中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題18 轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在壓軸題中的應(yīng)用（原卷版）

專題18轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在壓軸題中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)壓軸題中應(yīng)用比較廣泛，例如在幾何壓軸題中，多應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，具體表現(xiàn)為利用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、全等等圖形變換或者等量變換將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 （2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．連接BD，CE．①求SKIPIF1<0的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，SKIPIF1<0；（3）解：①SKIPIF1<0，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，SKIPIF1<0，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，SKIPIF1<0；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFCSKIPIF1<0．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個(gè)含SKIPIF1<0角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接SKIPIF1<0，如圖③所示，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，通過證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．請(qǐng)你證明：SKIPIF1<0．【遷移應(yīng)用】延長SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含SKIPIF1<0角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接SKIPIF1<0，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．證明SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；通過SKIPIF1<0，可以求出SKIPIF1<0，得出結(jié)論SKIPIF1<0；證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，得出結(jié)論；【答案】證明見解析；垂直；SKIPIF1<0【詳解】證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；遷移應(yīng)用：SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；拓展延伸：SKIPIF1<0，證明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由上一問題可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì)．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是直線l的垂線段，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右側(cè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為______，SKIPIF1<0的值為______；(2)若將SKIPIF1<0沿直線l平移，并以SKIPIF1<0為一邊在直線l的上方作等邊SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；②如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，連接SKIPIF1<0并延長交直線l于點(diǎn)F，連接SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．（1）過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進(jìn)而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過點(diǎn)E作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得SKIPIF1<0，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再利用勾股定理即可求解．②連接SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等邊三角形，把SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)得SKIPIF1<0，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般得到SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【答案】(1)等腰三角形，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②見解析【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴SKIPIF1<0的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴SKIPIF1<0，∴△AOC∽△BOD，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：等腰三角形，SKIPIF1<0．（2）①過點(diǎn)E作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是等邊三角形，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，∴∠EAD=60°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，AE=6在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0．②連接SKIPIF1<0，如圖3所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵由（1）知SKIPIF1<0是等腰三角形，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，又∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0后與SKIPIF1<0重合，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2022·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D1，正方形SKIPIF1<0對(duì)角線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為正方形SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系(2)若將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的最大距離______．2．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作直線SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，過點(diǎn)B作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于點(diǎn)M．(1)猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)如圖2，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．（2021·北京·一模）在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)E在射線SKIPIF1<0上（不與點(diǎn)B、C重合），連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖1，點(diǎn)E在SKIPIF1<0邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；(2)如圖2，點(diǎn)E在SKIPIF1<0邊的延長線上，用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在矩形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上．(1)如圖SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<05．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考三模）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，E為邊SKIPIF1<0上的一個(gè)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，試猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【類比探究】(2)如圖2，G為邊SKIPIF1<0上的一個(gè)點(diǎn)，E為邊SKIPIF1<0延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，試猜想SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【拓展延伸】(3)如圖3，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿射線S