，連接AF，如下圖．∵SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是等邊三角形，點F為線段BC中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關知識是解答關鍵．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于SKIPIF1<0點．求證：SKIPIF1<0（2）【類比遷移】如圖②，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點，且SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點SKIPIF1<0延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長．（3）【拓展應用】如圖③，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的三等分點，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長．（1）根據(jù)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，四邊形SKIPIF1<0是正方形，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0；（2）延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即解得SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當SKIPIF1<0時，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，有SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0②，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于SKIPIF1<0，同理解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】證明：（1）SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，如圖：設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0；（3）（Ⅰ）當SKIPIF1<0時，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）當SKIPIF1<0時，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于SKIPIF1<0，如圖：同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查四邊形的綜合應用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是方程思想的應用．1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知SKIPIF1<0分別是四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0的對角線，點E在SKIPIF1<0的內(nèi)部，SKIPIF1<0．(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，當四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為正方形時，則SKIPIF1<0的度數(shù)為；(2)引申運用：如圖2，當四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為矩形時，①若SKIPIF1<0，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長；(3)聯(lián)系拓展：如圖3，當四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為菱形且SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，試探究a，b，c三者之間的等量關系，并說明理由．2．（2022·浙江寧波·?？既＃净A鞏固】(1)如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證∶SKIPIF1<0；(2)【嘗試應用】如圖②，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(3)【拓展提高】如圖③，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為其內(nèi)部一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．（2022·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）（1）【問題情境】如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個動點，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0的右側(cè)作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關系是______；（2）【類比探究】如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個動點，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0的右側(cè)作矩形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．判斷線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有怎樣的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．4．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為SKIPIF1<0，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；【鞏固新知】(2)如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D在SKIPIF1<0邊上，若SKIPIF1<0是“準直角三角形”，求SKIPIF1<0的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是“準直角三角形”，求SKIPIF1<0的面積．5．（2022·福建福州·福建省福州教育學院附屬中學?？寄M預測）問題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值為______．(2)如圖SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的最小值．(3)如圖SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點S