浙江省舟山市市東海中學2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

浙江省舟山市市東海中學2021-2022學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=，則關于x的方程2nf（x）﹣1=0（n∈N*）的所有解的和為(

) A．3n2+3n B．3×2n+2+9 C．3n+2+6 D．9×2n+1﹣3參考答案：D考點：數(shù)列的求和；分段函數(shù)的應用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：作出函數(shù)y=f（x），的圖象：當n=1時，方程f（x）=的所有根之和為：=3×（1+2+22+22）．依此類推：取n時，方程f（x）=的所有根之和為：3（1+2+22+…+2n+1+2n+1），即可得出．解答： 解：根據(jù)f（x）=，y1=，y2=，…，．作出圖象：當n=1時，方程f（x）=的所有根之和為：=3+6+12+12=3×（1+2+22+22）．依此類推：取n時，方程f（x）=的所有根之和為：3（1+2+22+…+2n+1+2n+1）=+3×2n+1=9×2n+1﹣3．故選：D．點評：本題考查了函數(shù)圖象、方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．2.（5分）若（1﹣3x）2015=a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），則的值為（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3參考答案：C【考點】：二項式定理的應用．【專題】：計算題；二項式定理．【分析】：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），得展開式的每一項的系數(shù)ar，代入到=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015，求值即可．解：由題意得：展開式的每一項的系數(shù)ar=C2015r?（﹣3）r，∴=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015=0∴=﹣1．故選：C．【點評】：此題考查了二項展開式定理的展開使用及靈活變形求值，特別是解決二項式的系數(shù)問題時，常采取賦值法．3.已知,則(

)A.

B.C.

D.參考答案：D4.已知復數(shù)z滿足：則復數(shù)的虛部為（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)與虛部的定義即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．則復數(shù)=2+i的虛部為1．故選：C．5.下列命題中，真命題是（）A．“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”必要條件B．“?=0”是“⊥”充要條件C．?x∈R，x2+≥1D．?x∈R，cosx+sinx＞2參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷，B．根據(jù)向量垂直的等價條件進行判斷，C．根據(jù)基本不等式的性質(zhì)進行判斷，D．根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式，結合三角函數(shù)的有界性進行判斷．【解答】解：A．由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜1，則“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”充分不必要條件，故A錯誤，B．若⊥，則?=0成立，當==時，滿足?=0，但⊥不成立，故B錯誤，C．x2+=x2+1+﹣1≥2﹣1=2﹣1=1，當且僅當x2+1=，即x2+1=1，即x=0時取等號，故?x∈R，x2+≥1為真命題．D．cosx+sinx=sin（x+）∈[﹣，]，而2?[﹣，]，故?x∈R，cosx+sinx＞2錯誤，故D錯誤，故選：C6.雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（

）（A）

（B） （C）

（D）參考答案：A略7.（5分）（2015?臨潼區(qū)校級模擬）有一個幾何體是由幾個相同的正方體拼合而成（如圖），則這個幾何體含有的正方體的個數(shù)是（）A．7B．6C．5D．4參考答案：C【考點】：簡單空間圖形的三視圖．【專題】：作圖題；壓軸題．【分析】：根據(jù)三視圖的特征，畫出幾何體的圖形，可得結論．解：由左視圖、主視圖可以看出小正方體有7個，從俯視圖可以看出幾何體個數(shù)是5．如圖故選C．【點評】：本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查空間想象能力，是基礎題．8.程序框圖表示求式子23×53×113×233×473×953的值，則判斷框內(nèi)可以填的條件為（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？參考答案：B考點： 循環(huán)結構．

專題： 圖表型．分析： 先根據(jù)已知循環(huán)條件和循環(huán)體判定循環(huán)的次數(shù)，然后根據(jù)運行的后輸出的結果，從而得出所求．解答： 解：根據(jù)題意可知該循環(huán)體運行情況如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因為輸出結果是23×53×113×233×473×953的值，結束循環(huán)，判斷框應該是i≤100？．故選B．點評： 本題主要考查了循環(huán)結構，循環(huán)結構有兩種形式：當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構，以及周期性的運用，屬于基礎題．新課改地區(qū)高考?？碱}型．也可以利用循環(huán)的規(guī)律求解．9.

已知，則=

.參考答案：10.設全集，則為A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是

參考答案：原不等式等價為，即，所以不等式的解集為。12.某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到頻率分布直方圖(如圖所示)．則分數(shù)在[70,80)內(nèi)的人數(shù)是________參考答案：30略13.如右圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線，過A作直線的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，則線段AE的長為

．參考答案：4【知識點】選修4-1

幾何證明選講N1連接OC，BE，如下圖所示：

則∵圓O的直徑AB=8，BC=4，∴△OBC為等邊三角形，∠COB=60°

又∵直線l是過C的切線，故OC⊥直線l又∵AD⊥直線l∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4【思路點撥】連接OC，BE，由圓角定定理，我們可得BE⊥AE，直線l是過C的切線，故OC⊥直線l，△OBC為等邊三角形，結合等邊三角形的性質(zhì)及30°所對的直角邊等于斜邊的一半，我們易求出線段AE的長．14.已知命題p：不等式|x﹣1|＞m的解集是R，命題q：f（x）=在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實數(shù)m的范圍是

．參考答案：[0，2）【考點】復合命題的真假；絕對值不等式的解法．【專題】規(guī)律型．【分析】分別求出命題p，q成立的等價條件，然后根據(jù)若p或q為真命題，p且q為假命題，確實實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵不等式|x﹣1|＞m的解集是R，∴m＜0，即p：m＜0．若f（x）=在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，則2﹣m＞0，即m＜2，即q：m＜2．若p或q為真命題，p且q為假命題，則p，q一真一假．若p真，q假，則．此時m無解．若p假，q真，則，解得0≤m＜2．綜上：0≤m＜2．故答案為：0≤m＜2或[0，2）．【點評】本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系的應用，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關鍵．15.設向量，若，則實數(shù)

.參考答案：試題分析：由已知得，；由得所以有即，解得故答案為：.考點：向量的數(shù)量積的坐標運算.16.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R，若函數(shù)f（x）的最小值為f（﹣1）=0，則f（x）=．參考答案：x2+2x+1【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】通過二次函數(shù)的頂點坐標，得到參數(shù)a，b的方程，從而求出a，b的值，得到函數(shù)的解析式．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1的最小值為f（﹣1）=0，∴，∴，∴f（x）=x2+2x+1．故答案為：x2+2x+1．17.若方程

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù). （1）求函數(shù)的最小值； （2）若≥0對任意的恒成立，求實數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，證明：參考答案：解：（1）由題意，由得 當時,；當時，. ∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.……3分 即在處取得極小值，且為最小值， 其最小值為 …………4分 （2）對任意的恒成立，即在上，. 由（1），設，所以. 由得. 易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ∴

在處取得最大值，而. 因此的解為，∴. ………………8分（3）由（2）知，對任意實數(shù)均有，即.令，則.∴.……………………10分∴.略19.某大學為調(diào)研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分成6組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表：B餐廳分數(shù)頻數(shù)分布表分數(shù)區(qū)間頻數(shù)[0，10）2[10，20）3[20，30）5[30，40）15[40，50）40[50，60]35（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評分低于30的人數(shù)；（Ⅱ）從對B餐廳評分在[0，20）范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在[0，10）范圍內(nèi)的概率；（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．參考答案：【考點】頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式．【分析】（Ⅰ）由A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)；（Ⅱ）用列舉法求基本事件數(shù)，計算對應的概率值；（Ⅲ）從兩個餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例分析，即可得出結論．【解答】解：（Ⅰ）由A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖，得：對A餐廳評分低于30分的頻率為（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，所以，對A餐廳評分低于30的人數(shù)為100×0.2=20；（Ⅱ）對B餐廳評分在[0，10）范圍內(nèi)的有2人，設為M1、M2；對B餐廳評分在[10，20）范圍內(nèi)的有3人，設為N1、N2、N3；從這5人中隨機選出2人的選法為：（M1，M2），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），（N1，N2），（N1，N3），（N2，N3）共10種．其中，恰有1人評分在[0，10）范圍內(nèi)的選法為：（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3）共6種；故2人中恰有1人評分在[0，10）范圍內(nèi)的概率為P==；（Ⅲ）從兩個餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例來看：由（Ⅰ）得，抽樣的100人中，A餐廳評分低于30的人數(shù)為20，所以，A餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例為20%；B餐廳評分低于30的人數(shù)為2+3+5=10，所以，B餐廳得分低于30分的人數(shù)所占的比例為10%；所以會選擇B餐廳用餐．20.已知矩陣A＝，求矩陣A的特征值和特征向量．參考答案：矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，(2分)由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)當λ1＝2時，特征方程組為故屬于特征值λ1＝2的一個特征向量α1＝；(7分)當λ2＝3時，特征方程組為故屬于特征值λ2＝3的一個特征向量α2＝.(10分)21.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF//AB，證明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD參考答案：22.如圖所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到五棱錐P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求證：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣O的正切值．