2022北京海淀高一（上）期末數(shù)學(xué)真題試卷（包含答案解析）

1/12022北京海淀高一（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，1，2，3，，，則A．， B． C． D．，1，2．命題“，都有”的否定為A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，使得3．已知，則A． B． C． D．4．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是A． B． C． D．5．米接力賽是田徑運(yùn)動(dòng)中的集體項(xiàng)目，一根小小的木棒，要四個(gè)人共同打造一個(gè)信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)米接力賽，教練組根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合．已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是A． B． C． D．7．已知某產(chǎn)品的總成本（單位：元）與年產(chǎn)量（單位：件）之間的關(guān)系為，設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為時(shí)的平均成本為（單位：元件），則的最小值是A．30 B．60 C．900 D．18008．邏輯斯蒂函數(shù)二分類的特性在機(jī)器學(xué)習(xí)系統(tǒng)，可獲得一個(gè)線性分類器，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的分類，下列關(guān)于函數(shù)的說法錯(cuò)誤的是A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱 B．函數(shù)的值域?yàn)?C．不等式的解集是 D．存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根9．甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的八次測試得分情況如圖，則下列結(jié)論正確的是A．甲得分的極差大于乙得分的極差 B．甲得分的分位數(shù)大于乙得分的分位數(shù) C．甲得分的平均數(shù)小于乙得分的平均數(shù) D．甲得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙得分的標(biāo)準(zhǔn)差10．已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)），．若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，則的最小值是A．4 B．2 C．1 D．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．函數(shù)的定義域是．12．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值是．13．定義域?yàn)?，值域?yàn)榈囊粋€(gè)減函數(shù)是．14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是．15．已知函數(shù)且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使得有最小值；②對(duì)任意實(shí)數(shù)且，都不是上的減函數(shù)；③存在實(shí)數(shù)，使得的值域?yàn)?；④若，則存在，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（9分）已知集合，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（10分）已知函數(shù)且，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，說明理由；（Ⅱ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（Ⅲ）若不大于（2），直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．條件①：，；條件②：，．18．（10分）某工廠有甲、乙兩條相互獨(dú)立的產(chǎn)品生產(chǎn)線，單位時(shí)間內(nèi)甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量之比為，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從甲、乙兩條生產(chǎn)線得到一個(gè)容量為100的樣本，其部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示（單位：件）．一等品二等品甲生產(chǎn)線76乙生產(chǎn)線2（Ⅰ）寫出，的值；（Ⅱ）從上述樣本的所有二等品中任取2件，求至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率；（Ⅲ）以抽樣結(jié)果的頻率估計(jì)概率，現(xiàn)分別從甲、乙兩條產(chǎn)品生產(chǎn)線隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，記表示從甲生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中恰好有5件一等品的概率，表示從乙生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中恰好有5件一等品的概率，試比較和的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）19．（11分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，都存在滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)（a）．（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，說明理由；①；②，．（Ⅱ）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且具有性質(zhì)，則“存在零點(diǎn)”是“”的條件，說明理由；（橫線上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”（Ⅲ）若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，，具有性質(zhì)（a），求實(shí)數(shù)的值．選做題：（本題滿分0分。所得分?jǐn)?shù)可計(jì)入總分，但整份試卷得分不超過100分）20．2015年10月5日，我國女藥學(xué)家屠呦呦獲得2015年諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)．屠呦呦和她的團(tuán)隊(duì)研制的抗瘧藥青蒿素，是科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的重大突破，開創(chuàng)了瘧疾治療新方法，挽救了全球特別是發(fā)展中國家數(shù)百萬人的生命，對(duì)促進(jìn)人類健康、減少病痛發(fā)揮了難以估量的作用．當(dāng)年青蒿素研制的過程中，有一個(gè)小插曲：雖然青蒿素化學(xué)成分本身是有效的，但是由于實(shí)驗(yàn)初期制成的青蒿素藥片在胃液中的溶解速度過慢，導(dǎo)致藥片沒有被人體完全吸收，血液中青蒿素的濃度（以下簡稱為“血藥濃度”的峰值（最大值）太低，導(dǎo)致藥物無效．后來經(jīng)過改進(jìn)藥片制備工藝，使得青蒿素藥片的溶解速度加快，血藥濃度能夠達(dá)到要求，青蒿素才得以發(fā)揮作用．已知青蒿素藥片在體內(nèi)發(fā)揮作用的過程可分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段為藥片溶解和進(jìn)入血液，即藥品進(jìn)入人體后會(huì)逐漸溶解，然后進(jìn)入血液使得血藥濃度上升到一個(gè)峰值；第二個(gè)階段為吸收和代謝，即進(jìn)入血液的藥物被人體逐漸吸收從而發(fā)揮作用或者排出體外，這使得血藥濃度從峰值不斷下降，最后下降到一個(gè)不會(huì)影響人體機(jī)能的非負(fù)濃度值．人體內(nèi)的血藥濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，不會(huì)發(fā)生驟變，現(xiàn)用表示時(shí)間（單位：，在時(shí)人體服用青蒿素藥片；用表示青蒿素的血藥濃度（單位：，根據(jù)青蒿素在人體發(fā)揮作用的過程可知，是的函數(shù)．已知青蒿素一般會(huì)在1.5小時(shí)達(dá)到需要血藥濃度的峰值．請(qǐng)根據(jù)以上描述完成下列問題：（Ⅰ）下列幾個(gè)函數(shù)中，能夠描述青蒿素血藥濃度變化過程的函數(shù)的序號(hào)是；①②③④（Ⅱ）對(duì)于青蒿素藥片而言，若血藥濃度的峰值大于等于，則稱青蒿素藥片是合格的．基于（Ⅰ）中你選擇的函數(shù)（若選擇多個(gè)，則任選其中一個(gè)），可判斷此青蒿素藥片；（填“合格”、“不合格”（Ⅲ）記血藥濃度的峰值為，當(dāng)時(shí)，我們稱青蒿素在血液中達(dá)到“有效濃度”，基于（Ⅰ）中你選擇的函數(shù)（若選擇多個(gè)，則任選其中一個(gè)），計(jì)算青蒿素在血液中達(dá)到“有效濃度”的持續(xù)時(shí)間是．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】利用交集的定義直接求解．【解答】解：集合，1，2，3，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集的定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意，由全稱命題和特稱命題的關(guān)系，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，命題“，都有”是全稱命題，其否定為：，使得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，注意全稱命題和特稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出（2），（3）函數(shù)值的符號(hào)，利用零點(diǎn)判定定理判斷即可．【解答】解：函數(shù)，是減函數(shù)，又（2），（3），可得（2）（3），由零點(diǎn)判定定理可知：函數(shù)，包含零點(diǎn)的區(qū)間是：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意函數(shù)的單調(diào)性的判斷．5．【分析】根據(jù)對(duì)立事件和獨(dú)立事件求概率的方法可求得答案．【解答】解：該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，三次交接棒不失誤的概率分別為，，，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件和獨(dú)立事件求概率的方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和單調(diào)性，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，是指數(shù)函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意，對(duì)于，，是二次函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意，對(duì)于，，在上為增函數(shù)，符合題意，對(duì)于，，是對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?，不符合題意，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，注意常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】先求出的解析式，然后根據(jù)基本不等式即可求解．【解答】解：由題意可得該產(chǎn)品年產(chǎn)量為時(shí)的平均成本為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為60，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及到基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】選項(xiàng)，代入，計(jì)算和，可得對(duì)稱性；選項(xiàng)，由和分式函數(shù)的值域可求出結(jié)果；選項(xiàng)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷正誤．【解答】解：對(duì)于，，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，故正確；對(duì)于，易知，所以，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，故正確；對(duì)于：由容易判斷，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以不等式的解集是，故正確；對(duì)于：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以方程不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)（對(duì)稱性、單調(diào)性、值域），屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)特征進(jìn)行判斷即可得解．【解答】解：對(duì)于，乙組數(shù)據(jù)最大值為29，最小值為5，極差為24，甲組數(shù)據(jù)最大值小于29，最小值大于5，故錯(cuò)誤；對(duì)于，甲得分的分位數(shù)是，乙得分的分位數(shù)是17，故正確；對(duì)于，甲組具體數(shù)據(jù)不易看出，不能判斷甲得分的平均數(shù)與乙得分的平均數(shù)的大小關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于，乙組數(shù)據(jù)更集中，標(biāo)準(zhǔn)差更小，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖、莖葉圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的對(duì)稱軸為，由此可得，又由，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)為二次函數(shù)，若，則的對(duì)稱軸為，若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，則有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值是2，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件建立不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，即，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，且是奇函數(shù)，，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的變換，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求函數(shù)可以為指數(shù)函數(shù)變換形式，如；故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)解析式的求法，注意函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性．14．【分析】由函數(shù)的定義域可得，再分，，三種情況討論，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，，①?dāng)時(shí)，，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，，則等價(jià)于，，，即，，，此方程無解，③當(dāng)時(shí)，，則等價(jià)于，，，即，，，即，則符合題意，綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．15．【分析】舉例說明①正確；由是上的減函數(shù)列式求解的范圍判斷②；由的值域?yàn)榱嘘P(guān)于的不等式組，求解的范圍判斷③；畫出圖形，數(shù)形結(jié)合判斷④．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)有最小值，故①正確；對(duì)于②，若是上的減函數(shù)，則，解得，對(duì)任意實(shí)數(shù)且，都不是上的減函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，若的值域?yàn)?，需，得，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，函數(shù)的圖象如圖所示：直線與曲線一定有交點(diǎn)，即存在，使得，故④正確．正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）求出集合，，利用交集的定義求出；（Ⅱ）由集合或，，，得到，由此求出的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）集合或，．當(dāng)時(shí)，，或；（Ⅱ）集合或，，，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集的定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）定義域?yàn)?，代入化簡可得出與的關(guān)系，從而判斷奇偶性；（Ⅱ）任取，，且，作差判斷的正負(fù)，可得出單調(diào)性；（Ⅲ）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可得到與2的不等關(guān)系，求解可得的取值范圍．【解答】解：選擇條件①：（Ⅰ），，函數(shù)是偶函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)?，?duì)任意，則，，函數(shù)是偶函數(shù)．（Ⅱ）在上是增函數(shù)．證明如下：任取，，且，則，，，，，，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)．（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．選擇條件②：，，（Ⅰ）函數(shù)是奇函數(shù)，理由如下：的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意，則，，函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅱ）在上是減函數(shù)．證明如下：任取，，且，，，，，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷與求法，考查函數(shù)的奇偶、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，由此能求出，的值．（Ⅱ）為“至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品”這一事件，首先列出從6件二等品中任取2件的所有結(jié)果，然后再找出事件所包含是基本事件，從而利用古典概型的概率公式即可求出答案．（Ⅲ）根據(jù)樣本中甲、乙產(chǎn)品中一等品的概率，同時(shí)結(jié)合二項(xiàng)分布即可比較大?。窘獯稹拷猓海á瘢┯深}意知，解得，．（Ⅱ）記樣本中甲生產(chǎn)線的4件二等品為，，，，乙生產(chǎn)線的2件二等品為，，從6件二等品中任取2件，所有可能的結(jié)果有15個(gè)，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，記為“至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品”這一事件，則中的結(jié)果只有一個(gè)，是，，至少有1件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率為．（Ⅲ）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）①根據(jù)舉例說明當(dāng)時(shí)，不存在，從而函數(shù)不具有性質(zhì)；②取，得到，從而，具有性質(zhì)；（Ⅱ）分存在零點(diǎn)，證明，，，具有性質(zhì)（1）時(shí)，，由此推導(dǎo)出“存在零點(diǎn)”是“”的充分而不必要條件；（Ⅲ）令函數(shù)，，的值域?yàn)?，，，的值域，．若函?shù)有性質(zhì)（a），則對(duì)，，，，使得成立，所以，分情況討論的取值范圍，能求出實(shí)數(shù)的值．【解答】解：（Ⅰ）①函數(shù)不具有性質(zhì)．理由如下：對(duì)于，，，，不存在滿足，函數(shù)不具有性質(zhì)．②函數(shù)，具有性質(zhì)．理由如下：對(duì)于，取，則，，函數(shù)，具有性質(zhì)．（Ⅱ）“存在零點(diǎn)”是“”的充分而不必要條件．理由如下：若存在零點(diǎn)，令，，，則，，，取，則，且，具有性質(zhì)（1），但，．若，具有性質(zhì)（1），取，則存在，使得，，存在零點(diǎn)，綜上，“存在零點(diǎn)”是“”的充分而不必要條件．故答案為：充分而不必要．（Ⅲ）記函數(shù)，，的值域?yàn)椋瘮?shù)，，的值域?yàn)椋?，存在唯一的?shí)數(shù)，使得函數(shù)成立，．當(dāng)時(shí)，，，，其值域，，由，得．當(dāng)，且