【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題10 勾股定理及其逆定理(原卷版)

第第頁專題10勾股定理及其逆定理考點(diǎn)一用勾股定理解三角形考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問題考點(diǎn)一用勾股定理解三角形例題：（2022·湖南衡陽·八年級期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長應(yīng)是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長可以是__________．（寫出一個(gè)即可）2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長．考點(diǎn)二以直角三角形三邊為邊的圖形面積例題：（2022·天津二中八年級期中）如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（

）A．225 B．144 C．81 D．無法確定【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東陽江·八年級期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．2．（2022·全國·八年級）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為______．考點(diǎn)三勾股定理與網(wǎng)格問題例題：（2022·福建福州·八年級期末）在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點(diǎn)上，長度是的線段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．2．（2022·遼寧鞍山·八年級期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1．求出四邊形ABCD的周長和面積．考點(diǎn)四勾股定理與折疊問題例題：（2022·湖北咸寧·八年級期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長為__________．2．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長為______．考點(diǎn)五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)例題：（2021·貴州六盤水·八年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）在中，，，則（

）．A．100 B．200 C．300 D．4002．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于_____．考點(diǎn)六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系例題：（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在等腰中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，在中，，與交于點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：（2022·廣西柳州·八年級期中）以下列各組數(shù)為三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學(xué)考試）若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是_____三角形．考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：（2022·湖北·谷城縣教學(xué)研究室八年級期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中的度數(shù)為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林松原·八年級期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為___．2．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．(1)__________；(2)判斷△的形狀，并說明理由．考點(diǎn)九圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)例題：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有______個(gè)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長線上的一點(diǎn)，，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動的時(shí)間，當(dāng)_________s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)_________s時(shí)，是直角三角形．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)t的值．考點(diǎn)十利用勾股定理逆定理求解例題：（2022·河北衡水·八年級期中）如圖，已知在中，，．（1）的度數(shù)為_____；（2）若是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度數(shù)．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一點(diǎn)，BD＝9，CD＝12(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC的長．考點(diǎn)十一勾股定理逆定理解決實(shí)際問題例題：（2022·湖南張家界·八年級期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·八年級期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草，若每平方米草地造價(jià)30元，在這塊空地上全部種草的費(fèi)用是多少元？2．（2022·四川宜賓·八年級期末）“村村通”公路是我國的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說明理由；(2)求公路AB的長.3．（2022·山東聊城·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？一、選擇題1．（2022·江蘇·海安市南莫中學(xué)八年級期中）下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．3、4、5 B．1、、2 C．13、14、15 D．8、15、172．（2022·福建龍巖·八年級期末）一個(gè)直角三角形有兩條邊分別是3cm，4cm，則第三條邊的長度是(

)A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不對3．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）已知，則以a，b，c為三邊長的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．（2022·遼寧撫順·八年級期末）在中，，D為BC邊的中點(diǎn)，則AD的長為（

）．A．4 B．5 C． D．105．（2022·陜西咸陽·八年級期末）如圖，在長為2的線段AB上，用尺規(guī)作如下操作：過點(diǎn)B作BC⊥AB，使得BC=，連接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，則BD的長為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）在如圖所示的直角三角形中，x=____．7．（2022·河南許昌·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足為D．若AB=6．則DC的長為__________．8．（2022·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，如果將△ACD沿AD翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么CE的長等于________.9．（2022·遼寧沈陽·八年級期末）在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，將沿著翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)時(shí)，________．10．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，點(diǎn)是射線外一點(diǎn)，連接，cm，點(diǎn)到的距離為3cm．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以2cm/s的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒，當(dāng)為__________秒時(shí)，為直角三角形．三、解答題11．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．12．（2022·廣東清遠(yuǎn)·八年級期中）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．(1)求的值；(2)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．13．（2022·廣東·汕頭市藍(lán)田中學(xué)八年級期中）如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格上，且每個(gè)小正方形的邊長都為1．(1)BC＝，AD＝，連接BD，判斷△ABD的形狀為；(2)求四邊形ABCD的面積．14．（2022·山東聊城·八年級期中）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，且．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求AE的長．15．（2022·河南洛陽·八年級期末）如圖，△中，，，，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)若