2024-2025學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市金壇區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.經(jīng)過，兩點的直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故傾斜角30°，故選：A2.如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點坐標(biāo)為（）A.（1,0） B.（2,0） C.（3,0） D.（－1,0）【答案】A【解析】由拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故選A．3.雙曲線實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線方程可化為：，其中，因為實軸長是虛軸長的2倍，故，故，故選：D.4.已知圓關(guān)于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故，半徑，故即，以即為中點的弦，與垂直，而，故弦長為：，故選：D5.過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（點A在第一象限），若直線l的傾斜角為，則的值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，由題設(shè)因為直線l的傾斜角為，故，由可得，解得或，故，，故，故選：C.6.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為過點的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A7.已知，分別是雙曲線（a，）的左、右焦點，A為雙曲線的右頂點，線段的垂直平分線交雙曲線于點P，其中，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)線段的垂直平分線與x軸的交點為B，不妨設(shè)P在第一象限，則，，再由勾股定理得：，所以，等式兩邊同除以整理可得得或舍去故選：C8.設(shè)直線l：，圓C：，若在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在點M，使，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓：，所以，圓的半徑為：.“在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在點M，使”可轉(zhuǎn)化為“圓心到直線的距離不大于2”.由.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)a為實數(shù)，直線，，則（）A.當(dāng)時，不經(jīng)過第一象限 B.的充要條件是C.若，則或 D.恒過點【答案】AB【解析】對于A，若過第一象限的點，則，且，但故，矛盾，故不過第一象限，故A正確；對于B，若，則，故或，由直線可得，而當(dāng)時，兩條直線的方程分別為：，，此時兩條直線平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；對于C，若，，故或，但不為零，故C錯誤；對于D，直線可化為：，由可得，即直線過定點，故D錯誤；故選：AB10.某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面m千米，遠(yuǎn)地點B（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面n千米，并且F、A、B三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題設(shè)，，所以，，故AB正確，C錯誤，而，故D正確.故選：ABD.11.已知F、為橢圓C：的左、右焦點，直線l：（）與橢圓C交于A，B兩點，軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A.四邊形周長為8 B.的最小值為C.直線BE的斜率為2k D.【答案】ABD【解析】由已知，，A正確；，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，B正確；設(shè)，則，，，則，C錯；直線方程為，由，消去得，顯然是此方程的一個解，則，，因此，，，所以與垂直，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點與點關(guān)于直線l：對稱，則的值為________．【答案】【解析】因為，故，而的中點為，故，所以，所以，故答案：.13.已知點，，點滿足直線的斜率之積為，則的最小值為________．【答案】【解析】設(shè)，則，故，整理得到：，而故，而，故，故答案為：14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點滿足，則點的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線：經(jīng)過定點，則的面積的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)Px,y，則，整理得到：，故，軌跡圓的半徑為，直線可化為，故直線過定點，中，邊上的高的最大值為軌跡圓的半徑，而，故面積的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線的方程為，若直線過點，且．（1）求直線和直線的交點坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且在x軸上截距是在y軸上的截距的，求直線的方程．解：（1）經(jīng)過點且與垂直的直線為：：，即.由.所以直線和直線的交點坐標(biāo)為：2,1.（2）因為直線與兩坐標(biāo)軸都相交，故斜率一定存在且不為0.設(shè)：.交軸于點：，交軸于點：.由或.所以的方程為：或.16.已知圓：，圓：（），直線：，：．（1）若圓與圓相內(nèi)切，求實數(shù)m的值；（2）若，被圓所截得的弦的長度之比為，求實數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)可得，，因為圓與圓相內(nèi)切，故，其中，解得.（2）到的距離為，到的距離為，故，解得.17.已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且一個焦點到漸近線的距離為2．（1）求雙曲線方程；（2）過點的直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點,動點M滿足,求點M的軌跡方程．解：（1）因為雙曲線漸近線的方程為：，則，而焦點到漸近線的距離為2，故（為半焦距），故，故，故雙曲線方程為：.（2）由題設(shè)可得的斜率必定存在，設(shè)直線，，由可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點，故，故，又，而，因，故，所以，故，故，代入后可得，因為，故，故的軌跡方程為：.18.如圖，已知拋物線C：（）的焦點F，且經(jīng)過點，．（1）求A點的坐標(biāo)；（2）直線l交拋物線C于M，N兩點，過點A作于D，且，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．解：（1）由拋物線定義知：，則，故，又在拋物線上，則，可得，故.（2）設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，故，所以，因為的斜率不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，，當(dāng)時，過定點；當(dāng)時，過定點，即共線，不合題意；所以直線過定點，又，故在以為直徑的圓上，而中點為，即為定值，得證.19.《文心雕龍》有語：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對的．已知動點P與定點的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（）．設(shè)點P的軌跡為曲線H，若某條直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“齊備直線”．（1）若，求曲線H的方程；（2）若“齊備直線”：與曲線H相交于A，B兩點，點M為曲線H上不同于A，B的一點，且直線MA，MB的斜率分別為，，試判斷是否存在λ，使得取得最小值？說明理由；（3）若，與曲線H有公共點N的“齊備直線”與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點，且N為線段ST的中點，求證：直線與曲線H有且僅有一個公共點．解：（1）當(dāng)時，定直線：，比值為：.設(shè)，則點到定點的距離與它到定直線的距離之比為，即，兩邊平方，整理得：，即為曲線的方程.（2）因為動點P與定點的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（），所以，整理得，即，即為曲線的方程.設(shè)，則，，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以存在使得取得最小值4.（3）由（2）知，當(dāng)時，曲線：，雙曲線的漸近線方程為：，如圖：設(shè)，則，解得，即，所以，代入雙曲線方程，得，整理得，即，解得或.當(dāng)時，，若，則，，消去得，方程有唯一的解，同理，若，得，方程有唯一的解，故直線與曲線H有且僅有一個公共點；當(dāng)時，，消去得，，方程有唯一的解，故直線與曲線H有且僅有一個公共點.綜上，直線與曲線H有且僅有一個公共點.江蘇省常州市金壇區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.經(jīng)過，兩點的直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故傾斜角30°，故選：A2.如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點坐標(biāo)為（）A.（1,0） B.（2,0） C.（3,0） D.（－1,0）【答案】A【解析】由拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為可知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故選A．3.雙曲線實軸長是虛軸長的2倍，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線方程可化為：，其中，因為實軸長是虛軸長的2倍，故，故，故選：D.4.已知圓關(guān)于直線對稱，則圓C中以為中點的弦長為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故，半徑，故即，以即為中點的弦，與垂直，而，故弦長為：，故選：D5.過拋物線焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（點A在第一象限），若直線l的傾斜角為，則的值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，由題設(shè)因為直線l的傾斜角為，故，由可得，解得或，故，，故，故選：C.6.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為過點的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A7.已知，分別是雙曲線（a，）的左、右焦點，A為雙曲線的右頂點，線段的垂直平分線交雙曲線于點P，其中，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設(shè)線段的垂直平分線與x軸的交點為B，不妨設(shè)P在第一象限，則，，再由勾股定理得：，所以，等式兩邊同除以整理可得得或舍去故選：C8.設(shè)直線l：，圓C：，若在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在點M，使，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓：，所以，圓的半徑為：.“在圓C上存在兩點P，Q，在直線l上存在點M，使”可轉(zhuǎn)化為“圓心到直線的距離不大于2”.由.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)a為實數(shù)，直線，，則（）A.當(dāng)時，不經(jīng)過第一象限 B.的充要條件是C.若，則或 D.恒過點【答案】AB【解析】對于A，若過第一象限的點，則，且，但故，矛盾，故不過第一象限，故A正確；對于B，若，則，故或，由直線可得，而當(dāng)時，兩條直線的方程分別為：，，此時兩條直線平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；對于C，若，，故或，但不為零，故C錯誤；對于D，直線可化為：，由可得，即直線過定點，故D錯誤；故選：AB10.某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面m千米，遠(yuǎn)地點B（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面n千米，并且F、A、B三點在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a、2b、2c，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由題設(shè)，，所以，，故AB正確，C錯誤，而，故D正確.故選：ABD.11.已知F、為橢圓C：的左、右焦點，直線l：（）與橢圓C交于A，B兩點，軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A.四邊形周長為8 B.的最小值為C.直線BE的斜率為2k D.【答案】ABD【解析】由已知，，A正確；，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，B正確；設(shè)，則，，，則，C錯；直線方程為，由，消去得，顯然是此方程的一個解，則，，因此，，，所以與垂直，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.點與點關(guān)于直線l：對稱，則的值為________．【答案】【解析】因為，故，而的中點為，故，所以，所以，故答案：.13.已知點，，點滿足直線的斜率之積為，則的最小值為________．【答案】【解析】設(shè)，則，故，整理得到：，而故，而，故，故答案為：14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點滿足，則點的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線：經(jīng)過定點，則的面積的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)Px,y，則，整理得到：，故，軌跡圓的半徑為，直線可化為，故直線過定點，中，邊上的高的最大值為軌跡圓的半徑，而，故面積的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線的方程為，若直線過點，且．（1）求直線和直線的交點坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且在x軸上截距是在y軸上的截距的，求直線的方程．解：（1）經(jīng)過點且與垂直的直線為：：，即.由.所以直線和直線的交點坐標(biāo)為：2,1.（2）因為直線與兩坐標(biāo)軸都相交，故斜率一定存在且不為0.設(shè)：.交軸于點：，交軸于點：.由或.所以的方程為：或.16.已知圓：，圓：（），直線：，：．（1）若圓與圓相內(nèi)切，求實數(shù)m的值；（2）若，被圓所截得的弦的長度之比為，求實數(shù)的值．解：（1）由題設(shè)可得，，因為圓與圓相內(nèi)切，故，其中，解得.（2）到的距離為，到的距離為，故，解得.17.已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且一個焦點到漸近線的距離為2．（1）求雙曲線方程；（2）過點的直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點,動點M滿足,求點M的軌跡方程．解：（1）因為雙曲線漸近線的方程為：，則，而焦點到漸近線的距離為2，故（為半焦距），故，故，故雙曲線方程為：.（2）由題設(shè)可得的斜率必定存在，設(shè)直線，，由可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別交于兩點，故，故，又，而，因，故，所以，故，故，代入后可得，因為，故，故的軌跡方程為：.18.如圖，已知拋物線C：（）的焦點F，且經(jīng)過點，．（1）求A點的坐標(biāo)；（2）直線l交拋物線C于M，N兩點，過點A作于D，且，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．解：（1）由拋物線定義知：，則，故，又