【八年級上冊數(shù)學蘇科版】專題03 模型構建專題：全等三角形中的常見解題模型(原卷版)（重點突圍）

第第頁專題03模型構建專題：全等三角形中的常見解題模型模型構建一四邊形中構造全等三角形解題模型構建二一線三等角模型模型構建三三垂直模型模型構建四倍長中線模型模型構建一四邊形中構造全等三角形解題例題：（2021·天津·耀華中學八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證∠C＝∠A．【變式訓練】1．（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．2．（2022·福建·漳州實驗中學七年級階段練習）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？模型構建二一線三等角模型例題：（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作，DE交線段AC于E．(1)點D從B向C運動時，逐漸變__________（填“大”或“小”），但與的度數(shù)和始終是__________度．(2)當DC的長度是多少時，，并說明理由．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當∠BDE＝115°時，∠BAD＝°，點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當∠BAD等于多少時，△ADE是等腰三角形．3．（2021·山東·肥城市汶陽鎮(zhèn)初級中學七年級階段練習）已知：是經過的頂點C的一條直線，．E、F是直線上兩點，．（1）若直線經過的內部，．①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關系：__________．②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關系，能使①中的結論仍然成立？寫出與的數(shù)量關系，并對結論進行證明；（2）如圖3，若直線經過的外部，，①中的結論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結論并進行證明．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．模型構建三三垂直模型例題：（2021·福建·武夷山市第二中學八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的長．【變式訓練】1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．2．（2022·全國·八年級課時練習）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：DE＝AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不寫證明過程）；(3)當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系（不寫證明過程）．3．（2021·湖北隨州·八年級期中）如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；（2）在（1）的前提條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由．4．（2021·北京·東北師范大學附屬中學朝陽學校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當直線l不與底邊AB相交時，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關系并證明．（2）將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關系．（直接寫出）模型構建四倍長中線模型例題：（2022·全國·八年級課時練習）在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是_______．【變式訓練】1．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學八年級階段練習）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．2．（2022·全國·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．3．（2022·全國·八年級課時練習）某數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結論，根據AD與AE之間的關系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．4．（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關系，并說明理由．5．（2022·全國·八年級課時練習）（1）基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△