信號與系統(tǒng)（第五版）課件第3章 連續(xù)時(shí)間信號和系統(tǒng)的頻域表示與分析

第3章

連續(xù)時(shí)間信號和系統(tǒng)的頻域表示與分析3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.2周期信號的對稱性3.3非周期信號的頻譜——傅里葉變換3.4傅里葉變換性質(zhì)及定理3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析3.6無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)3.7理想低通濾波器與物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)3.8時(shí)域采樣與恢復(fù)(插值)3.9基于MATLAB的頻域分析

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析

若兩個(gè)函數(shù)f1(t)、f2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則說這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)正交，或它們是區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)。

若函數(shù)集{fi(t)}在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)且函數(shù)f1(t)，…，fn(t)滿足

則這個(gè)函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當(dāng)ki=1時(shí)為歸一化正交函數(shù)集。

滿足一定條件的信號可以被分解為正交函數(shù)的線性組合。即任意信號f(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)可由組成信號空間的n

個(gè)正交函數(shù)的線性組合近似表示為

若正交函數(shù)集是完備的，則

完備是指對于一個(gè)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)的正交函數(shù)集中的所有函數(shù)，不可能另外再得到一個(gè)非零的函數(shù)在同一區(qū)間內(nèi)和它們正交。即不存在這樣一個(gè)函數(shù)x(t)，使之能滿足

如果x(t)在這個(gè)區(qū)間能與它們正交，則x(t)本身必屬于這個(gè)正交函數(shù)集。若不包括x(t)，那么這個(gè)正交函數(shù)集也就不完備。

包含正、余弦函數(shù)的三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集。它具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1)三角函數(shù)是基本函數(shù)。

(2)用三角函數(shù)表示信號，建立了時(shí)間與頻率兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)系。

(3)單頻三角函數(shù)是簡諧信號，簡諧信號容易產(chǎn)生、傳輸、處理。

(4)三角函數(shù)信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號，僅幅度和相位有變化，計(jì)算更方便。

由于三角函數(shù)的上述優(yōu)點(diǎn)，周期信號通常被表示(分解)為無窮多個(gè)正弦信號之和。

3.1.1三角形式的傅里葉級數(shù)

周期信號是周而復(fù)始、無始無終的信號。其表示式為

式中，f(t)的基波周期T是滿足式(3.1-5)的最小的非零正值，其倒數(shù)f0=1/T是信號的基波頻率。若周期函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件：

(1)在一周內(nèi)連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。

(2)一周內(nèi)函數(shù)的極值點(diǎn)是有限的。

(3)一周內(nèi)函數(shù)是絕對可積的，即

則f(t)可以展開為三角形式的傅里葉級數(shù)

式中，

式中，ω0=2π/T

是基波角頻率，有時(shí)也簡稱基波頻率。一般取t0=-T/2。

利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系，還可以將一般三角形式化為標(biāo)準(zhǔn)的三角形式：

兩種三角形式系數(shù)的關(guān)系為

例3.1-1已知周期信號f(t)如下，畫出其頻譜圖。

解

將f(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式

振幅譜與相位譜如圖3.1-1所示。

圖3.1-1例3.1-1的頻譜圖

3.1.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

利用歐拉公式

可以將三角形式的傅里葉級數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為

例3.1-1的指數(shù)形式頻譜圖如圖3.1-2所示。圖3.1-2例3.1-1的頻譜圖

3.1.3周期矩形脈沖頻譜

例3.1-2周期矩形脈沖f(t)的波形如圖3.1-3所示，求周期矩形脈沖頻譜。圖3.1-3周期矩形脈沖f(t)

解

其三角形式的傅里葉級數(shù)，由式(3.1-13)可得

即5ω0、10ω0，…，且有

T=5τ的三角形式與指數(shù)形式的振幅、相位譜如圖3.1-4所示。

圖3.1-4周期矩形信號的頻譜

因?yàn)橹芷诰匦涡盘栴l譜的相位只有0、-π兩種情況，對應(yīng)的幅度只是正、負(fù)的變化，所以可將其幅度與相位譜畫在一起，即復(fù)振幅頻譜?cn(cn≥0，但?cn包含了相位有0與-π變化的情況)或Fn，如圖3.1-5所示。圖3.1-5周期矩形信號的復(fù)振幅頻譜

3.1.4周期T及脈沖寬度τ對頻譜的影響

對圖3.1-5作如下討論：

3.1.5周期信號的頻譜特點(diǎn)

以上雖然是對周期矩形信號的頻譜分析，但其基本特性對所有周期信號適用，由此給出周期信號頻譜的一般特性如下：

(1)離散性。譜線沿頻率軸離散分布。譜線僅在0、ω0、2ω0、…基波的倍頻(離散的)頻率點(diǎn)上出現(xiàn)。

(2)諧波性。各譜線等距分布，相鄰譜線的距離等于基波頻率。周期信號沒有基波頻率整數(shù)倍以外的頻率分量。

(3)收斂性。隨著n→∞，|Fn|或cn

趨于零。

傅氏級數(shù)是傅氏變換的特殊表示形式。從本質(zhì)上講，傅氏變換就是一個(gè)棱鏡，它把一個(gè)信號函數(shù)分解為眾多的頻率分量。這些頻率分量又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)。這種變換

是可逆的且保持能量不變。傅氏棱鏡與自然棱鏡的原理是一樣的。不過自然棱鏡是將自然光分解為多種顏色的光。兩種棱鏡的比較如圖3.1-6所示。

圖3.1-6兩種不同的棱鏡

3.2周期信號的對稱性

3.2.1信號對稱性與傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系波形的對稱性有兩類：一類是波形對原點(diǎn)或縱軸對稱，即我們所熟悉的偶函數(shù)、奇函數(shù)。由這類對稱條件可以判斷級數(shù)中是否含有正、余弦(an、bn)項(xiàng)的情況;另一類是波形在半周期有對稱條件，這類條件決定了級數(shù)中含有偶次或奇次諧波的情況。

1.偶函數(shù)

偶函數(shù)的波形特點(diǎn)是對稱縱軸，即滿足f(t)=f(-t)，如圖3.2-1所示。圖3.2-1-偶函數(shù)舉例

因?yàn)閒(t)cos(nω0t)是偶函數(shù)，f(t)sin(nω0t)是奇函數(shù)，所以式(3.1-7)可改為

與標(biāo)準(zhǔn)三角形式及指數(shù)形式的系數(shù)關(guān)系為

因此，偶函數(shù)分解后只有余弦分量(直流a0≠0)，沒有正弦分量(bn=0)。

利用式(3.2-1)可求出如圖3.2-1所示周期三角信號的傅氏系數(shù)a0、an，其傅氏級數(shù)為

2.奇函數(shù)

奇函數(shù)的波形特點(diǎn)是對稱于原點(diǎn)，即滿足f(t)=-f(-t)，如圖3.2-2所示。圖3.2-2-奇函數(shù)舉例

因?yàn)閒(t)cos(nω0t)是奇函數(shù)，f(t)sin(nω0t)是偶函數(shù)，所以式(3.1-7)可改為

與標(biāo)準(zhǔn)三角形式及指數(shù)形式的系數(shù)關(guān)系為

因此，奇函數(shù)分解后只有正弦分量(直流a0=0)，沒有余弦分量(an=0)

利用式(3.2-4)可求出如圖3.2-2所示周期鋸齒波信號的傅氏系數(shù)bn，其傅氏級數(shù)為

3.奇諧函數(shù)

奇諧函數(shù)的波形特點(diǎn)是任意半個(gè)周期的波形可由它前面半個(gè)周期的波形沿橫軸反折得到，即如圖3.2-3所示。圖3.2-3-奇諧函數(shù)舉例

由式(3.1-7)得

再代入式(3.2-7)計(jì)算an

的公式中

同理可得

奇諧函數(shù)只含有正、余弦波的奇次項(xiàng)，不含偶次項(xiàng)。

如圖3.2-4所示，以奇諧函數(shù)為例，圖解示意對稱性對傅氏系數(shù)的影響。如圖3.2-4所示，以奇諧函數(shù)為例，圖解示意對稱性對傅氏系數(shù)的影響。

4.偶諧函數(shù)

圖3.2-5偶諧函數(shù)舉例

5.f(t)有兩種對稱條件時(shí)的系數(shù)

當(dāng)波形同時(shí)具備兩個(gè)對稱條件時(shí)，下面不加證明給出其傅氏系數(shù)計(jì)算公式。

(1)奇函數(shù)奇諧函數(shù)。因?yàn)槠婧瘮?shù)an=0，只有正弦項(xiàng)，而奇諧函數(shù)的b2n=0，所以

(2)奇函數(shù)偶諧函數(shù)。因?yàn)槠婧瘮?shù)an=0，只有正弦項(xiàng)，而偶諧函數(shù)的b2n+1=0，所以

(3)偶函數(shù)奇諧函數(shù)。因?yàn)榕己瘮?shù)bn=0，只有余弦項(xiàng)，而奇諧函數(shù)的a2n=0，所以

如圖3.2-6所示

圖3.2-6兩個(gè)對稱性對傅氏系數(shù)影響的圖解示意

由式(3.2-11)可以求出圖3.2-6中f(t)的a0、an，其傅氏級數(shù)為

(4)偶函數(shù)偶諧函數(shù)。因?yàn)榕己瘮?shù)bn=0，只有余弦項(xiàng)，而偶諧函數(shù)的a2n+1=0，所以

如圖3.2-5所示的全波整流波形是偶函數(shù)偶諧函數(shù)，由式(3.2-13)可以求出a0、an。

其傅氏級數(shù)為

3.2.2坐標(biāo)軸的影響

有些波形雖不滿足對稱條件，但將橫軸上、下移動(dòng)，可使得“隱藏”的對稱條件顯現(xiàn)。例如圖3.2-7(a)所示波形，直接觀察不具備任何對稱性。但如果將橫軸向上移至f(t)的平均值A(chǔ)/2處，如圖3.2-7(b)所示，則f(t')顯然是奇函數(shù)、奇諧函數(shù)，同時(shí)具備兩個(gè)對稱條件。由圖3.2-7不難得到f(t)=f(t')+A/2，兩者只相差平均值。所以一般將橫軸移至f(t)的平均值處，更便于觀察信號的對稱性。同樣圖3.2-1所示的三角信號，將橫軸移至f(t)的平均值處，它就是偶函數(shù)奇諧函數(shù)。除了有直流分量外，它只含有余弦的奇次項(xiàng)。

圖3.2-7具有“隱蔽”對稱條件的實(shí)例

表3-1列出了有對稱條件時(shí)傅氏系數(shù)的計(jì)算公式。

3.3非周期信號的頻譜——傅里葉變換

3.3.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換若將非周期信號看做是周期信號T→∞的極限情況，非周期信號就可以表示為

3.3.2常用函數(shù)的傅里葉變換對

1.單邊指數(shù)函數(shù)

(1)單邊因果指數(shù)函數(shù)

即

單邊因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-1所示。

圖3.3-1單邊因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜、相位譜

(2)單邊非因果指數(shù)函數(shù)

即

單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-2所示。

圖3.3-2單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形及其振幅、相位譜

2.雙邊指數(shù)函數(shù)

或

利用以上單邊指數(shù)函數(shù)的變換結(jié)果有

即

雙邊指數(shù)函數(shù)的波形、頻譜F(jω)如圖3.3-3所示。

圖3.3-3-雙邊指數(shù)函數(shù)的波形、頻譜

3.符號函數(shù)

符號函數(shù)也稱正負(fù)函數(shù)，記為sgn(t)，表示式為

顯然，這個(gè)函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能用式(3.3-4)直接來求。我們可用以下極限形式表示sng(t)函數(shù)

上式是兩個(gè)單邊指數(shù)函數(shù)的組合，利用前面的結(jié)果，并取極限可得

符號函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-4所示。圖3.3-4-符號函數(shù)的波形及其振幅、相位譜

4.門函數(shù)gτ(t)

gτ(t)是寬度為τ，幅度為1的偶函數(shù)，也常常稱為矩形脈沖信號，表示式為

門函數(shù)的頻譜函數(shù)、振幅譜、相位譜為

門函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-5所示。圖3.3-5-gτ(t)的波形及振幅、相位譜

圖3.3-6-gτ(t)的頻譜函數(shù)

樣的頻譜也稱白色譜。沖激函數(shù)δ(t)、頻譜函數(shù)如圖3.3-7所示。圖3.3-7-沖激函數(shù)及其頻譜

頻域沖激δ(ω)的原函數(shù)亦可由定義直接得到

由式(3.3-19)可知頻域沖激δ(ω)的反變換是常數(shù)(直流分量)。

或

頻域沖激函數(shù)δ(ω)、原函數(shù)如圖3.3-8所示。

圖3.3-8頻域沖激函數(shù)δ(ω)及其原函數(shù)

6.階躍函數(shù)u(t)

階躍函數(shù)雖不滿足絕對可積條件，但u(t)可以表示為

對上式兩邊取傅氏變換

階躍函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-9所示。

圖3.3-9階躍函數(shù)的波形以及振幅、相位譜

3.3.3-傅里葉系數(shù)Fn與頻譜函數(shù)F(ω)的關(guān)系

例3.3-1求如圖3.3-10(a)所示周期矩形脈沖fT(t)的傅氏級數(shù)。圖3.3-10

3.4傅里葉變換性質(zhì)及定理

傅氏變換揭示了信號時(shí)間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。信號可以在時(shí)域中用時(shí)間函數(shù)f(t)表示，亦可以在頻域中用頻譜密度函數(shù)F(ω)表示;只要其中一個(gè)確定，另一個(gè)隨之確定，兩者是一一對應(yīng)的。在實(shí)際的信號分析中，往往還需要對信號的時(shí)、頻特性之間的對應(yīng)關(guān)系、變換規(guī)律有更深入、具體的了解。

1.線性

若f1(t)?F1(ω)，f2(t)?F2(ω)，則

式中，a、b

為任意常數(shù)。

證

2.時(shí)延(時(shí)移、移位)性

若f(t)?F(ω)，則

證

時(shí)延(移位)性說明波形在時(shí)間軸上時(shí)延，不改變信號振幅頻譜，僅使信號增加一線性相移-ωt0。

例3.4-1求如圖3.4-1所示信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(ω)，并作頻譜圖。圖3.4-1例3.4-1信號圖

圖3.4-2例3.4-1的振幅、相位頻譜

3.頻移性

若f(t)?F(ω)，則

證

頻移特性表明信號在時(shí)域中與復(fù)因子ejω0t

相乘，則在頻域中將使整個(gè)頻譜搬移ω0。

實(shí)際調(diào)制解調(diào)的載波(本振)信號是正、余弦信號，借助歐拉公式正、余弦信號可以分別表示為

這樣，若有f(t)?F(ω)，則

例3.4-2求f(t)=cos(ω0t)u(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-3例3.4-2的波形及振幅、相位頻譜

例3.4-3求如圖3.4-4所示f(t)的F(ω)并作圖。圖3.4-4例3.4-3的f(t)

解

令f1(t)=Agτ(t)，則圖3.4-5例3.4-3的F1(ω)以及F(ω)

在無線通信中，為使信號能以電磁波的形式有效輻射出去，必須把在ω=0附近的低頻信號頻譜移至所需的較高頻率ω0

附近，這稱之為調(diào)制。上例是信號調(diào)制(頻譜搬移)的典型實(shí)例。通常f1(t)被稱為調(diào)制信號，cos(ω0t)為載波信號，f(t)=f1(t)cos(ω0t)為已調(diào)信號。調(diào)制的原理如圖3.4-6所示，若已調(diào)信號等于例3.4-3信號f(t)，由圖3.4-5可見，調(diào)制信號的頻譜集中在ω=0的低頻端，而已調(diào)信號的頻譜集中在載頻ω0

附近。

圖3.4-6調(diào)制原理圖

在接收端將已調(diào)信號f(t)恢復(fù)為原信號f1(t)的過程為解調(diào)。一種同步解調(diào)的原理框圖如圖3.4-7(a)所示。圖中的cos(ω0t)為接收端的本地載波信號(通常稱本振信號)，與發(fā)送端的載波信號同頻同相。其中

利用線性與頻移特性，對應(yīng)的頻譜函數(shù)為

仍以例3.4-3的f1(t)、f(t)為例，f0(t)的頻譜F0(ω)如圖3.4-7(b)所示。圖3.4-7-一種同步解調(diào)的原理框圖及頻譜圖

4.尺度變換

若f(t)?F(ω)，則

證

綜合a>0、a<0兩種情況，尺度變換特性表示為

特別地，當(dāng)a=-1時(shí)，得到f(t)的折疊函數(shù)f(-t)，其頻譜亦為原頻譜的折疊，即

尺度特性說明，信號在時(shí)域中壓縮，在頻域中就擴(kuò)展;反之，信號在時(shí)域中擴(kuò)展，在頻域中就一定壓縮。即信號的脈寬與頻寬成反比。一般時(shí)寬有限的信號，其頻寬無限，反之亦然。由于信號在時(shí)域壓縮(擴(kuò)展)時(shí)，其能量成比例地減少(增加)，因此其頻譜幅度要相應(yīng)乘以系數(shù)1/|a|。也可以理解為信號波形壓縮(擴(kuò)展)a

倍，信號隨時(shí)間變化加快(慢)a倍，所以信號所包含的頻率分量增加(減少)a倍，頻譜展寬(壓縮)a

倍。又因能量守恒原理，各頻率分量的大小減小(增加)a倍。圖3.4-8表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。

圖3.4-8-矩形脈沖及頻譜的展縮

5.時(shí)域微分特性

若f(t)?

F(ω)，則

證

所以

同理，可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換

式中，jω

是微分因子。

6.時(shí)域積分特性

若f(t)?

F(ω)，則

特別地，當(dāng)F(0)=0時(shí)

證

顯然，當(dāng)F(0)=0時(shí)，有

例3.4-4求如圖3.4-9(a)所示f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解

對f(t)求導(dǎo)，得f1(t)=f'(t)如圖3.4-9(b)所示。

再對f1(t)求導(dǎo)，得f2(t)=f″(t)如圖3.4-9(c)所示。

因?yàn)?/p>

最后

圖3.4-9例3.4-4

7.頻域微分特性

若f(t)?

F(ω)，則

一般頻域微分特性的實(shí)用形式為

頻域微分特性對頻譜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)亦成立

或

例3.4-5求f(t)=te-atu(t)(a>0)的頻譜函數(shù)F(ω)。

8.對稱(偶)性

若f(t)?

F(ω)，則

或

證

則

將上式中變量t與ω

互換，兩邊同時(shí)乘以2π，得到

所以

特別地，當(dāng)f(t)是t的偶函數(shù)時(shí)，那么

即有

由式(3.4-17)看，在此條件下時(shí)域與頻域是完全對稱性關(guān)系。

例3.4-6已知F1(ω)及波形如圖3.4-10所示，利用對稱性求f1(t)。圖3.4-10

解

比較圖3.4-10的F1(ω)與例3.4-4圖3.4-9(a)的f(t)，可見兩者變化規(guī)律相同，只是自變量及標(biāo)定值不同，所以f(t)是與F1(ω)相似的對稱三角波。由例

例3.4-7已知F1(ω)=E[u(ω+ω0)-u(ω-ω0)]，利用對稱性求f1(t)。

解

已知F1(ω)波形如圖3.4-11所示。且

則

圖3.4-11例3.4-7的F1(ω)

例3.4-8求ejω0t

的傅氏變換。

解

由時(shí)延特性，已知δ(t+t0)?

ejω0t，且δ(t+t0)不是偶函數(shù)。

利用對稱性，將上式左邊的t變換成-ω、右邊的ω變換為t，兩邊的t0

變換成ω0，并乘以系數(shù)2π，我們得到另一對變換對

利用這一結(jié)果，容易推導(dǎo)正、余弦周期函數(shù)的傅氏變換。

cosω0t、sinω0t的波形與頻譜如圖3.4-12所示。

圖3.4-12-正、余弦信號與其頻譜

由ejω0t

的傅氏變換，可以推導(dǎo)任意周期函數(shù)的頻譜函數(shù)為

證

例3.4-9求周期沖激序列的傅氏變換。

解

先將周期沖激序列展開成傅氏級數(shù)

Fn

如圖3.4-13(a)所示。即

再求這個(gè)級數(shù)的傅氏變換

δT(t)的頻譜函數(shù)如圖3.4-13(b)所示?？梢?，周期沖激序列的傅氏變換仍為周期沖激序列，其沖激強(qiáng)度為ω0。

圖3.4-13-δT(t)的頻譜函數(shù)

由上例歸納求周期函數(shù)的傅氏變換(頻譜函數(shù))的一般步驟為：

(1)將周期函數(shù)展開為傅氏級數(shù);

(2)對該傅氏級數(shù)求傅氏變換(頻譜函數(shù))。

9.奇、偶、虛、實(shí)性

f(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(ω)的模與幅角、實(shí)部與虛部表示形式為

同理類推

其中

由式(3.4-24)可知，R(ω)、|F(ω)|是ω

的偶函數(shù);X(ω)、φ(ω)是ω

的奇函數(shù)。

(1)特別地，若f(t)為實(shí)偶函數(shù)，則有

由式(3.4-25)可知，若f(t)是t的實(shí)偶函數(shù)，則F(ω)必為ω

的實(shí)偶函數(shù)。

(2)特別地，若f(t)為實(shí)奇函數(shù)，則有

由式(3.4-26)可知，若f(t)是t的實(shí)奇函數(shù)，則F(ω)必為ω

的虛奇函數(shù)。

10.時(shí)域卷積定理

若f1(t)?

F1(ω)，f2(t)?

F2(ω)，則

證

11.頻域卷積定理

若f1(t)?

F1(ω)，f2(t)?

F2(ω)，則

證

例3.4-10若已知f(t)的頻譜F(ω)如圖3.4-14(a)所示，試粗略畫出f2(t)，f3(t)的頻譜圖(不必精確，只指出頻譜的范圍，說明展寬情況)。

解

頻譜展寬為原來的2倍。

頻譜展寬為原來的3倍。

f2(t)，f3(t)的頻譜展寬情況如圖3.4-14(b)、(c)所示。

圖3.4-14例3.4-10的頻譜函數(shù)

12.帕斯瓦爾定理

為了從頻域角度研究信號能量，定義單位頻率的信號能量|F(ω)|2-為能量頻譜密度函數(shù)E(ω)，即

E(ω)也簡稱能量譜，單位是J·s。E(ω)是ω

的偶函數(shù)，只保留了信號的振幅信息，而無相位信息。

例3.4-11求如圖3.4-15(a)所示單個(gè)矩形脈沖f(t)的能量譜E(ω)并作圖。圖3.4-15例3.4-11的f(t)、E(ω)

類似能量譜，定義單位頻率的信號功率為功率頻譜密度函數(shù)

P(ω)，即

P(ω)也簡稱功率譜，單位是W·s。P(ω)是ω

的偶函數(shù)，只保留了信號的振幅信息，而無相位信息。

當(dāng)功率信號為周期信號時(shí)，其功率譜為

例3.4-12求余弦信號f(t)=Ecosω0t的功率譜。

解

表3-2給出了傅氏變換的主要性質(zhì)及定理。

3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析

3.5.1系統(tǒng)的頻響函數(shù)設(shè)激勵(lì)是f(t)，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的響應(yīng)為對式(3.5-1)兩邊取傅里葉變換，由卷積定理可得

其中，H(jω)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換。系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)表征的是系統(tǒng)時(shí)域特性，而

H(jω)表征的是系統(tǒng)頻域特性。所以

H(jω)稱做系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。

式(3.5-2)還可以表示為

式中，|H(ω)|是系統(tǒng)的幅(模)頻特性，φ(ω)是系統(tǒng)的相頻特性。

1.由微分方程求解

已知n

階LTI系統(tǒng)的微分方程的一般表示為

對式(3.5-4)兩邊取傅里葉變換，并利用微分性質(zhì)

由式(3.5-5)得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)為

式(3.5-6)表明

H(jω)只與系統(tǒng)本身有關(guān)，與激勵(lì)無關(guān)。

例3.5-1已知某系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的函數(shù)

H(jω)。

解

對微分方程兩邊同時(shí)取傅氏變換，得到

2.由轉(zhuǎn)移算子求解

已知穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，將其中的p

用jω

替代，可以得到系統(tǒng)函數(shù)。

例3.5-2已知某穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子

解

3.由h(t)求解

先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，然后對沖激響應(yīng)h(t)求傅里葉變換。

例3.5-3已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)=5[u(t)-u(t-2)]，求系統(tǒng)函數(shù)。

解

例3.5-4求圖3.5-1零階保持電路的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)。圖3.5-1例3.5-4的零階保持電路

圖3.5-2例3.5-3系統(tǒng)的h(t)與H(ω)

4.由頻域電路系統(tǒng)求解

此法與2.2節(jié)的算子電路法相似，可以利用頻域電路簡化運(yùn)算。無初始儲能的動(dòng)態(tài)元件時(shí)域與頻域電壓電流關(guān)系分別表示為

例3.5-5如圖3.5-3(a)所示電路，輸入是激勵(lì)電壓f(t)，輸出是電容電壓y(t)，求系統(tǒng)函數(shù)

H(jω)、系統(tǒng)為微分方程。圖3.5-3例3.5-5電路

3.5.2系統(tǒng)的頻域分析

由卷積定理可以得到穩(wěn)定系統(tǒng)頻域分析法的基本框圖表示，如圖3.5-4所示。圖3.5-4頻域分析法基本框圖

1.周期正弦信號的響應(yīng)

設(shè)激勵(lì)信號

當(dāng)h(t)為實(shí)函數(shù)

其響應(yīng)的頻譜函數(shù)為

響應(yīng)為

比較輸入f(t)與輸出y(t)可見，正弦周期信號的響應(yīng)仍是同頻周期正弦信號，僅幅度、相位有所改變。這種響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以利用正弦穩(wěn)態(tài)分析法計(jì)算。所以若正弦周期激勵(lì)信號f(t)=Asin(ω0t+φ)，通過系統(tǒng)函數(shù)為|H(ω0)|ejφ(ω0)的系統(tǒng)后，其響應(yīng)可以直接表示為

例3.5-6已知某系統(tǒng)函數(shù)為

求激勵(lì)f(t)=sin(ω0t)的響應(yīng)。

解

2.周期非正弦信號的響應(yīng)

穩(wěn)定系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所以周期非正弦信號響應(yīng)可以利用周期正弦信號的響應(yīng)求解方法。不同之處是要先利用傅氏級數(shù)將周期非正弦信號分解為許多周期正

弦信號之和，再分別對每個(gè)正弦分量求響應(yīng)，最后疊加得到周期非正弦信號的響應(yīng)。

即

第n次諧波的響應(yīng)為

式中，

最后總響應(yīng)

歸納解決周期非正弦信號通過線性系統(tǒng)響應(yīng)求解的計(jì)算步驟為：

(1)將激勵(lì)fT(t)分解為無窮多個(gè)正弦分量之和——展開為傅氏級數(shù)。

(2)求出系統(tǒng)函數(shù)

H(jω)={H(0)，H(ω0)，H(2ω0)，…}。

(3)利用正弦穩(wěn)態(tài)分析法計(jì)算第n次諧波的響應(yīng)為

(4)各諧波分量的瞬時(shí)值相加

例3.5-7已知某系統(tǒng)頻率特性激勵(lì)信號f(t)=2+cost+cos3t，試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。

解

3.非周期信號的響應(yīng)

非周期信號通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以利用卷積定理，先求輸入信號的傅氏變換及系統(tǒng)的頻響，再將兩者相乘得到輸出的傅氏變換，最后經(jīng)反變換得到時(shí)域響應(yīng)。

例3.5-8已知系統(tǒng)函數(shù)

激勵(lì)f(t)=e-3tu(t)，求響應(yīng)y(t)。

解

3.6無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

信號失真有以下兩類。一類是線性失真，它包括兩方面。一是振幅失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減(放大)，使各頻率分量之間的相對振幅關(guān)系發(fā)生了變化。二是相位失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使各頻率分量在時(shí)間軸上的相對位置發(fā)生了變化。這兩種失真都不會使信號產(chǎn)生新的頻率分量。另一類是非線性失真，是由信號通過非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，特點(diǎn)是信號通過系統(tǒng)后產(chǎn)生了新的頻率分量。

所謂無失真?zhèn)鬏斒切盘柾ㄟ^系統(tǒng)的輸出波形與輸入相比，只有幅度大小及時(shí)延的不同而形狀不變，如圖3.6-1所示。圖3.6-1無失真?zhèn)鬏?/p>

圖3.6-2無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻及相頻特性

式(3.6-4)是理想傳輸系統(tǒng)的頻域不失真條件。它要求系統(tǒng)具有無限寬的均勻帶寬，幅頻特性在全頻域內(nèi)為常數(shù);相移與頻率成正比，即相頻特性是通過

原

點(diǎn)

的

直

線。圖3.6-3-是無失真?zhèn)鬏斉c有相位失真波形的比較。

圖3.6-3無失真?zhèn)鬏斉c有相位失真的波形

由圖3.6-3可見，信號通過無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的延遲時(shí)間與相位特性的斜率有關(guān)。實(shí)際應(yīng)用中相頻特性也常用“群時(shí)延”表示。群時(shí)延定義為

由式(3.6-4)與式(3.6-5)不難推得信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的條件是群時(shí)延為常數(shù)。

例3.6-1已知某系統(tǒng)的振幅、相位特性如圖3.6-4所示，輸入為x(t)，輸出為y(t)。求：

(1)給定

輸

入

x1-(t)=2cos10πt+sin12πt

及x2(t)=2cos10πt+sin26πt

時(shí)

的

輸

出y1(t)、y2(t);

(2)y1(t)、y2(t)有無失真?若有指出為何種失真。圖3.6-4例3.6-1傳輸系統(tǒng)的幅頻及相頻特性

解

由圖3.6-4可知該系統(tǒng)的振幅、相位函數(shù)為

利用周期非正弦信號響應(yīng)求解方法可得激勵(lì)為x1(t)、x2(t)時(shí)的響應(yīng)為

輸入信號在0≤ω≤20π范圍內(nèi)，輸出信號無失真。

輸入信號在0≤ω≤30π范圍內(nèi)，輸出有振幅失真。

3.7理想低通濾波器與物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

有各種各樣的濾波器，最典型的有通帶振幅為1，阻帶振幅為0的理想濾波器。如理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻濾波器等，其振幅特性如圖3.7-1所示。

圖3.7-1理想濾波器的幅頻特性

3.7.1理想低通濾波器及其沖激響應(yīng)理想低通濾波器的頻率特性如圖3.7-2所示，傳遞函數(shù)為式中，ωc

是通帶截止頻率，-t0

是相位特性斜率。

圖3.7-2理想低通濾波器的頻率特性

理想低通的單位沖激響應(yīng)為

理想低通的輸入與單位沖激響應(yīng)如圖3.7-3所示。

圖3.7-3理想低通濾波器的輸入與單位沖激響應(yīng)

3.7.2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

理想低通的階躍響應(yīng)g(t)為

圖3.7-5理想低通的階躍響應(yīng)

從圖3.7-5g(t)波形看，由于理想低通抑制了信號的高頻分量以及它在通帶內(nèi)的線性相移，輸出波形與輸入波形相比發(fā)生了畸變。

(1)響應(yīng)g(t)時(shí)間滯后。若以g(t)=1/2作為響應(yīng)的開始時(shí)間，則由以上分析已知此時(shí)為t0，即響應(yīng)延時(shí)了t0，這正是線性相移的斜率。

(2)響應(yīng)g(t)建立需要時(shí)間(脈沖上升時(shí)間)。若定義g(t)在t=t0

處斜率的倒數(shù)為響應(yīng)建立時(shí)間tr，則

若取g(t)從最小值上升到最大值為響應(yīng)建立時(shí)間tr1，由圖3.7-4可得

(3)t<0有輸出。由圖3.7-5再次看到輸出波形的起伏振蕩延伸到了t<0的時(shí)間區(qū)域。注意到激勵(lì)是t=0時(shí)刻加入的，t<0時(shí)有響應(yīng)出現(xiàn)說明系統(tǒng)是非因果的。

(4)吉布斯現(xiàn)象。響應(yīng)中的正弦積分Si(y)，最大峰值點(diǎn)在y=p處，最小峰值點(diǎn)在y=-p處，且

由式(3.7-3)可推得

從頻域角度看，理想濾波器就像一個(gè)“矩形窗”?！熬匦未啊钡膶挾炔煌?，截取信號頻譜的頻率分量就不同。利用矩形窗濾取信號頻譜時(shí)，在時(shí)域的不連續(xù)點(diǎn)處會出現(xiàn)上沖。增加ωc可以使響應(yīng)的上升時(shí)間減少，但卻無法改變近9%的上沖值，這就是吉布斯現(xiàn)象。例如圖3.7-6所示，兩種不同帶寬的理想低通，對同一矩形脈沖的響應(yīng)，其上沖值相同。這表明理想濾波器帶寬增加，可以改善均方誤差，減少輸出建立時(shí)間，但其最大誤差不會改變。只有改用其他形式的窗函數(shù)提取信號頻譜時(shí)，有可能消除上沖，改善其最大誤差。圖3.7-6不同帶寬的理想低通對矩形脈沖的響應(yīng)

例3.7-1電路系統(tǒng)及激勵(lì)f(t)=u(t)如圖3.7-7所示，用頻域法求解系統(tǒng)頻響函數(shù)及系統(tǒng)響應(yīng)y(t)，并繪出系統(tǒng)的頻響特性。圖3.7-7例3.7-2電路系統(tǒng)及激勵(lì)

解

先求解系統(tǒng)函數(shù)

如圖3.7-8所示。圖3.7-8例3.7-1電路系統(tǒng)頻率特性

再求系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(t)

系統(tǒng)響應(yīng)如圖3.7-9所示。由圖3.7-9可見，響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)不同的是，在t=0時(shí)，f(t)沒有跳變?yōu)?，而是經(jīng)過一段上升過程，隨著時(shí)間趨于無窮才達(dá)到1。圖3.7-9例3.7-1電路系統(tǒng)輸出響應(yīng)

通常響應(yīng)y(t)上升到幅度的0.9時(shí)，誤差已滿足工程需要。因此可以定義響應(yīng)y(t)從0上升到0.9-的時(shí)間tr為系統(tǒng)響應(yīng)的上升時(shí)間。將此代入到輸出y(t)公式中

由式(3.7-5)解出

可見，tr

正比RC，RC

是該系統(tǒng)的時(shí)常數(shù)。若將tr與3分貝截止頻率相乘，有

例3.7-2如圖3.7-10所示系統(tǒng)，信號f(t)經(jīng)零階保持電路輸出為y(t)，求使系統(tǒng)最終輸出為f(t)的

H0(jω)。圖3.7-10例3.7-2的反濾波系統(tǒng)

解

由例3.5-4已求出系統(tǒng)的零階保持電路部分的系統(tǒng)函數(shù)為

整個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

所以

3.7.3頻帶寬度

實(shí)際系統(tǒng)(濾波器)或信號的頻帶寬度(簡稱帶寬)是描述系統(tǒng)(濾波器)或信號的重要指標(biāo)之一。

另一類是從能量的角度定義頻帶寬度。若以低通零頻的歸一化幅度|H(0)|=1為基準(zhǔn)，定義能量的對數(shù)衰減為

特別地，將ω=ωc處信號振幅是零頻的1/2代入式(3.7-8)，得到信號能量減半的對數(shù)衰減為

由式(3.7-8)得到的信號能量減半的頻率是濾波器的3dB帶寬截止角頻率，因此稱其為該濾波器的3dB帶寬。例3.7-1的ωc

是該濾波器的3dB帶寬，又因?yàn)棣豤=1/(RC)=2πfc，所以fc

為該系統(tǒng)的3dB截止頻率。這種以能量下降3dB的頻率間隔作帶寬，適用于有一主峰的濾波器，如圖3.7-11所示(設(shè)主峰在0頻處)。圖3.7-11-3dB帶寬的系統(tǒng)

3.7.4物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)

通過對理想低通濾波器的時(shí)域特性分析，可知理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)是否為物理可實(shí)現(xiàn)，時(shí)域與頻域都有判斷準(zhǔn)則。LTI系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，時(shí)域準(zhǔn)則是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足因果性，即

若系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(ω)|滿足平方可積，即

由佩利-維納給出的頻域準(zhǔn)則為：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的必要條件是

幅度函數(shù)不滿足這個(gè)準(zhǔn)則的，其系統(tǒng)必為非因果的。這個(gè)準(zhǔn)則既限制因果系統(tǒng)的幅度函數(shù)不能在某一頻帶內(nèi)為零，也限制幅度特性衰減不能太快。因?yàn)楫?dāng)|H(ω)|在ω1<ω<ω2-為零時(shí)，使式(3.7-11)積分不收斂，即

例3.7-3討論具有鐘形幅度特性的系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。

解

系統(tǒng)的鐘形幅度特性為|H(ω)|=e-ω2-，對模平方函數(shù)積分有

滿足平方可積，代入式(3.7-11)佩利-維納準(zhǔn)則有

3.8時(shí)域采樣與恢復(fù)(插值)

時(shí)域采樣是用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號的重要環(huán)節(jié)。采樣就是利用“采樣器”，從連續(xù)信號中“抽取”信號的離散樣值，如圖3.8-1所示。圖3.8-1-信號的采樣

這種離散的樣值函數(shù)通常稱為“采樣”信號。采樣信號是離散信號，一般用fs(t)表示。采樣信號在時(shí)間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號，還需經(jīng)量化編碼轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。所以數(shù)字信號是時(shí)間離散化、樣值量化的信號。本書中若不特別指明，離散信號與數(shù)字信號通用。

離散信號是在不連續(xù)的點(diǎn)上有確定值的信號。這些不連續(xù)的間隔可以是均勻的，也可以是不均勻的，本書所討論的間隔是均勻的。離散信號可以是實(shí)際存在的信號，如醫(yī)院人口出生統(tǒng)計(jì)等，也可以是對連續(xù)時(shí)間信號的采樣。

3.8.1時(shí)域采樣

最簡單的采樣器如圖3.8-2(a)所示，是一個(gè)電子開關(guān)。開關(guān)接通，信號通過，開關(guān)斷開，信號被短路。而這個(gè)電子開關(guān)的作用，可以用一個(gè)如圖3.8-2(b)所示的乘法器等效，圖中的p(t)是周期性開關(guān)函數(shù)。當(dāng)p(t)為零時(shí)，乘法器輸出為零，等效為開關(guān)斷開，信號通不過去，反之亦然。這樣采樣信號fs(t)可表示為

式中，p(t)是周期為T的開關(guān)函數(shù)，相應(yīng)的采樣頻率fs=1/T，ωs=2πfs=2π/T。圖3.8-2采樣器與等效模型

式(3.8-6)表示，理想采樣的頻譜Fs(ω)是原信號頻譜F(ω)的加權(quán)周期重復(fù)，其中周期為ωs，加權(quán)系數(shù)是常數(shù)1/T。理想采樣信號與頻譜如圖3.8-3所示。如果從調(diào)制的角度分析式(3.8-6)，可以認(rèn)為式中

的

F(ω)是

基

帶

頻

譜，而

F(ω±ωs)是

一

次

諧

波

調(diào)

制

頻

譜，F(xiàn)(ω±2ωs)是二次諧波調(diào)制頻譜，以此類推。這樣，理想采樣的頻譜Fs(ω)就是由基帶頻譜與各次諧波調(diào)制頻譜組成的。

周期沖激采樣可以認(rèn)為是周期矩形采樣τ→0的極限情況，采樣后信號頻譜是原頻譜的周期重復(fù)且幅度一樣，所以也稱理想采樣。實(shí)際的采樣信號都有一定的脈沖寬度，不過當(dāng)τ相對采樣周期T足夠小時(shí)，可以近似認(rèn)為是理想采樣。圖3.8-3理想采樣信號與頻譜

3.8.2采樣定理

由對理想采樣信號頻譜Fs(ω)的討論可以知道，F(xiàn)s(ω)是原信號頻譜F(ω)的周期重復(fù)，重復(fù)的間隔為ωs。假設(shè)F(ω)是帶限信號，由圖3.8-4可見不同的ωs

對Fs(ω)的影響不同。當(dāng)ωs≥2ωm

時(shí)，基帶頻譜與各次諧波頻譜彼此是不重疊的，F(xiàn)s(ω)是F(ω)無混疊的周期延拓，基帶頻譜保留了原信號的全部信息;可用一個(gè)理想低通(虛線框)提取出基帶頻譜，從而恢復(fù)f(t);而當(dāng)ωs<2ωm

時(shí)，F(xiàn)s(ω)的基帶頻譜與諧波頻譜有混疊，無法提取基帶頻譜，也就不可能不失真恢復(fù)原信號f(t)。圖3.8-4采樣頻率不同時(shí)的頻譜

采樣定理表明了在什么條件下，采樣信號能夠保留原信號的全部信息。這就是

或

例3.8-1確定信號f(t)=Sa(50πt)的奈奎斯特頻率。

解

f(t)=Sa(50πt)，利用對稱性可得

這是最高角頻率為ωm=50πrad/s的矩形頻譜，信號的最高頻率fm=25Hz，所以f(t)的奈奎斯特頻率fs=50Hz。

3.8.3原信號的恢復(fù)

由圖3.8-4無混疊的Fs(ω)中提取原信號f(t)的頻譜F(ω)，可以用一矩形頻譜函數(shù)(理想低通)與Fs(ω)相乘，如圖3.8-5所示。

式中

H(ω)是理想低通濾波器，可以從滿足采樣定理的fs(t)中恢復(fù)原信號，其中低通的截止頻率應(yīng)滿足：圖3.8-5由理想低通恢復(fù)原信號的過程

在理想采樣情況下

恢復(fù)信號可由卷積定理推得

H(ω)的反變換為

把式(3.8-13)代入式(3.8-12)，得到

式中，Sa[ωc(t-nT)]是抽樣函數(shù)，也稱內(nèi)插函數(shù)。

若將T=1/(2fm)，ωs=2ωm，