【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題03 模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見解題模型(原卷版)（重點(diǎn)突圍）

第第頁專題03模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見解題模型模型構(gòu)建一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題模型構(gòu)建二一線三等角模型模型構(gòu)建三三垂直模型模型構(gòu)建四倍長中線模型模型構(gòu)建一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題例題：（2021·天津·耀華中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證∠C＝∠A．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．2．（2022·福建·漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？模型構(gòu)建二一線三等角模型例題：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作，DE交線段AC于E．(1)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變__________（填“大”或“小”），但與的度數(shù)和始終是__________度．(2)當(dāng)DC的長度是多少時(shí)，，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDE＝115°時(shí)，∠BAD＝°，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于多少時(shí)，△ADE是等腰三角形．3．（2021·山東·肥城市汶陽鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知：是經(jīng)過的頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F是直線上兩點(diǎn)，．（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，．①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關(guān)系：__________．②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出與的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．模型構(gòu)建三三垂直模型例題：（2021·福建·武夷山市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．2．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不寫證明過程）．3．（2021·湖北隨州·八年級期中）如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；（2）在（1）的前提條件下，判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．4．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與AB點(diǎn)重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）模型構(gòu)建四倍長中線模型例題：（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是_______．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．2．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．3．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．4．（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△