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文檔簡介
山西省長治市太行中學2025屆高三第一次調研測試數學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.據國家統計局發(fā)布的數據,2019年11月全國CPI(居民消費價格指數),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月CPI一籃子商品權重,根據該圖,下列結論錯誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%2.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.已知拋物線經過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.4.已知,函數在區(qū)間內沒有最值,給出下列四個結論:①在上單調遞增;②③在上沒有零點;④在上只有一個零點.其中所有正確結論的編號是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④5.已知數列的前n項和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.6.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知數列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-18.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.9.設函數,則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.10.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立11.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.512.已知函數,以下結論正確的個數為()①當時,函數的圖象的對稱中心為;②當時,函數在上為單調遞減函數;③若函數在上不單調,則;④當時,在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數為_________.14.直線與拋物線交于兩點,若,則弦的中點到直線的距離等于________.15.直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是________________.16.《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑中,平面,,且,過點分別作于點,于點,連接,則三棱錐的體積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點.(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關系,并給出證明.18.(12分)設函數f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數f(x)在[?π,π]上的單調性;(2)證明:函數f(x)在R上有且僅有兩個零點.19.(12分)在中,內角的對邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長的取值范圍.20.(12分)某中學準備組建“文科”興趣特長社團,由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位:分)進行統計,將數據按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學生,低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據已知條件完成下面列聯表,并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關?(2)將頻率視為概率,現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數為,若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據已知條件完成下面列聯表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數為,求的分布列與數學期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422.(10分)已知數列滿足,且.(1)求證:數列是等差數列,并求出數列的通項公式;(2)求數列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權重超過50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查統計圖的識別與應用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.2、B【解析】
設,利用兩點間的距離公式求出的表達式,結合基本不等式的性質求出的最大值時的點坐標,結合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設,因為是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當時,,當時,,當且僅當時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.3、A【解析】
先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎知識及斜率的運算公式,基礎題.4、A【解析】
先根據函數在區(qū)間內沒有最值求出或.再根據已知求出,判斷函數的單調性和零點情況得解.【詳解】因為函數在區(qū)間內沒有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上單調遞減.當時,,且,所以在上只有一個零點.所以正確結論的編號②④故選:A.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質,考查函數的零點問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、D【解析】
利用數列的遞推關系式判斷求解數列的通項公式,然后求解數列的和,判斷選項的正誤即可.【詳解】當時,.所以數列從第2項起為等差數列,,所以,,.,,.故選:.【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用、數列求和以及數列的通項公式的求法,考查轉化思想以及計算能力,是中檔題.6、B【解析】
根據誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.7、D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數列的通項公式.8、A【解析】
由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎題.9、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數的奇偶性排除選項A;通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為,其關于原點對稱,因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱,故選A排除;對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.10、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點:全稱命題.11、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數量積及向量模的運算,是基礎題.12、C【解析】
逐一分析選項,①根據函數的對稱中心判斷;②利用導數判斷函數的單調性;③先求函數的導數,若滿足條件,則極值點必在區(qū)間;④利用導數求函數在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數,其圖象的對稱中心為原點,根據平移知識,函數的圖象的對稱中心為,正確.②由題意知.因為當時,,又,所以在上恒成立,所以函數在上為單調遞減函數,正確.③由題意知,當時,,此時在上為增函數,不合題意,故.令,解得.因為在上不單調,所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據函數的單調性,在上的最大值只可能為或.因為,,所以最大值為64,結論錯誤.故選:C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換,根據二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,,取和,計算得到系數為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力和應用能力.14、【解析】
由已知可知直線過拋物線的焦點,求出弦的中點到拋物線準線的距離,進一步得到弦的中點到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過定點,,而拋物線的焦點為,,弦的中點到準線的距離為,則弦的中點到直線的距離等于.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質,考查直線與拋物線位置關系的應用,體現了數學轉化思想方法,屬于中檔題.15、【解析】因為sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直線的斜率范圍為[-1,1],由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是.答案:16、【解析】
由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得當AE=EF=2時,△AEF的面積最大,然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.【詳解】由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,∴△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=2,而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,當且僅當AE=EF=2時,取“=”,此時△AEF的面積最大,三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為:VP﹣AEF===.故答案為【點睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定,基本不等式的應用,同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(3)直線平面,證明見解析【解析】
取中點,連接,則,再由已知證明平面,以為坐標原點,分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量.(1)求出的坐標,由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一個法向量,再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐標,由,結合平面,可得直線平面.【詳解】底面是邊長為2的菱形,,為等邊三角形.取中點,連接,則,為等邊三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以為坐標原點,分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標系.則,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,設平面的一個法向量為.由,取,得.(1)證明:設直線與平面所成角為,,則,即直線與平面所成角的正弦值為;(2)設平面的一個法向量為,由,得二面角的余弦值為;(3),,又平面,直線平面.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理能力與計算能力,屬于中檔題.18、見解析【解析】
(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調遞減,在區(qū)間,上單調遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個零點.顯然x∈(π,2π)時,?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時,f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點.因為f(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數,從而x<?π時,f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點.故f(x)僅在,上各有一個零點,即f(x)在R上有且僅有兩個零點.19、(1)(2)【解析】
(1)利用二倍角公式及三角形內角和定理,將化簡為,求出的值,結合,求出A的值;(2)寫出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結合,,求出的范圍,注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應用,求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.20、(1)列聯表見解析,有;(2)分布列見解析,,.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可得分數在、之間的學生人數,可得列聯表.根據列聯表計算的值,結合參考臨界值表可得到結論;(2)從該校高一學生中隨機抽取1人,求出該人為“文科方向”的概率.由題意,求出分布列,根據公式求出期望和方差.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分數在之間的學生人數為,在之間的學生人數為,所以低于60分的學生人數為120.因此列聯表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又,所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.(2)易知從該校高一學生中隨機抽取1人,則該人為“文科方向”的概率為.依題意知,所以(),所以的分布列為0123P所以期望,方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗,考查離散型隨機變量的分布列、期望和方
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