2023-2024學年天津市河東區(qū)高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河東區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷時，考生務必將答案答在答題卡的相應位置.考試結束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項：1.請同學們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內(nèi)，超出答題卡區(qū)域的答案無效!2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如果橢圓上一點P到焦點F1的距離為6，則點P到另一個焦點F2的距離（）A.6 B.10 C.12 D.14【答案】D【解析】由橢圓知橢圓長軸長為設橢圓另一個焦點為，根據(jù)橢圓定義得：故選D2.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點在x的正半軸上，，所以焦點坐標為.故選：B.3.雙曲線的實半軸長為（）A.16 B.8 C.4 D.3【答案】C【解析】由雙曲線，可化為，可得，即，所以雙曲線的實半軸長為.故選：C.4.已知遞增等比數(shù)列，，，，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】因為遞增等比數(shù)列中，所以，又，解得，所以，解得，所以，故選：D5.已知等差數(shù)列的公差為2，其前項和為，若是與的等比中項，則等于（）A.108 B.64 C.49 D.48【答案】C【解析】由題意知，等差數(shù)列的公差為2，因為是與的等比中項，可得，即，解得，所以.故選：C.6.已知數(shù)列的前項和為，若，則有（）A.為等差數(shù)列 B.為等比數(shù)列C.為等差數(shù)列 D.為等比數(shù)列【答案】B【解析】AB選項，當?shù)?，解得，①，當時，，②式子①-②得，故，所以為，是公比為的等比數(shù)列，A錯誤，B正確；CD選項，由于，故，故不是等差數(shù)列，由于，故不是等比數(shù)列，CD錯誤.故選：B7.已知拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，于點.若是鈍角三角形，則點的橫坐標的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，設，則，，，若是鈍角三角形，則是為鈍角，，又，得．故選：A8.已知數(shù)列滿足，則（）A.2023 B.2024 C.2027 D.4046【答案】C【解析】由①，得，②，由②①得，所以數(shù)列的偶數(shù)項是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故選：C.9.已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，，由于在以為直徑的圓周上，∴，∵為平行四邊形，∥，∴，在直角三角形中，，即，解得，所以，；在直角三角形中，，即，得，又因為，所以，，所以雙曲線的方程為.故選:D.第II卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應位置上.2.本卷共11小題，共64分.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.11.雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為______．【答案】【解析】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：12.已知數(shù)列，其前項的和為，則__________.【答案】【解析】由題意，∴，.∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.∴前項和，.∴.故答案為：.13.已知、為橢圓的左右焦點，為橢圓的上頂點，直線經(jīng)過點且垂直平分線段，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】如圖所示，直線為線段的垂直平分線，可得，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.已知數(shù)列的首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．【答案】【解析】因為數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，所以，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，.故答案為：.15.已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，求解：由得，，，所以即，所以右焦點，因為直線的傾斜角是，且直線經(jīng)過右焦點，所以直線的方程為，由可得：，所以，，所以.17.已知等比數(shù)列的公比，前項和為．證明，，成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比．解：當時，，，，因為，所以，，成等比數(shù)列，公比為1．當時，，，，所以．因為為常數(shù)，所以，，成等比數(shù)列，公比為．綜上知，，，成等比數(shù)列，公比為．18.已知橢圓的一個頂點為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點作斜率為k直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．解：（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過點的直線為，設、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.19.已知數(shù)列為遞增等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，（1）求數(shù)列與的通項公式：（2）對任意正整數(shù)，設，求數(shù)列的前項和；（3）求證.解：（1）設數(shù)列的公差為d，且，數(shù)列的公比為q.因為，，所以，則，解得所以的通項公式為，的通項公式為.（2）n為奇數(shù)時，記，則所以記n為偶數(shù)時，記，則，記，故所以故的前項和為.（3），所以.天津市河東區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷時，考生務必將答案答在答題卡的相應位置.考試結束后，將答題紙交回.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項：1.請同學們把答案按要求填寫在答題卡上規(guī)定區(qū)域內(nèi)，超出答題卡區(qū)域的答案無效!2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如果橢圓上一點P到焦點F1的距離為6，則點P到另一個焦點F2的距離（）A.6 B.10 C.12 D.14【答案】D【解析】由橢圓知橢圓長軸長為設橢圓另一個焦點為，根據(jù)橢圓定義得：故選D2.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點在x的正半軸上，，所以焦點坐標為.故選：B.3.雙曲線的實半軸長為（）A.16 B.8 C.4 D.3【答案】C【解析】由雙曲線，可化為，可得，即，所以雙曲線的實半軸長為.故選：C.4.已知遞增等比數(shù)列，，，，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】因為遞增等比數(shù)列中，所以，又，解得，所以，解得，所以，故選：D5.已知等差數(shù)列的公差為2，其前項和為，若是與的等比中項，則等于（）A.108 B.64 C.49 D.48【答案】C【解析】由題意知，等差數(shù)列的公差為2，因為是與的等比中項，可得，即，解得，所以.故選：C.6.已知數(shù)列的前項和為，若，則有（）A.為等差數(shù)列 B.為等比數(shù)列C.為等差數(shù)列 D.為等比數(shù)列【答案】B【解析】AB選項，當?shù)茫獾?，①，當時，，②式子①-②得，故，所以為，是公比為的等比數(shù)列，A錯誤，B正確；CD選項，由于，故，故不是等差數(shù)列，由于，故不是等比數(shù)列，CD錯誤.故選：B7.已知拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，于點.若是鈍角三角形，則點的橫坐標的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，設，則，，，若是鈍角三角形，則是為鈍角，，又，得．故選：A8.已知數(shù)列滿足，則（）A.2023 B.2024 C.2027 D.4046【答案】C【解析】由①，得，②，由②①得，所以數(shù)列的偶數(shù)項是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故選：C.9.已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，則，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，連接，則有，，由于在以為直徑的圓周上，∴，∵為平行四邊形，∥，∴，在直角三角形中，，即，解得，所以，；在直角三角形中，，即，得，又因為，所以，，所以雙曲線的方程為.故選:D.第II卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應位置上.2.本卷共11小題，共64分.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.11.雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為______．【答案】【解析】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：12.已知數(shù)列，其前項的和為，則__________.【答案】【解析】由題意，∴，.∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.∴前項和，.∴.故答案為：.13.已知、為橢圓的左右焦點，為橢圓的上頂點，直線經(jīng)過點且垂直平分線段，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】如圖所示，直線為線段的垂直平分線，可得，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.已知數(shù)列的首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．【答案】【解析】因為數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，所以，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，.故答案為：.15.已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】方法一：依題意，設，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點，求解：由得，，，所以即，所以右焦點，因為直線的傾斜角是，且直線經(jīng)過右焦點，所以直線的方程為，由可得：，所以，，所以.17.已知等比數(shù)列的公比，前項和為．證明，，成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比．解：當時，，，，因為，所以，，成等比數(shù)列，公比為1．當時，，，，所以．因為為常數(shù)，所以，，成等比數(shù)列，公比為．綜上知，，，成等比數(shù)列，公比為．18.已知橢圓的一個頂點為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點作斜率為k直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．解：（1）依題意可得，，又，