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文檔簡介
廣東省2025屆高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過橢圓的左焦點的直線過的上頂點,且與橢圓相交于另一點,點在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.3.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.44.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為A. B.C. D.5.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.6.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.7.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.8.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.在中,角所對的邊分別為,已知,.當(dāng)變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.11.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb12.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)對于都有,且周期為2,當(dāng)時,,則________________________.14.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____15.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則的最小值為________.16.展開式中的系數(shù)為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機選取了200人進行調(diào)查,當(dāng)不處罰時,有80人會闖紅燈,處罰時,得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過10元時就會改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?18.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎?wù)邤S各面標(biāo)有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結(jié)束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎?wù)邚南渲腥我饷鰝€球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學(xué)期望不超過元,求的最小值.19.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點,使得,若存在指出點的位置,若不存在請說明理由.20.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)若的解集為,,求證:.22.(10分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為,只要誤差的絕對值不超過就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測其長度,繪制條形統(tǒng)計圖如圖:(1)估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望;(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時,該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
求得點的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運算得出點的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點.因為點在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點在橢圓上這一條件,圍繞求點的坐標(biāo)來求解,考查計算能力,屬于中等題.2、D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.3、A【解析】
由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設(shè)雙曲線的半個焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因為每一個單音與前一個單音頻率比為,所以,又,則故選D.點睛:此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.5、A【解析】
根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項,即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因為.且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6、A【解析】
依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項,再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】因為無窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。7、C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.8、D【解析】
先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設(shè)切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.9、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.10、B【解析】
模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.11、B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負(fù),所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.12、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用,且周期為2,可得,得.【詳解】∵,且周期為2,∴,又當(dāng)時,,∴,故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.14、80211【解析】
由,利用二項式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.15、40【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),可得,因為,根據(jù)均值不等式,即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,等比數(shù)列的各項為正數(shù),,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得最小值.故答案為:.【點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題,解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.16、【解析】
變換,根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,,取和,計算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)降低(2)【解析】
(1)計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率,和不進行處罰時行人闖紅燈的概率,求解即可;(2)闖紅燈的市民有80人,其中類市民和類市民各有40人,根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序,計算所求的概率值.【詳解】解:(1)當(dāng)罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率為;不進行處罰,行人闖紅燈的概率為;所以當(dāng)罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低;(2)由題可知,闖紅燈的市民有80人,類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人,4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編號為,類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為,,,,,,,,,,,,共有種前兩位均為類市民排序為,,有種,所以前兩位均為類市民的概率是.【點睛】本題主要考查了計算古典概型的概率,屬于中檔題.18、;.【解析】
設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,求出;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,所以;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因為,解得,即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點為線段的中點.【解析】
(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標(biāo)系,平面法向量為,平面的法向量,計算夾角得到答案.(Ⅲ)設(shè),計算,,根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結(jié),,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面法向量為,則,連結(jié),可得,又所以,平面,平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點使得,設(shè),,,,所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行,二面角,根據(jù)垂直關(guān)系確定位置,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.20、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】
(1)用直接法求軌跡方程,即設(shè)動點為,把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設(shè),,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計算,設(shè).顯然,構(gòu)造,由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值,同時可得直線的方程.【詳解】(1)設(shè),則,即整理得(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,得即設(shè),,則,將直線:與聯(lián)立,得∴∴設(shè).顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”即的最小值為1,此時直線:.(注:1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分;2.若直線方程按斜率是否存在討論,則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.)【點睛】本題考查求軌跡方程,考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設(shè)而不求”的思想方法,即設(shè)交點坐標(biāo)為,設(shè)直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元,然后用韋達(dá)定理得(或),把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論,本題屬于難題,對學(xué)生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求.21、(1);(2)見解析.【解析】
(1)當(dāng)時,將所求不等式變形為,然后分、、三段解不等式,綜合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得實數(shù),可得出,將代數(shù)式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進而可證得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時,不等式為,且.
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