2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：八類最值問(wèn)題匯-總（瓜豆隱圓胡不歸阿氏圓將軍飲馬逆等線費(fèi)馬點(diǎn)構(gòu)造二次函數(shù)求最值）（原卷版）

2025屆中考復(fù)習(xí)日拱一卒,功不唐捐3/1012025屆中考復(fù)習(xí)專題：八類最值問(wèn)題匯總總覽總覽題型解讀模塊一：將軍飲馬等8類常見(jiàn)最值問(wèn)題 2【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型（線段和差最值問(wèn)題） 8【題型2】雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱） 10【題型3】動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形） 11【題型4】垂線段最短 12【題型5】相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬 14【題型6】化斜為直，斜大于直 15【題型7】構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值 17【題型8】通過(guò)瓜豆得出軌跡后將軍飲馬 18模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題 20【題型1】胡不歸模型·已有相關(guān)角直接作垂線 20【題型2】胡不歸模型·構(gòu)造相關(guān)角再作垂線 22模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題 23【題型1】?jī)啥c(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1） 24【題型2】?jī)牲c(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1） 27【題型3】一內(nèi)一外提系數(shù) 28【題型4】隱圓+阿氏圓 29模塊四：線段拼接最值問(wèn)題（逆等線模型） 30【題型1】平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形 33【題型2】構(gòu)造SAS型全等拼接線段 34【題型3】加權(quán)逆等線 36【題型4】取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算 38模塊五：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求最值（瓜豆模型） 40【題型1】構(gòu)造中位線 48【題型2】直線型軌跡（三種解題策略） 50【題型3】線段和 52【題型4】圓弧型軌跡 53【題型5】加權(quán)線段和 55【題型6】路徑長(zhǎng)度類問(wèn)題 56【題型7】取到最值時(shí)求其它量 57模塊六：費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題 58【題型1】普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題 65【題型2】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型 68【題型3】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型 69模塊七：隱圓最值問(wèn)題 71【題型1】定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓 76【題型2】直角的對(duì)邊是直徑 77【題型3】對(duì)角互補(bǔ)得圓 79【題型4】定弦定角得圓 80【題型5】四點(diǎn)共圓 81【題型6】相切時(shí)取到最值 82【題型7】定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問(wèn)題 83【題型8】米勒角（最大張角）模型 85模塊八：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題 86一題可破萬(wàn)題山——二次函數(shù)最值常見(jiàn)模型小結(jié)，一題20問(wèn) 86【題型1】鉛垂高最值 96【題型2】構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值 98【題型3】幾何構(gòu)造求最值 100題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型模塊一：將軍飲馬等8類常見(jiàn)最值問(wèn)題一、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【問(wèn)題1】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問(wèn)題解決：連接AB，與l交點(diǎn)即為P，兩點(diǎn)之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問(wèn)題2】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問(wèn)題解決：作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當(dāng)A，P，B'共線時(shí)取最小，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問(wèn)題3】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問(wèn)題解決：連接AB，當(dāng)A，B，P共線時(shí)取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問(wèn)題4】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問(wèn)題解決：作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（作兩次對(duì)稱）【問(wèn)題5】在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使△PMN周長(zhǎng)最小問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長(zhǎng) 【問(wèn)題6】P，Q為定點(diǎn)，在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長(zhǎng)，周長(zhǎng)最小值為P'Q'＋PQ 【問(wèn)題7】A，B分別為，上的定點(diǎn)，M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，求最小值問(wèn)題解決：分別作，關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，則，，即所求原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A'，N，M，B'共線時(shí)取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動(dòng)線段問(wèn)題（造橋選址）【問(wèn)題8】直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問(wèn)題解決：將點(diǎn)B向上平移MN的長(zhǎng)度單位得B'，連接B'M，當(dāng)AB'M共線時(shí)有最小值原理：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問(wèn)題9】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問(wèn)題解決：將B點(diǎn)向左移動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度，再作B'關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B''，當(dāng)共線有最小值原理：通過(guò)平移構(gòu)造平行四邊， 四、垂線段最短【問(wèn)題10】在直線，上分別求點(diǎn)A，B，使PB＋AB最小問(wèn)題解決：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作于A，交于B，即所求原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，五、相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬【問(wèn)題11】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問(wèn)題解決：相對(duì)運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形策略一：相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想過(guò)點(diǎn)A作MN的平行線，相對(duì)MN，點(diǎn)A在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問(wèn)題策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問(wèn)題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問(wèn)題12】如圖，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)軌跡？ 問(wèn)題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點(diǎn)軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問(wèn)題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問(wèn)題解決：取BC中點(diǎn)M，（1）則；（2）八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值這類問(wèn)題一般無(wú)法通過(guò)純幾何方法來(lái)解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過(guò)面積法或者構(gòu)造全等、相似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來(lái)表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過(guò)配方得到最值．【問(wèn)題14】正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，則線段長(zhǎng)度的最大值為.問(wèn)題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到，進(jìn)而根據(jù)相似比得到，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時(shí)有最大值，最大值為【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型（線段和差最值問(wèn)題）【例題1】透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)3】探究式子的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點(diǎn)在上，設(shè)，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

【題型2】雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱）【例題1】四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為?！纠}2】如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，°．【鞏固練習(xí)1】如圖所示，E為邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為。【鞏固練習(xí)2】如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，則周長(zhǎng)的最小值為．

【鞏固練習(xí)3】如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，連接，若，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

【題型3】動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持，線段在x軸上平移，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【例題2】如圖，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線的解析式為．【鞏固練習(xí)1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長(zhǎng)的最小值為．【題型4】垂線段最短【例題1】如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn)，OA＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)別為射線OP，OM上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_(kāi)________．MMFOAENP【例題2】如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)1】如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)，點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN＋NP的最小值為_(kāi)________．MMDCBAPNE【鞏固練習(xí)3】如圖，在矩形中，于點(diǎn)，，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【題型5】相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬【例題1】如圖，在矩形中，，把邊沿對(duì)角線平移，點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，的最小值為．

【例題2】如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)B、D重合），過(guò)點(diǎn)MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

【例題3】如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且．

將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，的最小值為_(kāi)_____．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知點(diǎn)P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動(dòng)時(shí)，PA+PB的最小值是。【鞏固練習(xí)2】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是。【鞏固練習(xí)3】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長(zhǎng)的最小值為?！绢}型6】化斜為直，斜大于直【例題1】如圖，直線，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，線段交直線于點(diǎn)．設(shè)直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_(kāi)____．【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則的最大值是．【鞏固練習(xí)1】如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則CE的最大值為_(kāi)________．AAFBDEC【鞏固練習(xí)2】如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為。【鞏固練習(xí)3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長(zhǎng)的取值范圍為.【鞏固練習(xí)4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AE的最大值為_(kāi)________，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．CCDBEA【題型7】構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值【例題1】如圖，點(diǎn)，，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．則的最小值是【例題2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．【鞏固練習(xí)1】如圖，中，，，為中點(diǎn)．、是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以相同的速度從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到停止．當(dāng)為時(shí)，的面積最大．【鞏固練習(xí)2】如圖，△ABC和△ABD是兩個(gè)全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點(diǎn)M，則AM長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)____________．AABDCQPM【鞏固練習(xí)3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AP＝EQ\F(1,4)AC，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交邊AB、AD于點(diǎn)E、F，連接CE、CF，則四邊形AECF的面積的最小值為_(kāi)__________．AADFCBEP【鞏固練習(xí)4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為_(kāi)__________．EEFBCDA【題型8】通過(guò)瓜豆得出軌跡后將軍飲馬【例題1】在中，斜邊，，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【例題2】如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P，如果將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”．如圖2，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【鞏固練習(xí)1】等邊邊長(zhǎng)為6，是中點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，連接，在下方作等邊，則周長(zhǎng)的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點(diǎn)，連接MA，將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．模塊二：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題胡不歸模型講解如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。? ，記，即求BC＋kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC＋CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最?。绢}型1】胡不歸模型·已有相關(guān)角直接作垂線【例題1】如圖，，，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．【例題2】如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)M在線段上，且．點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）°；（2）的最小值為．【例題3】如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值是．

【鞏固練習(xí)1】如圖，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

【鞏固練習(xí)3】如圖，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，B，對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)C到x軸的距離為．點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，另一點(diǎn)從C出發(fā)，先以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，則時(shí)間最短為秒．【題型2】胡不歸模型·構(gòu)造相關(guān)角再作垂線【例題1】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．

【例題2】如圖，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，則的最小值為3．【鞏固練習(xí)1】如圖所示，在中，，M為線段上一定點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滿足的值最小時(shí)，則．【鞏固練習(xí)2】如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8【鞏固練習(xí)3】如圖，是圓的直徑，，弧，點(diǎn)是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值為A． B． C． D．【鞏固練習(xí)4】如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

模塊三：阿氏圓與胡不歸最值問(wèn)題阿氏圓模型講解【模型來(lái)源】所謂阿圓，就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿圓．其本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似．【模型建立】如圖1所示，⊙O的半徑為R，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知R＝OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA＋PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使OC＝R，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，則有PB＝PC。故本題求“PA＋PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA＋PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA＋PC”值最小?！绢}型1】?jī)啥c(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）【例題1】如圖，在中，，，，圓的半徑為2，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．求①；②；③；④的最小值．【例題2】如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，內(nèi)切圓O上一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、DP，則AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值為_(kāi)_____．【例題3】如圖，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【鞏固練習(xí)1】如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)______．【鞏固練習(xí)2】如圖，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【鞏固練習(xí)3】如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為4eq\r(3)，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，則BP＋eq\f(1,2)CP的最小值為_(kāi)_____________．【鞏固練習(xí)4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，點(diǎn)P為以O(shè)A為半徑的圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PM＋eq\f(1,2)PN的最小值為_(kāi)______________【鞏固練習(xí)5】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．

【題型2】?jī)牲c(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）【例題1】如圖，∠AOB=90°，OA=OB=1，圓O的半徑為eq\r(2)，P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，PA+eq\r(2)PB的最小值為_(kāi)_______．【鞏固練習(xí)1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn)，2PA+PB的最小值為_(kāi)_______．【鞏固練習(xí)2】如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【題型3】一內(nèi)一外提系數(shù)【例題1】如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【鞏固練習(xí)1】如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，在上，的最大值是，的最小值是【題型4】隱圓+阿氏圓【例題1】如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，P是的中點(diǎn)，連接，若，則的最小值為．

【例題2】如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為上一點(diǎn)，且，N為邊上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿翻折得到，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)1】如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，是外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是 ．【鞏固練習(xí)3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、、，點(diǎn)P在第一象限，且，則的最小值為．

模塊四：線段拼接最值問(wèn)題（逆等線模型）一、什么是逆等線段。兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且它們各自到某一定點(diǎn)的距離始終相等,那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段。二、解題步驟:1.找三角形。找一條逆等線段，一條動(dòng)線段構(gòu)成的三角形。(圖中本身就有的三角形，不要添加輔助線以后構(gòu)成的三角形)2.確定該三角形的不變量。在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，該三角形有一個(gè)邊長(zhǎng)度不變，有一個(gè)角的大小不變。3.從另一逆等線段的定點(diǎn)引一條線。使得線段長(zhǎng)度等于第二步中的那個(gè)不變的邊長(zhǎng)，與這個(gè)逆等線段的夾角等于第二步中那個(gè)不變的角。4.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題求最值。【模型解讀】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來(lái)。一般情況下，題目中有兩個(gè)沒(méi)有首尾相連的線段相等，即兩定兩動(dòng)，也歸為逆等線問(wèn)題。觀察圖形，我們很容易發(fā)現(xiàn)，AD和CE沒(méi)有首尾相連，所以，一般通過(guò)平移或者作平行等方法構(gòu)造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)移，從而使逆等線段產(chǎn)生關(guān)系，最終解決問(wèn)題。

這樣解釋很籠統(tǒng)很枯燥，我們以具體例題來(lái)描述如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等。②即過(guò)點(diǎn)C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線，本題中，也可以利用三角形三邊關(guān)系去求最值⑤求BF【題型1】平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O，F(xiàn)，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF＋FE＋EC的最小值為_(kāi)________．AADBCFEO【鞏固練習(xí)1】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)Q在邊BC上，且，連接CP，QD，則的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)3】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，．（1）的長(zhǎng)為；（2）的最小值為．【題型2】構(gòu)造SAS型全等拼接線段【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線AC和邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【例題2】如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為．【鞏固練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則BD＋EF的最小值為_(kāi)__________．AABCDEF【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為邊BC上一點(diǎn)，AE＝AD，M、N分別為線段AE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝EN，連接DM、DN，則DM＋DN的最小值為_(kāi)__________．AABCDNEM【鞏固練習(xí)3】如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為_(kāi)__________．AADBCEF【鞏固練習(xí)4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)D，E分別為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【鞏固練習(xí)5】如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【鞏固練習(xí)6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連結(jié)BD，CE，則BD+CE的最小值為．【題型3】加權(quán)逆等線【例題1】如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【例題2】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．

【鞏固練習(xí)1】如圖，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，D點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，且CE＝2BD，則AE＋2CD的最小值為_(kāi)_______【鞏固練習(xí)2】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是。【鞏固練習(xí)3】如圖，等腰直角△ABC中，斜邊BC=2，點(diǎn)D、E分別為線段AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，，求的最小值.【題型4】取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算【例題1】如圖，已知直線AB：y＝分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)H，且AD＝CE．當(dāng)BD+BE的值最小時(shí)，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______【例題2】如圖（1），在中，，，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過(guò)點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【鞏固練習(xí)1】如圖，為等邊的高，M、N分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，．【鞏固練習(xí)2】如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時(shí)起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動(dòng)．確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)紹點(diǎn)距離之和PB+QB最小時(shí)，∠PBQ的度數(shù)為．【鞏固練習(xí)3】如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，點(diǎn)M，N分別為CB，CA上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BM＝CN，則當(dāng)AM+BN取最小值時(shí)，CN＝ ．模塊五：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求最值（瓜豆模型）初中階段如遇求軌跡長(zhǎng)度僅有2種類型：“直線型”和“圓弧型”（兩種類型中還會(huì)涉及點(diǎn)往返探究“往返型”），對(duì)于兩大類型該如何斷定，通常老師會(huì)讓學(xué)生畫(huà)圖尋找3處以上的點(diǎn)來(lái)確定軌跡類型進(jìn)而求出答案，對(duì)于填空選擇題而言不外乎是個(gè)好方法，但如果要進(jìn)行說(shuō)理很多考生難以解釋清楚一、我們先來(lái)解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．只要滿足：則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。1、兩“動(dòng)”，一“定”2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值【例題1】三種處理策略如圖，D、E是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC上的中點(diǎn)，P為中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，把線段PC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到P’，EP’的最小值【分析】結(jié)合這個(gè)例題我們?cè)賮?lái)熟悉一下瓜豆模型第一層：點(diǎn)P’運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線嗎？ 答：是直線，可以通過(guò)P在A，D時(shí)，即始末位置時(shí)P’對(duì)應(yīng)的位置得到直線軌跡，對(duì)于選填題，可找出從動(dòng)點(diǎn)的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說(shuō)理則需要構(gòu)造手拉手證明.第二層：點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度相同嗎？ 答：因?yàn)辄c(diǎn)P’與點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離相等，則有運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度相等，若要說(shuō)理則同樣需要構(gòu)造手拉手結(jié)構(gòu)，通過(guò)全等證明.第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，其實(shí)只要再找一組對(duì)應(yīng)的主從點(diǎn)即可，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是從P點(diǎn)的軌跡即線段AD中再找一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行與P點(diǎn)類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段AD中的點(diǎn)A繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即為點(diǎn)B，連接BP’即可得到一組手拉手模型，雖然前面說(shuō)是任意點(diǎn)，但一般來(lái)說(shuō)我們選擇一個(gè)特殊位置的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位置也是比較容易確定的，比如說(shuō)點(diǎn)D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較方便． 第四層：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因?yàn)锽為定點(diǎn)，所以得到P’軌跡為直線BP’第五層：點(diǎn)P和點(diǎn)P’軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系答：不難得出本題主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍角，那么主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補(bǔ)角，這個(gè)在后面的例題中會(huì)出現(xiàn).大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過(guò)找從動(dòng)點(diǎn)的始末位置快速定位軌跡線段，或者通過(guò)構(gòu)造手拉手，通過(guò)全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動(dòng)點(diǎn)P’的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長(zhǎng)得到最小值，那么還有其他方法嗎？答：還可以對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下．將點(diǎn)EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造手拉手模型(SAS全等型)，從而得到P’E＝PG，最小值即為點(diǎn)G到AD的距離． 要注意的是因?yàn)橐鷵QP’E，所以E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P’P，所以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求軌跡時(shí)的旋轉(zhuǎn)方式則是PP’，注意區(qū)分.解析策略一：找從動(dòng)點(diǎn)軌跡連接BP’，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCP’，∴△ACP≌△BCP’(SAS)，∴∠CBP’＝∠CAP，∵邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，P是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴∠CAP＝30°，BD＝2，∴∠CBP’＝30°，即點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BP’，∴當(dāng)DP’⊥BP’時(shí)，EP’最短，此時(shí)，EP’＝EQ\F(1,2)BD+ED＝+2＝3∴EP’的最小值是3策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)造手拉手代換所求線段將點(diǎn)E繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)G，連接PG，CG，EP’由旋轉(zhuǎn)可得EC＝CG，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，∴△ECG是等邊三角形，EG＝2∵∠PCP’＝∠ECG∴∠PCG＝∠ECP’∴△GCP≌△ECP’(SAS)，∴EP’＝GP，過(guò)點(diǎn)G作AD的垂線GH垂足為H，GH即為所求．∵∠GEC＝∠ACD∴HE∥DC∵∠GHD＝∠ADC∴HG∥DC故G，E，H三點(diǎn)共線，則有HE∥DC又E是AC中點(diǎn)，分線段成比例可知H是AD中點(diǎn)∴HE＝∴EP’的最小值是3總共提到了3種處理方式：1.找始末，定軌跡2.在軌跡上找一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過(guò)角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)軌跡.3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構(gòu)造.【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問(wèn)題已知點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y＝－2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC.角度1：反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手（不用求從動(dòng)點(diǎn)軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短）（1）求OC的最小值【簡(jiǎn)析】如圖，構(gòu)造等腰直角△AOE，由旋轉(zhuǎn)相似可知角度2：構(gòu)造手拉手求從動(dòng)點(diǎn)軌跡：（2）求的最小值【簡(jiǎn)析】，求出C點(diǎn)軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點(diǎn)軌跡上取一點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知，可知C點(diǎn)軌跡為，作，，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)三邊之比 角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)線段和（3）記，①求的最小值；②求的最小值【簡(jiǎn)析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知，則②，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)相似比【瓜豆圓介紹】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．【題型1】構(gòu)造中位線【例題1】如圖，正方形的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

【例題2】如圖，正方形的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

【鞏固練習(xí)1】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【鞏固練習(xí)3】如圖所示，，，以為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使，則長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_______．【題型2】直線型軌跡（三種解題策略）【例題1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【例題2】如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．

【鞏固練習(xí)1】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),連接DP,將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使∠1=∠2,且過(guò)點(diǎn)D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為 【鞏固練習(xí)2】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，求的最小值．

【鞏固練習(xí)3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是．

【鞏固練習(xí)4】如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)5】如圖，在中，，，對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則長(zhǎng)的最小值為．

【鞏固練習(xí)6】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式訓(xùn)練】雙動(dòng)點(diǎn)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則AG的最小值為．【題型3】線段和【例題1】如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

【鞏固練習(xí)1】如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則的最小值是．【鞏固練習(xí)2】如圖，已知∠CAB＝30°，AB＝2，點(diǎn)D在射線AC上，以BD為邊作正方形BDEF，連接AE、BE，則AE＋BE的最小值為_(kāi)__________．CCABDEF【題型4】圓弧型軌跡【例題1】如圖，，為的中點(diǎn)，的半徑為1，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)、、按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校瑒t線段的長(zhǎng)的取值范圍為． 【例題2】如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC【鞏固練習(xí)1】如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【鞏固練習(xí)2】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)并縮短到原來(lái)的一半，得到線段，連接，則的最小值是．

【鞏固練習(xí)3】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝90°，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接AQ，若AB＝2，則線段AQ的最大值為_(kāi)__________．AADBCPQ【題型5】加權(quán)線段和【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點(diǎn)E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，連接BE，BF，求BE＋的最小值．AADBCEF【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AQ，連接OQ，PQ，求＋PQ的最小值．xxyOAPQ【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【題型6】路徑長(zhǎng)度類問(wèn)題【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，以CE為邊在CE的右側(cè)構(gòu)造正方形CEFG，連接AF，則AF的最小值為_(kāi)________，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．FFDAGCEB【鞏固練習(xí)1】如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，在點(diǎn)E從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑=，△CEF面積的最小值是．【鞏固練習(xí)2】如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，則．若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．

【題型7】取到最值時(shí)求其它量【例題1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為；當(dāng)線段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為【鞏固練習(xí)1】如圖，線段，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，在的上方作，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的面積為．

【鞏固練習(xí)2】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DF，連接CF，當(dāng)CF取得最小值時(shí)，求的值．AAFDCBE【鞏固練習(xí)3】如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．模塊六：費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】【問(wèn)題提出】如圖△ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求此時(shí)∠APB與∠APC的度數(shù).【問(wèn)題處理】如圖1，將△ACP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△A’CP’，則△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等邊三角形，∴PP’＝PC，PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P’、A’共線時(shí)，PA＋PB＋PC最小，最小值為A’B，此時(shí)∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°【問(wèn)題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形的等角中心；對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)．【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3，連接AA’，我們發(fā)現(xiàn)△ACA’為等邊三角形，點(diǎn)P在A’B上，同理，我們可以得到等邊△BAB’，點(diǎn)P也在CB’上，因此，我們可以以△ABC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120°時(shí)）【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．【答案】【分析】如圖，以AC為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，BD的長(zhǎng)即為PA+PB+PC的最小值．至于點(diǎn)P的位置？這不重要！如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，即可得出結(jié)果．【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為_(kāi)_____．【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問(wèn)題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解決方法類似，也是通過(guò)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過(guò)要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法?！绢愋鸵粏蜗禂?shù)類】當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比【例3】在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值【練習(xí)2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值【類型二多系數(shù)類】其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.

將最小系數(shù)提到括號(hào)外；2.

中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.

最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形?！纠?】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接，則（1）的最小值為_(kāi)_______；（2）的最小值為_(kāi)_______【簡(jiǎn)答】（1）將最小系數(shù)提到括號(hào)外，得到中間大小系數(shù)為，故放大倍數(shù)為倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△PBC．如圖1，將△PBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大為倍，，．．（2）將最小系數(shù)提到括號(hào)外，得到，如圖2，將△APB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大為倍，，．【練習(xí)3】如圖，在△ABC中，，，，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接，則的最小值為_(kāi)_______．【簡(jiǎn)答】將△PAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得到，，，，，，由勾股定理可得，的最小值為.【題型1】普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問(wèn)題【例題1】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB＋PC的最小值為_(kāi)_______【例題2】如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是．【鞏固練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．CCABP【鞏固練習(xí)2】1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【鞏固練習(xí)3】背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過(guò)的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．【題型2】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型【例題1】已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則的最小值是．【鞏固練習(xí)1】如圖，中，，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，則的最小值為.【鞏固練習(xí)2】如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．將沿著翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，若點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、、，則的最小值為．

【題型3】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型【例題1】在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求3AP＋4BP＋PC的最小值【鞏固練習(xí)1】在邊長(zhǎng)為4的正△ABC中有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）2的最小值【鞏固練習(xí)2】如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【鞏固練習(xí)3】在中，，，的角平分線交于，過(guò)作射線的垂線，垂足為，連接，當(dāng)取大值時(shí)，在內(nèi)部取點(diǎn)，則的最小值是．

模塊七：隱圓最值問(wèn)題一、定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓在幾何圖形中，通過(guò)折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為繞定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的圓，從而畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)軌跡，并進(jìn)行計(jì)算 二、直角的對(duì)邊是直徑前世：在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對(duì)的∠C=90°今生：若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑徑的圓上．(此類型本來(lái)屬于定弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊，故單獨(dú)分為一類) 三、對(duì)角互補(bǔ)前世：在⊙O上任意四點(diǎn)A，B，C，D所圍成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)今生：若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓 四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一種變形形式，其依據(jù)是已知定角，則根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓弧，再畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行計(jì)算．前世：在⊙O中，若弦AB長(zhǎng)度固定則弦AB所對(duì)的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用) 今生：若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知C點(diǎn)并不是唯一固定的點(diǎn)，C在⊙O的優(yōu)弧ACB上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)；等于90°，則C在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°則C在劣弧運(yùn)動(dòng))五、四點(diǎn)共圓模型 前世:在⊙O中，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)今生:若四邊形ABCD中有∠1=∠2(通常情況下∠5=∠6對(duì)頂角相等，故不需要∠3=∠4，實(shí)際應(yīng)用中長(zhǎng)用∠1=∠2，∠5=∠6)則ABCD四點(diǎn)(某些不能直接使用四點(diǎn)共圓的地區(qū)，可以通過(guò)證明兩次三角形相似也可)，選填題可以直接使用六、定角定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則△ABC的面積有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型? 問(wèn)題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會(huì)隨著A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化的。從而弦BC的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個(gè)最小值。所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值．一般是考查直角三角形，此時(shí)我們可以取斜邊中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及斜垂關(guān)系來(lái)解決面積最小值問(wèn)題；通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的問(wèn)題．這類問(wèn)題都是在等腰時(shí)取得最小值．當(dāng)定角不是直角時(shí)，通過(guò)構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決周長(zhǎng)最小值的方法仍然適用，而面積最小值可以通過(guò)構(gòu)造三角形的外心或外接圓來(lái)解決．七、米勒角（最大張角）問(wèn)題【問(wèn)題提出】己知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在何處時(shí)，∠APB最大?米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題.米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大。知識(shí)鋪墊：對(duì)于同一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，同弧所對(duì)的圓周角＞圓外角，即 問(wèn)題解決證明：在直線l上任取一點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），連接AQ、BQ，∠AQB即為圓O的圓外角∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大【題型1】定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，G為EF的中點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為？【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】在矩形中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到，連接，若的最小值為2，則的長(zhǎng)為．

【鞏固練習(xí)2】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)是．【鞏固練習(xí)3】如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為．

【題型2】直角的對(duì)邊是直徑【例題1】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝BF，連接DE與AF交于點(diǎn)G，連接BG，則BG的最小值為_(kāi)________．CCBGDAEF【例題2】在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)，連結(jié)．點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為．

【鞏固練習(xí)1】如圖，在中，，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝6，OC＝4，點(diǎn)D是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊作矩形CDEF，使得邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)__________．xxBAODCyEF【鞏固練習(xí)3】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為．

【鞏固練習(xí)4】如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

【題型3】對(duì)角互補(bǔ)得圓【例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝__________.【例題2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，∠BAC=60°，點(diǎn)E在AB上，且BE：AB=1：3，點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以線段EF為斜邊在點(diǎn)B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF，連接CG，當(dāng)CG最小時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】如圖，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為．【鞏固練習(xí)3】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，且，點(diǎn)M、N分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【題型4】定弦定角得圓【例題1】如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，動(dòng)點(diǎn)在邊上（與點(diǎn)，均不重合），點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)，連接當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．

【例題2】如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠DAC＝45°，則AB2＋AC2的最大值為_(kāi)__________．DDBCA【鞏固練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD＝3DC，若AD＝1，則△ABC的面積的最大值為_(kāi)___________．AABCD【鞏固練習(xí)2】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝120°，連接AP，則AP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．AABCP【鞏固練習(xí)3】在菱形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊上一動(dòng)點(diǎn)，與始終相等，連結(jié)，交點(diǎn)為E，連結(jié)，則的最小值是．【題型5】四點(diǎn)共圓【例題1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則EQ\F(DE,AD)的最大值為_(kāi)__________．CCABED【鞏固練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq\r(,3)，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A、D、E三點(diǎn)的圓交EC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值是___________．AABCEDF【鞏固練習(xí)2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝120°，連接EF，則線段EF長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．AABCDEF【題型6】相切時(shí)取到最值【例題1】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，BG⊥AE于點(diǎn)G，連接CG并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則AF的最大值為_(kāi)__________．AADBCEGF【鞏固練習(xí)1】如圖，在矩形中，，M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)P時(shí)，連接，則的面積為；的最大值為．

【鞏固練習(xí)2】△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是．【鞏固練習(xí)3】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則線段AE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．CCBDAE【題型7】定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問(wèn)題【例題1】如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，AH⊥l于H，AH＝2，點(diǎn)B、C是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC＝90°，探究△ABC面積的最小值和周長(zhǎng)的最小值，并說(shuō)明理由．AABCHl【例題2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝60°，求△AEF面積的最小值．AADBCEF【鞏固練習(xí)1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【鞏固練習(xí)2】如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離為2，點(diǎn)B、C是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC＝30°，求線段BC長(zhǎng)度的最小值．AABCHl【鞏固練習(xí)3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上．的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，連接．（1）求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型8】米勒角（最大張角）模型【例題1】如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP＝．【例題2】在直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（1，4），N（﹣1，2），在x軸的正半軸上，求一點(diǎn)P，使∠MPN最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為【鞏固練習(xí)1】如圖，A，B表示足球門(mén)邊框（不考慮球門(mén)的高度）的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門(mén)點(diǎn)，連接AC，BC，則∠ACB就是射門(mén)角．在不考慮其它因素的情況下，一般射門(mén)角越大，射門(mén)進(jìn)球的可能性就越大．球員甲帶球線路ED與球門(mén)AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時(shí)就是帶球線路ED上的最佳射門(mén)角．若AB＝4，BD＝1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門(mén)角時(shí)DC的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C． D．【鞏固練習(xí)2】如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是米.【鞏固練習(xí)3】輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．模塊八：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題一題可破萬(wàn)題山——二次函數(shù)最值常見(jiàn)模型小結(jié)，一題20問(wèn)母題：如圖，已知拋物線過(guò)A（4，0）、B