2023-2024學年重慶市七校高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市七校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．考試結束后，將答題卷交回.第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為拋物線可化為，所以其準線方程為.故選：C.2.已知向量，若，且，則的值為（）A.0 B.4 C.0或4 D.1或4【答案】C【解析】因為且，所以，解得，又因為，所以，當時解得，此時，當時解得，此時，故選：C3.圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意圓，即，所以圓心，，圓，即，所以圓心，，所以兩圓圓心距，所以兩圓外切，公共切線為3條.故選：C4.“中國剩余定理”原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關的問題：已知正整數(shù)滿足七七數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A.9 B.25 C.30 D.41【答案】B【解析】依題意，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值25.故選：B.5.若點在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點，且，則面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對于橢圓故.根據(jù)橢圓的定義，對于橢圓上的任意一點有：……①，……②由題知……③在中使用余弦定理有：……④將①②③代入④式得到：……⑤現(xiàn)在我們可以計算三角形的面積：因此，的面積是.故選：B.6.在正方體中，是中點，點在線段上（含端點），若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，所以，設，所以，所以，，設平面的一個法向量為，所以，令，所以，所以，令，對稱軸，所以，所以，即，故選：A.7.的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，設，則的幾何意義為的值，如圖，作點關于x軸的對稱點，連接，與x軸的交點即為所求點P，此時取得最小值，為.而，即最小值為，所以的最小值為.故選：D8.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，不妨取點在第二象限，所以，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因為，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選不得分．9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為其定義域上的減函數(shù)C.有唯一的零點 D.的圖象與直線相切【答案】AC【解析】對于A：的定義域為且關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B：，所以在定義域內單調遞增，故B錯誤；對于C：因為且在定義域內單調遞增，所以有唯一零點，故C正確；對于D：因為，令，所以，所以斜率為的切線方程為：，，即，，顯然，故D錯誤；故選：AC.10.設數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是（）A.B.成等差數(shù)列，公差為C.取得最大值時D.時，的最大值為33【答案】ABD【解析】由題意，，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，而開口向下的二次函數(shù)的對稱軸為，所以當或時，取得最大值，故C錯誤；對于A，由，得，，所以，而，所以，故A正確；對于B，由，得，，，所以，，成等差數(shù)列，公差，故B正確，對于D，由得，故D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結論中正確的有（）A.當點E運動時，總成立B.當E向運動時，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A，連接，，，因為四邊形為正方形，故，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因為平面，所以，同理可證.因為，平面，所以平面，因為平面，所以總成立，故A正確.對于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當E向運動時，二面角的大小不變，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，因為E，F(xiàn)在上，且，故可設，，，則，由題知平面ABC的一個法向量為，設平面ABE的一個法向量為，則，解得，取，則，故，設二面角的平面角為，則為銳角，所以，又，所以當時，取得最大值，取得最小值，故C正確；對于D，因為，點A到平面EFB的距離即到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線的焦點為，過點作直線與拋物線交于兩點，則（）A.線段長度的最小值為B.當直線斜率為時，中點坐標為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.存在點，使得【答案】ACD【解析】對于A：的焦點坐標為，直線的斜率不為，設，，聯(lián)立可得，且，所以，所以，且，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以，所以，即中點縱坐標為，故B錯誤；對于C：拋物線的準線方程，設中點為，過點向準線作垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義可知：，即等于以為直徑的圓的半徑長，故C正確；對于D：當時，。所以，由選項A可知：，所以，所以此時，所以的傾斜角互補，所以，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則的值是__________.【答案】【解析】因為，，，成等差數(shù)列，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：.14.若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則有，解得，故答案為：.15.如圖，在一個高為20，底面半徑為2的圓柱形乒乓球筒的上壁和下壁分別粘有一個乒乓球，下壁的乒乓球與球筒下底面和側面相切，上壁的乒乓球與球筒上底面和側面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不計）.一個平面與兩個乒乓球均相切，已知該平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，請寫出此橢圓的一個標準方程__________.【答案】或【解析】對圓柱沿底面直徑進行縱切，如圖所示:切點為，與圓柱面相交于，此時可知即為橢圓的長軸，在直角三角形中，，又，所以，由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即，所以橢圓的標準方程為或，故答案為：或.16.在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.【答案】①②【解析】在正方體中，連接，如圖，對角面為矩形，因為點分別是棱的中點，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過點與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點M為的中點，同理為中點，，因為動點始終滿足平面，于是平面，又在側面上，所以點的軌跡是線段，軌跡長為；以點D為原點建立空間直角坐標系，則，則，令，則有，，于是點到直線的距離，當且僅當時取等號，所以點到直線的距離的最小值為.故答案為：；四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點.（1）求圓的標準方程；（2）若直線l過點且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.解：（1）圓的圓心在直線上且與軸切于點，可設圓心坐標，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由直線l過點且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.18.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線平行,求出這條切線的方程；（2）討論函數(shù)的單調性.解：（1）由題得,則在點處的切線與直線平行,即又曲線在點處的切線為即.（2）令得或（i）當即時,單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增（ii）當即時,恒成立,在上單調遞增,無單調遞減區(qū)間.（iii）當即時,單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增綜上所述,當時,的單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為；當時,在上單調遞增,無單調遞減區(qū)間；當時,的單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為.19.如圖，在平行六面體中，，，，，，，與相交于點．

（1）求；（2）求的長．解：（1）.（2）因為，所以，所以的長為.20.數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，公比．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明：恒成立.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，則，解得或（舍去），，.（2）由（1）得，，①，②①②得，，，，21.如圖，在斜三棱柱中，是邊長為的正三角形，且四棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若，平面平面，為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）設三棱柱的高為，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，所以，且，所以，即三棱柱的高為.（2）過作，因為為銳角，所以垂足在線段上，記為，連接，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，所以，又因為，所以為中點，又因為為等邊三角形，所以，由上可知：兩兩垂直，以為坐標原點，以方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，又因為，所以，設平面的一個法向量為，，所以，令，所以，設平面的一個法向量為，，所以，令，所以，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.22.已知橢圓的長軸長為4，離心率為，定點．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓分別交于點（不在直線上），若直線，與橢圓分別交于點，，且直線過定點，問直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.解：（1）由橢圓的長軸長為4可知，又橢圓的離心率為，即，所以，則，因此橢圓的方程為；（2）直線的斜率為定值，定值為1，設，，，，，，，由，有，因為，在橢圓上，所以，，因此，整理得，即，因此，聯(lián)立，解得，同理，又因為直線過定點，所以，將，，，代入，有，整理得，又，所以．綜上，直線的斜率為定值1．重慶市七校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．考試結束后，將答題卷交回.第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為拋物線可化為，所以其準線方程為.故選：C.2.已知向量，若，且，則的值為（）A.0 B.4 C.0或4 D.1或4【答案】C【解析】因為且，所以，解得，又因為，所以，當時解得，此時，當時解得，此時，故選：C3.圓與圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意圓，即，所以圓心，，圓，即，所以圓心，，所以兩圓圓心距，所以兩圓外切，公共切線為3條.故選：C4.“中國剩余定理”原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關的問題：已知正整數(shù)滿足七七數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A.9 B.25 C.30 D.41【答案】B【解析】依題意，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，，因此，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值25.故選：B.5.若點在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點，且，則面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對于橢圓故.根據(jù)橢圓的定義，對于橢圓上的任意一點有：……①，……②由題知……③在中使用余弦定理有：……④將①②③代入④式得到：……⑤現(xiàn)在我們可以計算三角形的面積：因此，的面積是.故選：B.6.在正方體中，是中點，點在線段上（含端點），若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，所以，設，所以，所以，，設平面的一個法向量為，所以，令，所以，所以，令，對稱軸，所以，所以，即，故選：A.7.的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，，設，則的幾何意義為的值，如圖，作點關于x軸的對稱點，連接，與x軸的交點即為所求點P，此時取得最小值，為.而，即最小值為，所以的最小值為.故選：D8.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，不妨取點在第二象限，所以，則，因為雙曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因為，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選不得分．9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為其定義域上的減函數(shù)C.有唯一的零點 D.的圖象與直線相切【答案】AC【解析】對于A：的定義域為且關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B：，所以在定義域內單調遞增，故B錯誤；對于C：因為且在定義域內單調遞增，所以有唯一零點，故C正確；對于D：因為，令，所以，所以斜率為的切線方程為：，，即，，顯然，故D錯誤；故選：AC.10.設數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是（）A.B.成等差數(shù)列，公差為C.取得最大值時D.時，的最大值為33【答案】ABD【解析】由題意，，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，而開口向下的二次函數(shù)的對稱軸為，所以當或時，取得最大值，故C錯誤；對于A，由，得，，所以，而，所以，故A正確；對于B，由，得，，，所以，，成等差數(shù)列，公差，故B正確，對于D，由得，故D正確；故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結論中正確的有（）A.當點E運動時，總成立B.當E向運動時，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A，連接，，，因為四邊形為正方形，故，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因為平面，所以，同理可證.因為，平面，所以平面，因為平面，所以總成立，故A正確.對于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當E向運動時，二面角的大小不變，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，因為E，F(xiàn)在上，且，故可設，，，則，由題知平面ABC的一個法向量為，設平面ABE的一個法向量為，則，解得，取，則，故，設二面角的平面角為，則為銳角，所以，又，所以當時，取得最大值，取得最小值，故C正確；對于D，因為，點A到平面EFB的距離即到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線的焦點為，過點作直線與拋物線交于兩點，則（）A.線段長度的最小值為B.當直線斜率為時，中點坐標為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.存在點，使得【答案】ACD【解析】對于A：的焦點坐標為，直線的斜率不為，設，，聯(lián)立可得，且，所以，所以，且，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以，所以，即中點縱坐標為，故B錯誤；對于C：拋物線的準線方程，設中點為，過點向準線作垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義可知：，即等于以為直徑的圓的半徑長，故C正確；對于D：當時，。所以，由選項A可知：，所以，所以此時，所以的傾斜角互補，所以，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則的值是__________.【答案】【解析】因為，，，成等差數(shù)列，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：.14.若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則有，解得，故答案為：.15.如圖，在一個高為20，底面半徑為2的圓柱形乒乓球筒的上壁和下壁分別粘有一個乒乓球，下壁的乒乓球與球筒下底面和側面相切，上壁的乒乓球與球筒上底面和側面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不計）.一個平面與兩個乒乓球均相切，已知該平面截球筒邊緣所得的圖形為一個橢圓，請寫出此橢圓的一個標準方程__________.【答案】或【解析】對圓柱沿底面直徑進行縱切，如圖所示:切點為，與圓柱面相交于，此時可知即為橢圓的長軸，在直角三角形中，，又，所以，由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即，所以橢圓的標準方程為或，故答案為：或.16.在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面上的動點.且平面，則點的軌跡長為__________.點到直線的距離的最小值為__________.【答案】①②【解析】在正方體中，連接，如圖，對角面為矩形，因為點分別是棱的中點，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過點與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點M為的中點，同理為中點，，因為動點始終滿足平面，于是平面，又在側面上，所以點的軌跡是線段，軌跡長為；以點D為原點建立空間直角坐標系，則，則，令，則有，，于是點到直線的距離，當且僅當時取等號，所以點到直線的距離的最小值為.故答案為：；四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點.（1）求圓的標準方程；（2）若直線l過點且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.解：（1）圓的圓心在直線上且與軸切于點，可設圓心坐標，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由直線l過點且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.18.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線平行,求出這條切線的方程；（2）討論函數(shù)的單調性.解：（1）由題得,則在點處